探究偶數(shù)與素?cái)?shù)之間的聯(lián)系

王國昌

【摘要】素?cái)?shù)定理描述了素?cái)?shù)在整數(shù)中的分布特點(diǎn)，哥德巴赫猜想告訴人們：大于4的偶數(shù)都可以用兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示.本文闡明了可以用不等式描述一個(gè)大于4的偶數(shù)由兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示的不同情況的個(gè)數(shù).

【關(guān)鍵詞】素?cái)?shù)定理;哥德巴赫猜想;素?cái)?shù);偶數(shù)

一、引 言

素?cái)?shù)表面看上去很簡單，但當(dāng)你深入了解它的時(shí)候，你會感到它其實(shí)神秘而深?yuàn)W. 有關(guān)素?cái)?shù)的性質(zhì)非常少，但應(yīng)用它的地方卻很多.如果你把你的猜想賦予給它的時(shí)候，它會讓你高興一會兒或很長一段時(shí)間，在你認(rèn)為它正確的時(shí)候，它會給你迎面潑一盆冷水. 對于命題“大于4的偶數(shù)一定能用兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示”，在思考的過程中，雖然沒有找到證明它的方法，卻總結(jié)出與這個(gè)命題相關(guān)的命題，并且認(rèn)為這個(gè)命題有一定的實(shí)用價(jià)值.

二、命題及概述

命題：任何一個(gè)大于或等于4的偶數(shù)x都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，設(shè)這個(gè)偶數(shù)能寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和的個(gè)數(shù)為c，則c≥Π（x）-π2 其中Π（x）為小于x的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，Π（x）-π2表示不大于Π（x）-π2的最大整數(shù).

在命題中之所以用Π（x）-π2來表示偶數(shù)能寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和的個(gè)數(shù)，是想以此來說明偶數(shù)與比它小的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)之間存在某種聯(lián)系. 隨著偶數(shù)的不斷增大，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)也逐漸增加. 在公式c≥Π（x）-π2中，根據(jù)素?cái)?shù)定理可知，從整體上看，隨著偶數(shù)的逐漸增大，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)Π（x）逐漸增大[1]，則Π（x）-π2也逐漸增大.

對于這個(gè)命題，當(dāng)x≥18時(shí)，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)Π（x）≥7，此時(shí)，Π（x）-π2≥1符合哥德巴赫猜想. 因此，命題符合哥德巴赫猜想，是對哥德巴赫猜想的一個(gè)補(bǔ)充說明. 同時(shí)，從另外一個(gè)角度說明，雖然隨著整數(shù)的不斷增加，素?cái)?shù)在整數(shù)中的密度會逐漸減小，但是，由于素?cái)?shù)的內(nèi)在特性，使得任何一個(gè)偶數(shù)x隨著偶數(shù)的增大，它能寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和的可能性也會逐漸增大.用兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示偶數(shù)時(shí)，帶有一定的偶然性，當(dāng)偶數(shù)較小時(shí)對結(jié)果影響較大，為了修正這種偏差，在公式中用了Π（x）-π2，使計(jì)算的結(jié)果更能反映內(nèi)在的規(guī)律.

下面列舉4—2000之間的部分有代表性的偶數(shù)寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和的情況，其中b=Π（x）-π2，c表示偶數(shù)用兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示的實(shí)際的個(gè)數(shù).

4=2+2;c=1，b=2-π2=-1.

6=3+3;c=1，b=3-π2=0.

8=3+5;c=1，b=0.

10=3+7=5+5;c=2，b=0.

12=5+7;c=1，b=0.

14=3+11=7+7;c=2，b=0.

16=3+13=5+11;c=2，b=6-π2=0.

18=5+13=7+11;c=2，b=7-π2=1.

20=3+17=7+13;c=2，b=1.

22=3+19=5+17=11+11;c=3，b=1.

24=5+19=7+17=11+13;c=3，b=1.

26=3+23=7+19=13+13;c=3，b=1.

28=5+23=11+17;c=2，b=1.

30=7+23=11+19=13+17;c=3，b=1.

32=3+29=13+19;c=2，b=1.

34=3+31=5+29=11+23=17+17;c=4，b=1.

36=5+31=7+29=13+23=17+19;c=4，b=1.

38=7+31=19+19;c=2，b=1.

40=3+37=11+29=17+23;c=3，b=12-π2=1.

42=5+37=11+31=13+29=19+23;c=4，b=13-π2=2.

44=3+41=7+37=13+31;c=3，b=2.

46=3+43=5+41=17+29=23+23;c=4，b=2.

48=5+43=7+41=11+37=17+31=19+29;c=5，b=2.

50=3+47=7+43=13+37=19+31;c=4，b=2.

52=5+47=11+41=23+29;c=3，b=2.

54=7+47=11+43=13+41=17+37=23+31;c=5，b=2.

56=3+53=13+43=19+37;c=3，b=2.

58=5+53=11+47=17+41=29+29;c=4，b=2.

60=7+53=13+47=17+43=19+41=23+37=29+31;c=6，b=2.

62=3+59=19+43=31+31;c=3，b=2.

64=3+61=5+59=11+53=17+47=23+41;c=5，b=2.

66=5+61=7+59=13+53=19+47=23+43=29+37;c=6，b=2.

68=7+61=31+37;c=2，b=2.

70=3+67=11+59=17+53=23+47=29+41;c=5，b=2.

72=5+67=11+61=13+59=19+53=29+43=31+41;c=6，b=20-π2=2.

74=3+71=7+67=13+61=31+43=37+37;c=5，b=21-π2=3.

…

126=13+113=17+109=19+107=23+103=29+97

=37+89=43+83=47+79=53+73=59+67;c=10，b=3.

128=19+109=31+97=61+67;c=3，b=31-π2=3.

…

500=13+487=37+463=43+457=61+439=67+433

=79+421=103+397=127+373=151+349=163+337

=193+307=223+277=229+271;c=13，b=95-π2=8.

…

1004=7+997=13+991=37+967=67+937=97+907=127+877

=151+853=181+823=193+811=271+733=277+727=313+691

=331+673=373+631=397+607=433+571=457+547=463+541;

c=18，b=168-π2=11.

…

通過上面這些計(jì)算會發(fā)現(xiàn)，計(jì)算的結(jié)果符合命題. 雖然c的值波動較大，但c的較小的值與相應(yīng)的b的值比較接近，且總有c≥b. 在局部，隨著偶數(shù)的增大，c有時(shí)增大，有時(shí)減小，會經(jīng)常出現(xiàn)反復(fù)，但整體上呈現(xiàn)增大的趨勢.雖然這些數(shù)據(jù)還不夠多，但足以說明命題是正確的. 對于較大的偶數(shù)由于受篇幅的影響，沒有列舉，但這并不影響命題的成立. 況且數(shù)學(xué)本身就有由小及大、由點(diǎn)及面的描述和預(yù)測的功能.

從公式中可以看出，對于幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)：x1，x2，…，xk， 如果小于它們的素?cái)?shù)都是m個(gè)，理論上這幾個(gè)偶數(shù)用兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示的個(gè)數(shù)都大于或等于m-π2個(gè)， 即這幾個(gè)偶數(shù)用兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示的個(gè)數(shù)與它們的數(shù)值大小無關(guān)，但與小于它們的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)有關(guān).素?cái)?shù)在整數(shù)內(nèi)的分布是隨機(jī)的，但由于素?cái)?shù)的定義的約束，使得素?cái)?shù)在整數(shù)內(nèi)的分布不是簡單的隨機(jī)，而是一種非常嚴(yán)格的隨機(jī). 這種嚴(yán)格的隨機(jī)使得素?cái)?shù)表面看起來雜亂無章，但若仔細(xì)探究又非常有序，使得素?cái)?shù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用非常廣泛.

我們可以推想到，對于所有的偶數(shù)，命題的結(jié)論都是正確的. 在這些數(shù)據(jù)中，偶數(shù)能寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和的個(gè)數(shù)的實(shí)際數(shù)值c常常比計(jì)算的數(shù)值b高出許多，但實(shí)際數(shù)值c的波動性較大，而結(jié)論c≥b卻總能成立，這恰好說明計(jì)算b是必要的，只有b才能真正反映出偶數(shù)寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和的個(gè)數(shù)存在的規(guī)律.

隨著偶數(shù)的增大，素?cái)?shù)在整數(shù)中的密度會越來越小，很多人擔(dān)心當(dāng)偶數(shù)足夠大時(shí)，會有較少的偶數(shù)不能用兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示. 根據(jù)素?cái)?shù)的定義，要想知道一個(gè)整數(shù)是不是素?cái)?shù)，可以用這個(gè)整數(shù)除以小于或等于這個(gè)整數(shù)的所有正整數(shù)，如果這個(gè)整數(shù)只能被1和它本身整除，那么這個(gè)數(shù)就是素?cái)?shù). 因此，每一個(gè)偶數(shù)都與小于它的所有素?cái)?shù)保持著緊密的聯(lián)系.再者，對于素?cái)?shù)數(shù)列{2，3，5，7，11，13，…，ak，…}，當(dāng)素?cái)?shù)由k個(gè)增加到（k+1）個(gè)時(shí)，用兩個(gè)素?cái)?shù)之和生成的偶數(shù)的個(gè)數(shù)增加：（k2+1）-[（k-1）2+1]=2k-1（個(gè)）. 而且，增加的偶數(shù)大于ak+1且小于或等于2ak+1，并依此嚴(yán)格循環(huán). 由于素?cái)?shù)在整數(shù)中的密度減小得非常緩慢，而偶數(shù)由兩個(gè)素?cái)?shù)之和生成的個(gè)數(shù)卻能較快地增多，而且增多的這些偶數(shù)都有一定的約束條件，對每一個(gè)偶數(shù)幾乎都是公平的.相當(dāng)于生成的偶數(shù)對區(qū)間內(nèi)的偶數(shù)進(jìn)行覆蓋，而且偶數(shù)越大，被覆蓋的次數(shù)可能越多. 因此，我們不必?fù)?dān)心個(gè)別較大的偶數(shù)不能用兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示，而且，當(dāng)偶數(shù)越大，它能用兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示的機(jī)會也越大. 基于以上這兩點(diǎn)考慮，素?cái)?shù)的分布雖然具有隨機(jī)性，但這種隨機(jī)是受一定條件約束的，對每一個(gè)整數(shù)都是公平的，是一種非常嚴(yán)格的隨機(jī). 長期以來，人們通過各種方法驗(yàn)證，都認(rèn)為哥德巴赫猜想是正確的，只是需要一個(gè)時(shí)間點(diǎn)或一個(gè)契機(jī)，進(jìn)行完整的證明. 所以，我們不僅要關(guān)注大于4的偶數(shù)是否一定能用兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示[2]，還應(yīng)該有一部分人需要避開這個(gè)難點(diǎn)，去關(guān)注一個(gè)大于4的偶數(shù)用兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示時(shí)可能有多少種情況.

三、結(jié) 論

綜合上面的討論，我們可以得到下面的結(jié)論，這個(gè)命題應(yīng)該是正確的，即命題：偶數(shù)不但能用兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示，而且表示的個(gè)數(shù)與小于這個(gè)偶數(shù)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)之間也有一定的聯(lián)系.

在數(shù)學(xué)上有許多定理都是先提出后證明的，費(fèi)馬大定理由17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出，經(jīng)過了很多年，直到1995年才被證明是正確的.哥德巴赫猜想是在1742年被提出的，直到現(xiàn)在仍然沒有得到完整的證明. 發(fā)現(xiàn)規(guī)律、證明規(guī)律和運(yùn)用規(guī)律有時(shí)是各自獨(dú)立的，有時(shí)又是相互統(tǒng)一的.

整數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，素?cái)?shù)是整數(shù)中有特殊性質(zhì)的整數(shù)，是整數(shù)中很重要的成員. 對素?cái)?shù)進(jìn)行了任何一點(diǎn)點(diǎn)深入的了解，對數(shù)學(xué)的發(fā)展都會起到一定的作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1] 蔡同靈. 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究[J]. 綿陽師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 1996（S1）： 13-20.

[2] 程潔. 對哥德巴赫猜想的論證[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究， 2019（15）：150.