區(qū)域動(dòng)態(tài)構(gòu)建法在重積分計(jì)算中的應(yīng)用

洪明理 張鶴翔 張麗娟

【摘要】 重積分的計(jì)算是《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).化重積分為累次積分的過(guò)程中，積分次序及積分限的確定是關(guān)鍵.本文通過(guò)積分域的動(dòng)態(tài)構(gòu)建，為積分次序和積分限的確定提供一個(gè)形象生動(dòng)的途徑，使得初學(xué)者在學(xué)習(xí)過(guò)程中能做到步驟明朗，思路清晰.

【關(guān)鍵詞】重積分;累次積分;積分域

【基金項(xiàng)目】防災(zāi)科技學(xué)院教育研究與教學(xué)改革項(xiàng)目（JY2018B08，2019GJJG478）

引 言

重積分的計(jì)算一直是《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).它主要是通過(guò)轉(zhuǎn)化為累次積分來(lái)計(jì)算.目前，我們主要是根據(jù)積分區(qū)域的類型把區(qū)域用不等式表示，再根據(jù)不等式將重積分轉(zhuǎn)化為累次積分.學(xué)生在自己做題的時(shí)候，思路常常不清晰，在積分限的確定和積分次序的選取上常常出錯(cuò)，特別是對(duì)轉(zhuǎn)換積分次序的問(wèn)題，更是理不清思路.教師講解這部分知識(shí)也特別困難.在教學(xué)過(guò)程中，筆者在原有的方法的基礎(chǔ)上，通過(guò)摸索教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)站在動(dòng)態(tài)構(gòu)建積分域的角度，可以給學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)步驟清晰、可操作性強(qiáng)的轉(zhuǎn)化程序.而且，這種動(dòng)態(tài)構(gòu)建積分域的方法對(duì)各種坐標(biāo)系下化重積分為累次積分都是適用的.本文將介紹直角坐標(biāo)系下、極坐標(biāo)系下和球坐標(biāo)系下積分域的動(dòng)態(tài)構(gòu)建法及該方法在重積分計(jì)算中的應(yīng)用.

一、直角坐標(biāo)系下區(qū)域的動(dòng)態(tài)構(gòu)建

在直角坐標(biāo)系下，一個(gè)二維區(qū)域可以看成是平行于x軸或y軸的動(dòng)線段沿著坐標(biāo)軸的正向連續(xù)移動(dòng)形成的軌跡.在動(dòng)線段移動(dòng)前，只要確定好線段在移動(dòng)過(guò)程中的兩個(gè)端點(diǎn)及線段的初始位置和終點(diǎn)位置，該區(qū)域就被完全確定.而移動(dòng)中的動(dòng)線段，我們又可以看成是點(diǎn)沿著坐標(biāo)軸正向的運(yùn)動(dòng)軌跡，它的兩個(gè)端點(diǎn)正是動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn).因此，在直角坐標(biāo)下構(gòu)建區(qū)域，可以歸結(jié)為兩個(gè)步驟：

1.由點(diǎn)沿坐標(biāo)軸正向連續(xù)移動(dòng)構(gòu)建平行于該坐標(biāo)軸的動(dòng)線段;

2.由動(dòng)線段沿另一坐標(biāo)軸的正向連續(xù)移動(dòng)構(gòu)建區(qū)域.

在直角坐標(biāo)系下，我們可以把這兩個(gè)構(gòu)建步驟與點(diǎn)的坐標(biāo)的變化對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而將按步驟有序地把二重積分化為二次積分 .

比如： X型區(qū)域：

1. 任給x， 讓動(dòng)點(diǎn)由下往上（即y軸遞增的方向）移動(dòng)構(gòu)建垂線段.在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)遞增，y的下界和上界分別由起點(diǎn)和

終點(diǎn)所在的邊界曲線方程確定，即x固定，y：φ（x）→ψ（x）.

2.動(dòng)線段從左邊界x=a移動(dòng)到右邊界x=b便唯一確定區(qū)域D， 這個(gè)過(guò)程又與x從a遞增到b相對(duì)應(yīng)（此過(guò)程不僅使得線段移動(dòng)，還使得線段的端點(diǎn)同時(shí)發(fā)生變化）， 即x：a→b.[a，b]為區(qū)域在x軸的投影.

構(gòu)建好區(qū)域后，我們就可以將該區(qū)域上的二重積分按以上兩個(gè)步驟有序地轉(zhuǎn)化為二次積分.第一次積分：將x固定，對(duì)y從φ（x）到ψ（x）積分;第二次積分：對(duì)x從a到b積分，

即Df（x，y）dxdy=∫badx∫ψ（x）φ（x）f（x，y）dy.

同理， 對(duì)于Y型區(qū)域：

1.任給y，讓動(dòng)點(diǎn)從左往右（沿x軸遞增方向）移動(dòng)構(gòu)建水平動(dòng)線段.點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)遞增，x的下界和上界分別由起點(diǎn)和終點(diǎn)所在的邊界曲線方程確定，即y 固定，x：x1（y）→x2（y）.

2.動(dòng)線段從下邊界y=c移動(dòng)到y(tǒng)=d便唯一確定區(qū)域D.這個(gè)過(guò)程又與y從c遞增到d相對(duì)應(yīng)，即y：c→d.[c，d]恰好是區(qū)域在y軸的投影.

構(gòu)建好區(qū)域后，該區(qū)域上的二重積分便可按上述兩個(gè)步驟有序地化為二次積分.第一次積分：將y固定，對(duì)x從x1（y）到x2（y）積分;第二次積分：

對(duì)y從c到d積分，即

Df（x，y）dxdy=∫dcdy∫ψ2（y）ψ1（y）f（x，y）dx.

學(xué)生如果掌握了這種由點(diǎn)到線再到面的區(qū)域動(dòng)態(tài)構(gòu)建方法，并能將點(diǎn)和線的有向運(yùn)動(dòng)與坐標(biāo)的變化建立對(duì)應(yīng)，便能理解積分次序與點(diǎn)和線的運(yùn)動(dòng)方向有關(guān)，不同的構(gòu)建方法產(chǎn)生不同的積分次序，也就不會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤.而積分限又可以通過(guò)點(diǎn)和線運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)來(lái)確定，很直觀，容易操作.

二、極坐標(biāo)系下區(qū)域的動(dòng)態(tài)構(gòu)建

在極坐標(biāo)系下，一個(gè)二維區(qū)域可以看成是由極點(diǎn)出發(fā)的動(dòng)射線繞極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的軌跡.在旋轉(zhuǎn)前，只要確定好動(dòng)射線的兩個(gè)端點(diǎn)及初始位置和終點(diǎn)位置，區(qū)域就可以完全確定.我們依然可以運(yùn)用建立由點(diǎn)到線再到面的動(dòng)態(tài)構(gòu)建法，并將構(gòu)建步驟與極坐標(biāo)的變化建立對(duì)應(yīng).

1.讓動(dòng)點(diǎn)從極點(diǎn)出發(fā)，沿著極半徑遞增的方向運(yùn)動(dòng)構(gòu)建動(dòng)射線，找出與邊界的兩個(gè)交點(diǎn).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，顯然極角θ固定，極半徑r遞增，r的下界和上界分別由第一個(gè)交點(diǎn)和第二個(gè)交點(diǎn)所在的邊界曲線的極坐標(biāo)方程確定，即

θ固定，r：φ1（θ）→φ2（θ）.

2.讓動(dòng)射線從θ=α繞極點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到θ=β便唯一確定區(qū)域D.這個(gè)過(guò)程又與θ從α遞增到β相對(duì)應(yīng)，即θ：α→β.

區(qū)域構(gòu)建后，我們就可以將該區(qū)域上的二重積分按以上兩步驟有序地化為二次積分.第一次積分：將θ固定，對(duì)r從φ1（θ）到φ2（θ）積分;第二次積分：對(duì)θ從α到β積分.

大部分教材都從極點(diǎn)與區(qū)域的位置關(guān)系分情況討論，實(shí)際上不管是哪一種情況，這種動(dòng)態(tài)構(gòu)建法都是適用的.

此外，這種動(dòng)態(tài)構(gòu)建法也適用于空間區(qū)域的構(gòu)建以及三重積分的計(jì)算，對(duì)于空間直角坐標(biāo)系和柱面坐標(biāo)系下區(qū)域的構(gòu)建和平面類似，只是動(dòng)線段的移動(dòng)范圍由一維的區(qū)間變成了二維的區(qū)域（空間區(qū)域在坐標(biāo)面的投影），所以這里我們不再闡述.下面我們介紹一下球坐標(biāo)系下區(qū)域的構(gòu)建.

三、球坐標(biāo)系下空間區(qū)域的構(gòu)建

在球坐標(biāo)系下，我們也可以運(yùn)用由點(diǎn)到線，由線到面，由面到體的動(dòng)態(tài)構(gòu)建法.下面我們以球面r=R與三個(gè)坐標(biāo)面在第一卦限圍成的立體Ω為例，來(lái)介紹這種動(dòng)態(tài)構(gòu)建法.

1.讓動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿著r遞增方向運(yùn)動(dòng)形成穿過(guò)立體的射線（如圖4），這個(gè)過(guò)程中θ，φ固定，r遞增，r的下界和上界由射線與立體表面的兩個(gè)交點(diǎn)所在面的球坐標(biāo)方程確定.對(duì)該區(qū)域，這個(gè)過(guò)程可描述為：θ，φ固定，r：0→R.

2.讓該射線沿逆時(shí)針?lè)较颍é冗f增方向）繞z軸旋轉(zhuǎn)形成動(dòng)錐面（如圖5）.這個(gè)過(guò)程中φ固定，θ：0→π2.

3.讓動(dòng)錐面從上往下（φ遞增方向）鋪開(kāi)掃遍整個(gè)立體. 對(duì)該區(qū)域，這個(gè)過(guò)程對(duì)應(yīng)φ：0→π2.

最后，再根據(jù)這三個(gè)構(gòu)建步驟，將該區(qū)域上的三重積分有序地化為三次積分，即

Ωf（rsin φcos θ，rsin φsin θ，rcos φ）r2sin φdrdθdφ=∫π20dφ∫π20dθ∫R0f（rsin φcos θ，rsin φsin θ，rcos φ）r2sin φdr.

如果一個(gè)三重積分適合用球面坐標(biāo)系計(jì)算，我們都可以利用這三個(gè)步驟構(gòu)建積分域，從而將其化為三次積分.

結(jié) 語(yǔ)

本文從動(dòng)態(tài)構(gòu)建積分域的角度講述化重積分為累次積分的方法.在教學(xué)過(guò)程中，我們還可以通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示把這種構(gòu)建方法形象地呈現(xiàn)給學(xué)生，使得原本晦澀難懂的知識(shí)變得形象生動(dòng)，提高學(xué)生的課堂參與率及課堂教學(xué)效果.

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