一元多項式環通用性質條件弱化下的特殊情形

陳天銘

【摘要】 一元多項式環的通用性質一定程度上避免了計算的重復性，令環的子環是交換環，則通用性質的條件進行了弱化，可以擴大計算的便利范圍.在條件弱化下的特殊情形中，映射仍為同構映射，且運用單位矩陣的性質，可以得到一元多項式環的通用性質仍然成立.

【關鍵詞】一元多項式環;交換環;單位矩陣;同構映射

【基金項目】 國家自然科學基金（11671284）

一、引 言

參考文獻[1]中一元多項式環的通用性質可以將任一數域P上一元多項式中的不定元x，用其他元素代入.例如，矩陣A等，在運算上變得方便，代入即可，避開了計算的重復性.對于通用性質中的條件，參考文獻[2]中提到自然的嵌入映射，即環同態，把該映射與環同構進行復合，可以得到單環同態，以此來處理一元多項式環通用性質的條件.

本文考慮的是將條件進行弱化下的特殊情形，并證明出在該情形下，通用性質仍然成立.

二、預備知識

1.第Ⅰ階段

為完整敘述一元多項式環的通用性質，在此列出所需要的定義[1-6].

定義1 數域P上的一元多項式是指形如下述的表達式：anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，其中x是一個符號（它不屬于P）;n是非負整數;ai∈P（i=0，1，…，n），稱為系數;aixi稱為i次項（i=1，2，…，n）;a0稱為零次項或常數項.兩個這種形式的表達式相等規定為它們含有完全相同的項（除去系數為0的項外，系數為0的項允許任意刪去和添加）.此時，符號x稱為不定元.

定義2 系數全為0的多項式稱為零多項式，記作01.

定義3 設G是環，a，b∈G，若滿足ab=ba，則稱G是交換環.

定義4 設G是環，稱G為帶有單位元的環，如果對a∈G，e′∈G，有ae′=a=e′a.

定義5 設Mn（P）是數域P上n級矩陣的集合，A∈Mn（P），表達式為bnAn+bn-1An-1+…+b1A+b0I，其中bn，bn-1，…，b0∈P，I是數域P上n級單位矩陣，稱為矩陣A的多項式.

定義6 設R是一個非空集合，如果它有兩個代數運算：一個叫作加法，記作a+b;另一個叫作乘法，記作ab.并且這兩個運算滿足6條運算法則（a，b，c∈R）：

（ⅰ）加法結合律，即（a+b）+c=a+（b+c）;

（ⅱ）加法交換律，即a+b=b+a;

（ⅲ）在R中有元素0，使得a+0=a，稱0是R的零元素;

（ⅳ）對于a，在R中有元素d，使得a+d=0，稱d是a的負元素，記作-a;

（ⅴ）乘法結合律，即（ab）c=a（bc）;

（ⅵ）乘法對于加法的左、右分配律，即a（b+c）=ab+ac;（b+c）a=ba+ca.

定義7 數域P是有理數域Q的有限擴張，也是復數域C的子域，則數域P是一個環，故數域P滿足環的6條運算法則.

定義8 若數域P到環G的一個子環G1有一個雙射σ，且滿足（α，β∈P）：

（ⅰ）σ（α+β）=σ（α）+σ（β）;

（ⅱ）σ（α·β）=σ（α）·σ（β）.

則稱σ是數域P到環G的一個子環G1的一個同構映射.

定義9 設Mn（P）是數域P上n級矩陣的集合，稱I是單位矩陣，如果對A∈Mn（P），

那么有AI=A=IA.

2.第Ⅱ階段

定理1 設P[x]是數域P上一元多項式的集合，則P[x]是一個環.

定理2 設Mn（P）是數域P上n級矩陣的集合，則Mn（P）是一個環.

證明 （Ⅰ）設02是數域P上的零矩陣，顯然02∈Mn（P），故Mn（P）是非空集合.

（Ⅱ）Mn（P）有兩個代數運算，分別是加法和乘法.

令A，B，C∈Mn（P），A=aij，B=bij，C=cij，其中i，j=1，2，…，n∈N，

（ⅰ）因為數域P滿足加法結合律，則有A+B+C=A+（B+C），因此，Mn（P）滿足加法結合律.

（ⅱ）因為數域P滿足加法交換律，則有A+B=B+A，因此，Mn（P）滿足加法交換律.

（ⅲ）已知02∈Mn（P），對A∈Mn（P），有A+02=A，則02是Mn（P）的零元素.

（ⅳ）對于A，在Mn（P）中有元素B，使得A+B=02，稱B是A的負元素，記作-A.

（ⅴ）令A=a11…a1n………an1…ann，令α1=a11…an1n×1，…，αn=a1n…annn×1，

A=α1…αn，

B=b11…b1n………bn1…bnn，

令β1=b11…b1n1×n，…，

βn=bn1…bnn1×n，B=β1βn，

C=c11…c1n………cn1…cnn，令γ1=c11…cn1n×1，…，γn=c1n…cnnn×1，

C=γ1…γn，則有

A·B·C=∑ni=0αi·βi·

γ1…∑ni=0αi·βi·γn.

A·B·C=α1…αn·β1·γ1…β1·γn………βn·γ1…βn·γn=∑ni=0αi·βi·

γ1…

∑ni=0αi·βi·γn.

故A·B·C=A·B·C.

因此，Mn（P）滿足乘法結合律.

（ⅵ）因為數域P滿足乘法對于加法的左、右分配律，則有：

A·B+C=A·B+A·CB+C·A=B·A+C·A

因此，Mn（P）滿足乘法對于加法的左、右分配律.

綜上，Mn（P）是一個環.由于A，B∈Mn（P），不一定有A·B=B·A，因此，Mn（P）是環，但不是交換環，這一性質在建立特殊情形時，起到了作用.

定理3 環G的一個非空子集G1是子環的充要條件是a，b∈G1，有a-b，a·b∈G1.

證明 （Ⅰ）充分性，已知a，b∈G1，有a-b，a·b∈G1，且G1是G的一個非空子集.

（ⅰ）因為G1是非空的，則c∈G1，有c-c∈G1，即0∈G1;

（ⅱ）0∈G1，對于b∈G1，有0-b∈G1，即-b∈G1;

（ⅲ）a，b∈G1，有a∈G1，-b∈G1，則a--b∈G1，即a+b∈G1;

（ⅳ）由已知條件，a，b∈G1，有a·b∈G1;由于G1是G的一個子集，故G1滿足6條運算法則.因此，G1是G的一個子環.

（Ⅱ）必要性，已知環G的一個非空子集G1是子環，由環的定義可以得到：

（ⅰ）b∈G1，有-b∈G1;

（ⅱ）G1有兩個代數運算，分別是加法和乘法.故a，b∈G1，有a-b=a+-b∈G1，a·b∈G1.

定理4 設PA={矩陣A的多項式|A∈Mn（P）}，則PA是Mn（P）的一個子環.

證明 令f（A）=bnAn+…+b1A+b0I，其中b0，b1，…，bn∈P，A∈Mn（P），則對于f（A）∈PA，根據n級矩陣在進行乘法、加法運算后仍為n級矩陣這一性質，可以得到PA是Mn（P）的一個子集.

（ⅰ）當b0=…=bn=0時，有02∈PA，故PA是非空的;

（ⅱ）f（A），g（A）∈PA，有f（A）-g（A），f（A）·g（A）∈PA;

因此，PA是Mn（P）的一個子環.

定理5 設PI是數域P上的數量矩陣的集合，則PI是PA的一個子環.

證明 b0I∈PI，當b1=…=bn=0時，有b0I∈PA，因此PI是PA的一個子集.

（ⅰ）顯然02∈PI，故PI是非空的;

（ⅱ）k1I，k2I∈PI，其中k1，k2∈P，有k1I-k2I，k1I·k2I∈PI.

因此，PI是PA的一個子環.

定理6 PI是Mn（P）的一個子環且PI是交換環.

證明 由于PIPAMn（P），因此，PI是Mn（P）的一個子集.

（ⅰ）已知02∈PI，故PI是非空的;

（ⅱ）k1I，k2I∈PI，其中k1，k2∈P，有k1I-k2I，k1I·k2I∈PI.

因此，PI是Mn（P）的一個子環.由于數域P滿足乘法交換律，對于k1I，k2I∈PI，其中k1，k2∈P，有k1I·k2I=k1·k2I=k2·k1I=k2I·k1I，故PI是交換環.

定理7 設e′是環G1的單位元，若數域P到環G1有一個同構映射σ，且數域P有單位元e，則σ（e）是環G1的單位元，即σ（e）=e′.

證明 由于σ是同構映射，故σ是滿射，則對于b∈G1，a∈P，使得σ（a）=b.根據同構映射的定義，可以得到：

（ⅰ）b=σ（a）=σ（e·a）=σ（e）·σ（a）=σ（e）·b;

（ⅱ）b=σ（a）=σ（a·e）=σ（a）·σ（e）=b·σ（e）.

因此，σ（e）是環G1的單位元，即σ（e）=e′.

三、條件弱化下特殊情形的建立與證明

1.一元多項式環的通用性質

設P是一個數域，G是一個有單位元e′的交換環，數域P到交換環G的一個子環G1有一個同構映射σ，其中子環G1含有環G的單位元e′.由于P[x]包含P，任取t∈G，令σt：P[x]→G，則有如下3條結論，分別是：

（ⅰ）σt是P[x]到G的一個映射;

（ⅱ）σt（x）=t;

（ⅲ）σt保持加法、乘法運算，若f（x）+g（x）=h（x），f（x）·g（x）=q（x），則f（t）+g（t）=h（t），f（t）·g（t）=q（t）.

稱σt是x用t代入.

2.條件弱化下特殊情形的建立

將“交換環G，G的一個子環G1”減弱為“環G，G的一個子環G1是交換環”.

根據預備知識，建立的特殊情形：環G是Mn（p），子環G1是PI.

3.條件弱化下特殊情形的證明

設P是一個數域，Mn（P）是一個有單位元I的環，數域P到Mn（P）的一個子環PI有一個映射σ，且PI含有Mn（P）的單位元I，根據預備知識，PI是交換環.

A∈Mn（P），σA：P[x]→Mn（P）

f（x）=△∑ni=0aixi→∑ni=0σai·Ai=△f（A）

則有（ⅰ）映射σ仍為同構映射;

（ⅱ）σA是P[x]到Mn（P）的一個映射;

（ⅲ）σA（x）=A;

（ⅳ）若f（x）+g（x）=h（x），f（x）·g（x）=q（x），則f（A）+g（A）=h（A），f（A）·g（A）=q（A）.

稱σA是x用A代入.

證明 （ⅰ）已知σ：P→PI，

k→kI，k∈P.

①k1，k2∈P，當k1≠k2時，有k1I≠k2I，則σ是單射.

②kI∈PI，k∈P，使得σk=kI，則σ是滿射.

③k1，k2∈P，有

σk1+k2

=k1+k2I

=k1+k20…00k1+k2…000…k1+k2

=k10…00k1…000…k1+k20…00k2…000…k2

=k1I+k2I=σk1+σk2

σk1·k2=k1·k2I

=k1·k20…00k1·k2…000…k1·k2

=k10…00k1…000…k1·k20…00k2…000…k2

=k1I·k2I=σk1·σk2.

綜上，映射σ仍為同構映射.

（ⅱ）由于f（x）的表示法唯一，且σ是數域P到子環PI的同構映射，故有（i=0，1，…，n）

σai·Ai∈Mn（P），因此σA是P[x]到Mn（P）的一個映射.

（ⅲ）已知e是P的單位元，σ是P到PI的同構映射，根據預備知識，則σ（e）是PI的單位元，即σ（e）=I，故σA（x）=σAe·x=σ（e）·A=I·A=A.

（ⅳ）令f（x）=∑ni=0aixi，g（x）=∑mj=0bjxj，不妨假設n≥m，則有

h（x）=∑ni=0ai+bixi，

其中bm+1=…=bn=0，q（x）=∑n+ms=0∑i+j=sai·bjxs.

由于σA：h（x）→h（A）q（x）→q（A）

因此，h（A）=∑ni=0σ（ai+bi）·Ai，q（A）=∑n+ms=0σ∑i+j=sai·bj·As;根據同構映射的定義，可以得到：

①h（A）=∑ni=0σai+σbi·Ai=∑ni=0σai·Ai+∑ni=0σbi·Ai，由于bm+1=…=bn=0，且σ是P到PI的同構映射，因此，σbm+1=…=σbn=02，可以得到h（A）=f（A）+g（A）.

②q（A）=∑n+ms=0∑i+j=sσaibj·As=∑n+ms=0∑i+j=sσai·σbj·As，根據預備知識中單位矩陣和同構映射的定義，則f（A）·g（A）=∑ni=0σai·Ai·∑mj=0σbj·Aj=∑ni=0∑mj=0aiI·Ai·bjI·Aj

= ∑ni=0∑mj=0aiI·bjI·Ai+j=∑n+ms=0∑i+j=saibjI·As=∑n+ms=0∑i+j=sσaibj·As =∑n+ms=0∑i+j=sσai·σbj·As.因此，q（A）=f（A）·g（A），稱σA是x用A代入.

四、結 論

本文主要對通用性質中的條件進行弱化，并證出具體情形下通用性質仍成立.但缺點是考慮的還只是條件弱化下的單一特殊情形，對于條件弱化下的一般情形是否也滿足一元多項式環的通用性質還有待進一步的探索.

【參考文獻】

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