巧用歐拉變換求一類函數(shù)的值域

王賢

【摘要】求函數(shù)值域是高考考查的內(nèi)容之一，不同類型函數(shù)的值域求法也不盡相同，同一函數(shù)的值域也往往存在多種求法.針對求解某些帶根式型函數(shù)的值域，采用歐拉變換法往往能夠化繁為簡，取得事半功倍的效果.

【關(guān)鍵詞】歐拉變換;函數(shù)值域;通性通法

一、歐拉變換的介紹

在中學(xué)數(shù)學(xué)教材和教輔資料中，幾乎沒有見到關(guān)于歐拉變換的介紹.在高等數(shù)學(xué)中常通過歐拉變換將求無理函數(shù)的不定積分化為求有理函數(shù)的不定積分.

一般地，二次三項式ax2+bx+c中，若a>0，則可令ax2+bx+c=t±ax;若c>0，還可令ax2+bx+c=xt±c.這類變換稱為歐拉變換.

通過歐拉變換，能夠?qū)⒛承o理式轉(zhuǎn)化為有理式，從而給運算帶來方便，下面舉例予以介紹.

二、用歐拉變換求函數(shù)值域四例

例1 求函數(shù)y=2x2+2+x的值域.

這是一道陳題，也是一道“網(wǎng)紅”題，筆者所了解的方法就有近十種，常見的有判別式法、導(dǎo)數(shù)法、不等式法，以及三角換元法等.下面我們采用歐拉變換法求此函數(shù)的值域.

分析 令x2+2=x+t，將x表示為t的表達(dá)式，進(jìn)而將無理函數(shù)化為有理函數(shù)，結(jié)合基本不等式容易求得函數(shù)的值域.

解 令x2+2=x+t，解得x=2-t22t，

由x+t≥2得2+t22t-2≥0，解得t>0.

所以y=2x2+2+x=2+t2t+2-t22t=6+t22t=3t+t2（t>0），由基本不等式，得y≥6.

所以，函數(shù)的值域為[6，+∞）.

例2 （2019年溫州搖籃杯）函數(shù)f（x）=x2-x+1-x的值域為.

這是2019年溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競賽填空題的第6題，求這道函數(shù)值域題的常見方法有反函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法，以及三角換元法，但若采用歐拉變換法，幾乎可以做到“秒殺”.為鞏固應(yīng)用反函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法求函數(shù)值域，以及體現(xiàn)歐拉變換法在求解此函數(shù)值域時的快捷，下面將幾種解法一一給出，以便比較.

解 （1）反函數(shù)法：設(shè)x10，從而f（x1）0，從而y>-12，原函數(shù)的值域為-12，+∞.

（2）導(dǎo)數(shù)法：y′=2x-12x2-x+1-1，易知y′<0，

又limx→+∞（x2-x+1-x）=limx→+∞-x+1x2-x+1+x=limx→+∞-1+1x1-1x+1x2+1=-12，而limx→-∞（x2-x+1-x）=+∞，從而知函數(shù)的值域為-12，+∞.

（3）三角換元法：將函數(shù)解析式變形為y=x-122+34-x，令x=32tan θ+12，θ∈-π2，π2.則y=32cos θ-3tan θ2-12，進(jìn)一步變形有y=-32×sin θ-1cos θ-0-12，將sin θ-1cos θ-0看成是過點（cos θ，sin θ）與（0，1）的直線的斜率，結(jié)合圖形易知y>-12，從而函數(shù)的值域為-12，+∞.

（4）歐拉變換法：令x2-x+1=x+t，解得x=1-t22t+1.因為x+t≥32，所以t>-12，從而y=x2-x+1-x=x+t-x=t.易知，函數(shù)的值域為-12，+∞.

可以發(fā)現(xiàn)，此題采用歐拉變換法求解，從計算量上講比前三種方法要少，得到結(jié)果更快捷，但方法是初等的.下面我們再看一個更一般的例子，以便歸納用歐拉變換法求此類函數(shù)值域的一般步驟.

例3 求函數(shù)y=22x2+4x-3+3x-1的值域.

解 令2x2+4x-3=2x+t，解得x=t2+34-22t，易知函數(shù)的定義域為-∞，-1-102∪-1+102，+∞.因為2x2+4x-3≥0，所以2x+t≥0，即2t2-4t-3222t-4≥0，解得2-5≤t<2，或t≥2+5.從而有y=2（2x+t）

+3x-1=（22+3）x+2t-1，進(jìn)一步整理有y=（3-22）t2+（8+22）t+5+624-22t.令m=4-22t，則t=4-m22，從而有y=38-24m+15+102m-4，且0

作為例3的變式，我們再看歐拉變換在求下列函數(shù)值域中的應(yīng)用.

例4 求函數(shù)y=2x-5x2-2x-3的值域.

解 易知函數(shù)定義域為（-∞，-1）∪（3，+∞），令x2-2x-3=x+t，則x=-t2+32t+2.又因為x+t>0，即t2+2t-32t+2>0，所以-31.又2x-5=-t2+5t+8t+1，從而有y=2x-5x2-2x-3=-2（t2+5t+8）t2+2t-3=-2-2×3t+11t2+2t-3，令s=3t+11，則t=s-113，那么214.進(jìn)一步化簡整理有y=-2-18-16+s+28s，結(jié)合基本不等式容易求得y<-2，或y≥72.所以，函數(shù)的值域為（-∞，-2）∪72，+∞.

事實上，例4還可以繼續(xù)變式為y=x2-2x-32x-5，值域求法完全同例4.

三、小 結(jié)

例3除了可以用歐拉變換法求函數(shù)值域外，還可以用導(dǎo)數(shù)法求解，導(dǎo)數(shù)法和歐拉變換法皆為通法.用歐拉變換法求例3函數(shù)的值域的計算量比用導(dǎo)數(shù)法稍微偏多，但導(dǎo)數(shù)法實際屬于高等數(shù)學(xué)范疇，而用歐拉變換求此函數(shù)值域的方法完全是初等的.

對于求“y=pax2+bx+c+mx+n”（其中a，b，c，m，n和p為常數(shù)，且a>0）型函數(shù)的值域，導(dǎo)數(shù)法和歐拉變換法皆為通法.例1至例3都屬于此函數(shù)類型，用歐拉變換法求此類函數(shù)值域的一般步驟為：（1）令ax2+bx+c=t±ax，或ax2+bx+c=xt±c（c>0），并求出x關(guān)于t的表達(dá)式以及相應(yīng)的t的取值范圍;（2）進(jìn)一步化簡整理，將函數(shù)表示為t的分式或整式形式;（3）結(jié)合基本不等式等，求出變換后函數(shù)的值域，從而得到原函數(shù)的值域.

事實上，例4還可以將函數(shù)變形為y=±4x2-20x+25x2-2x-3，進(jìn)一步將4x2-20x+25x2-2x-3分離為4-12x-37x2-2x-3，令s=12x-37，結(jié)合相應(yīng)s的取值范圍，然后利用基本不等式可求出函數(shù)的值域.對于形如例4中的函數(shù)，歐拉變換法也為通法，讀者可自行歸納用歐拉變換法求“y=mx+nax2+bx+c”以及“y=ax2+bx+cmx+n”（其中a，b，c，m和n為常數(shù)，且a>0）型函數(shù)值域的一般步驟.

對具體的函數(shù)而言，用歐拉變換法求函數(shù)的值域有時并不比其他方法計算量少，但對于求一類帶根式函數(shù)的值域，歐拉變換法符合通性通法的要求，而且方法完全是初等的.

【參考文獻(xiàn)】

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