正圓點(diǎn)三角形重構(gòu)倒圓點(diǎn)三角形的最優(yōu)值分析

李清康

【摘要】 本文研究了把正圓點(diǎn)三角形重構(gòu)成倒圓點(diǎn)三角形需要移動圓點(diǎn)個數(shù)最少的最優(yōu)值問題，從圖形變換問題中抽象出數(shù)學(xué)問題并進(jìn)行了深入的分析，給出了兩種求解該重構(gòu)問題的方法：一種方法是根據(jù)規(guī)律總結(jié)出一個計算公式，另一種方法是基于圖形最大面積的特性，移動三個小三角形的位置，并計算所移動的三個小三角形所包含的小圓點(diǎn)的個數(shù).

【關(guān)鍵詞】圓點(diǎn)三角形;重構(gòu);數(shù)形結(jié)合;最優(yōu)值

一、引 言

對于一個由圓點(diǎn)構(gòu)成的等邊三角形，可以移動部分圓點(diǎn)使其變成倒等邊三角形.如何通過移動最少個數(shù)的圓點(diǎn)就可以把原來的三角形重新構(gòu)成倒等邊三角形引起了許多人的興趣，當(dāng)圓點(diǎn)個數(shù)少時，這變成了一個益智游戲.通過深入分析發(fā)現(xiàn)，這是一個數(shù)形結(jié)合的奇妙的數(shù)學(xué)問題，該數(shù)學(xué)問題不但可以啟發(fā)中小學(xué)生的抽象思維能力，也能夠激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生濃厚興趣.在圓點(diǎn)個數(shù)比較少的情況下，可以通過窮舉法找到移動圓點(diǎn)個數(shù)最少的方法，但當(dāng)三角形邊長的圓點(diǎn)數(shù)較多時，利用窮舉法分析就顯得有些不合適.通過對這個問題的進(jìn)一步觀察研究，我們發(fā)現(xiàn)這個問題可以抽象為一個數(shù)學(xué)求和問題，同時，該數(shù)學(xué)問題也包含了優(yōu)化概念.由此問題也可以引申出整數(shù)的商的求和問題.

二、問題分析

圖1是一個由圓點(diǎn)構(gòu)成的四層等邊三角形：

圖1 四層圓點(diǎn)三角形

把圖1這個由圓點(diǎn)構(gòu)成的等邊三角形變換成顛倒放置的等邊三角形有許多移動圓點(diǎn)的方法，但是通過移動最少的圓點(diǎn)就可以把正等邊三角變成倒等邊三角形的方法只有一種，即把第四排兩邊的兩個圓點(diǎn)移動到第二排原來的兩個圓點(diǎn)的兩邊，然后把最上面的一個圓點(diǎn)移動到最下面，一共移動三個圓點(diǎn)就把原來的正等邊三角形變成了倒等邊三角形.通過直觀類似窮舉的方法找到了這個最優(yōu)化問題的答案.畢竟這個四層圓點(diǎn)三角形層數(shù)較少，圓點(diǎn)個數(shù)不多，可以順利地得到移動最少圓點(diǎn)個數(shù)的答案.如果三角形層數(shù)增多，要通過移動最少圓點(diǎn)個數(shù)重構(gòu)出來一個倒三角形則難度大增，再利用窮舉的方法得到答案已經(jīng)變成一個無法完成的工作.如何移動個數(shù)最少的圓點(diǎn)來重構(gòu)一個倒三角形，其內(nèi)在蘊(yùn)含著什么樣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，這是一個需要深思的問題.

三、規(guī) 律

我們分別計算了1—13層的等邊三角形，結(jié)果如表1：

通過比較，發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：不同層數(shù)的三角形重構(gòu)成倒三角形時移動圓點(diǎn)個數(shù)，除了1層的情況，2，3，4層移動個數(shù)都比其前一層移動圓點(diǎn)個數(shù)多1， 5，6，7層都比前一層數(shù)移動圓點(diǎn)個數(shù)多2， 8，9，10層都比前一層數(shù)移動圓點(diǎn)個數(shù)多3.以此類推，可得到N層三角形移動最少圓點(diǎn)個數(shù)變?yōu)榈谷切蔚臄?shù)學(xué)計算公式：

一層：? S1=0 （1）

N層：SN=SN-1+N+13=∑Ni=1i+13（2）

四、數(shù)學(xué)推導(dǎo)

針對一個N層正三角形，其底層圓點(diǎn)個數(shù)也是N. 如圖2所示.

圖2 N層正/倒圓點(diǎn)三角形

從數(shù)學(xué)的角度來分析，描述正/倒三角形變換移動最少圓點(diǎn)的問題，可以考慮為保證正/倒兩個三角形交疊部分的面積最大的問題.很明顯，圖2中兩個三角形交疊部分最大時移動的圓點(diǎn)最少.我們知道兩個正三角形交疊部分越接近正六邊形，則面積越大.因此可以看出，問題轉(zhuǎn)化成了把圓點(diǎn)正三角形的三個角處的圓點(diǎn)移動到對應(yīng)的六邊形的另外三個角處，就把正圓點(diǎn)三角形變成了倒圓點(diǎn)三角形，而且這種移動方法移動的圓點(diǎn)個數(shù)最少.

一個N層正三角形底邊的圓點(diǎn)個數(shù)也是N，如果底邊的N個圓點(diǎn)中留下的圓點(diǎn)數(shù)確定，那么整個正三角形重構(gòu)成倒三角形的方法也就確定了.根據(jù)前面的分析，我們知道兩個正三角形交疊部分接近正六邊形且邊長盡量大，需要把N層三角形（圖2）底邊分成三份，N是整數(shù)，則有：

N3=n……m（3）

其中n是商，m是余數(shù).保證中間形成交疊部分的圓點(diǎn)最多，中間部分構(gòu)成交疊區(qū)域，左右兩邊的部分形成左右兩個邊長為n的小正三角形.左右兩個小三角形中包含的圓點(diǎn)是需要被移動的圓點(diǎn).交疊部分形成的六邊形的下面邊長為（n+m）個圓點(diǎn)，對應(yīng)的上面邊長也應(yīng)保留的圓點(diǎn)個數(shù)為n+m.因此，上部余下的小正三角形邊長為n+m-1，這個小三角形中包含的圓點(diǎn)需要移動到六邊形下面對應(yīng)的位置.

左邊和右邊兩個小三角形包含總的圓點(diǎn)個數(shù)公式為：

SA=n×（n+1）（4）

上部的一個小三角形包含的圓點(diǎn)個數(shù)公式為：

SB=12（n+m-1）×（n+m）（5）

則總的最少移動的圓點(diǎn)個數(shù)為：

SN=SA+SB （6）

利用公式（6）計算，當(dāng)N=12時，n=4，m=0，利用公式（6）可以直接計算出SN=26. 公式（6）和公式（2）的計算結(jié)果相等.說明兩種計算方法是一致的，都可以準(zhǔn)確得到正三角形變成倒三角形時移動的最少圓點(diǎn)的個數(shù).

從以上的結(jié)果中也可以得到如下數(shù)學(xué)表達(dá)式：

∑Ni=1i+13的商=n×n+1+12（n+m-1）×（n+m）（7）

五、總 結(jié)

針對一個由圓點(diǎn)構(gòu)成的正放置的等邊三角形，研究了通過移動最少圓點(diǎn)個數(shù)使其重構(gòu)成倒放置的等邊三角形的最優(yōu)求解問題.這是一個數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)問題，我們通過歸納總結(jié)可以把該問題抽象成一個整數(shù)商的求和問題，同時可以結(jié)合正/倒三角形交疊部分面積最大問題，得到了求最少移動圓點(diǎn)個數(shù)的計算公式，也給出了移動小圓點(diǎn)的方法.這兩種方法得到的計算結(jié)果相同.

【參考文獻(xiàn)】

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