可靠度理論在邊坡工程中的應用研究

張凌晨，白建強，侯瑞凱，卿菁，盧應發

(1 湖北工業大學 土木建筑與環境學院，湖北 武漢 430068；2 中鐵大橋局第七工程有限公司，湖北 武漢 430050；3 大連理工大學工程抗震研究所，遼寧 大連 116024)

不確定性普遍存在于自然界，同時也存在于各類工程中。邊坡工程中存在眾多具有顯著隨機性的影響因素，如巖土體的強度、邊坡的應力場、滲流場、荷載作用機制等。為了保證邊坡的安全性并對邊坡的變形進行及時的預測預報與治理，有必要研究邊坡穩定程度的不確定性[1]。

在工程建設中，隨機性是較為常見的不確定性形式，一般用概率體現其大小。隨著概率與統計理論的發展，工程結構的可靠性理論快速進步，至今形成了空前完整的可靠性理論規范體系?？煽啃岳碚撌褂冒踩绊懸蜃拥母怕史植济枋龉こ探Y構的可靠性[2]。這種方法以一個確定的概率值來描述工程結構中的不確定性，為工程結構可靠性提供了一個定量的衡量標準[3]。由于邊坡工程的復雜性與各類安全影響因素的不確定性，可靠性理論在邊坡領域具有較為廣闊的應用與發展前景[4-6]。

目前，已有許多學者對邊坡穩定可靠性進行了研究。關于邊坡可靠性的研究取得了許多成果。文獻[7-13]應用蒙特卡洛方法研究了邊坡可靠性，得出了許多有益于邊坡可靠性理論發展的結論。文獻[14-19]應用一次二階矩方法研究了邊坡可靠性，提出了許多邊坡可靠性研究的新思路。文獻[20]采用羅森布魯斯法計算了實例滑坡的可靠指標。

然而，目前邊坡可靠性研究尚未形成較成熟的理論體系，可靠性理論并未在邊坡工程中獲得廣泛應用。因此，本文將結構可靠性基本原理運用于邊坡可靠性分析，分別采用蒙特卡洛模擬方法、一次二階矩方法與羅森布魯斯方法與現行的邊坡極限平衡法相結合的方式對邊坡可靠性進行計算并對計算結果進行比較分析，以探究更為合理的邊坡穩定性預測預報方法，從而為滑坡的防治工作提供更高效、更明確、更完善的指導方法。

1 邊坡可靠度原理

1.1 邊坡可靠性功能函數

類似結構可靠性，邊坡可靠性可用邊坡的抗力與荷載作用效應之差作為功能函數，即邊坡的抗滑力與下滑力之差，強度儲備表示的功能函數為：

Z=R(X1,X2,…,Xn)-S(X1,X2,…,Xn)

(1)

與式(1)對應的破壞概率為：

(2)

根據邊坡可靠性分析的特征，可采用傳統穩定系數進行狀態判斷。即安全系數表示功能函數：

(3)

與式(3)對應的破壞概率為：

(4)

邊坡的可靠度為：

PS=1-Pf

以上各式中，R表示抗滑力；S表示下滑力；Xi(i∈(1,n))表示與邊坡穩定性相關的隨機變量；g(r,s)表示抗力與下滑力的聯合概率密度；fZ(z)表示功能函數的概率密度。

1.2 邊坡可靠性指標

如果功能函數服從正態分布，則對應于上述兩種功能函數有兩種可靠指標。將功能函數標準化后代入式(2)可得：

因此，強度儲備功能函數對應的可靠指標為：

當只考慮粘聚力c與摩擦常數f的變異性時，安全系數為c、f的線性組合。因此，當c、f服從正態分布時，安全系數Z仍服從正態分布[21]。將功能函數標準化后代入式(4)可得：

因此，安全系數功能函數對應的可靠指標為：

其中，μZ為Z的均值；σZ表示標準差；β為可靠指標。

2 邊坡可靠度計算實例

某巖質邊坡的截面尺寸特征及荷載如圖1所示，縱向長約200 m，故可視為平面應力問題。其抗剪強度參數c，f具有較為顯著的變異性，因此可視為隨機變量。本實例的重度γ=10 kN/m2，變異性很小，對邊坡可靠性的影響比強度參數小許多，故可視為常量[22]。坡體及滑動面的抗剪強度參數如下：μc=106 kPa，σc=33 kPa，δc=0.31，μf=0.2924，σf=0.0209，δf=0.07，ρc, f=0。目前多數研究仍認為巖土材料的強度指標服從正態分布或對數正態分布[23]，故設參數c，f服從正態分布。

圖 1 邊坡截面圖

基于三種可靠度計算方法，分別采用式(1)和式(3)所示的兩種邊坡功能函數。針對不同均布荷載作用條件下的邊坡可靠度及其安全系數均值μF進行計算分析。q由圖1所示的初始狀態逐級遞增，每一級的增量為50 kN/m，直到q增加至600 kN/m為止。此三個力的作用點應位于O點處?；谏鲜鰞煞N功能函數，可得到上述實例邊坡相應的的狀態方程分別為：

強度儲備功能函數的狀態方程：

Z1=g1(c,f)=R(c,f)-S(c,f)=
clAB+(W+qlBC)cosα·f-
(W+qlBC)sinα=0

(5)

安全系數功能函數的狀態方程：

(6)

其中，c為坡體粘聚力；f表示摩擦常數；W為重力，lAB表示AB邊的長度；lBC為BC邊的長度。

3 蒙特卡洛法計算

采蒙特卡洛法的基本原理見文獻[24]。其特點為：既考慮了邊坡可靠度的眾多影響因素，又避免了復雜困難的數學計算，其原理易程序化，但計算結果受抽樣方式與模擬次數影響。設絕對誤差不超過1%，置信度為99%，則由文獻[17]可知，模擬次數約大于或等于65 895次，可滿足要求。運用Matlab軟件編寫程序，分別以式(1)和式(3)為功能函數，進行10次～5×108次模擬計算。在q=100 kN/m的條件下，計算結果如表1所示。由于兩種功能函數模擬結果相同，故表1不再區分功能函數形式。

由表1數據可知，當模擬次數達到107次后，邊坡破壞概率和可靠度趨于穩定值。而要滿足誤差小于1%的條件，只需模擬65 895次以上便可。因此在判斷錯誤的概率趨于0的條件下，可認為5×108次模擬計算所得的可靠度是所用模型計算的真實可靠度。

表1 不同模擬次數下的可靠度

圖 2 不同荷載下的蒙特卡洛法可靠度

據圖2顯示，在初始的坡頂均布荷載作用下邊坡的破壞概率為0.0276，可靠度為0.9724，極限平衡法穩定系數均值為2.0185,邊坡處于穩定狀態。當坡頂均布荷載的級別越來越大時，邊坡的破壞概率也逐級遞增，整體可靠度和極限平衡法的整體穩定系數期望值逐級遞減。在破壞概率與可靠度隨荷載級別變化曲線的交點A處二者相等皆為0.5，對應的安全系數均值十分接近B點臨界安全系數Fc=1.0。隨著均布荷載的增加，當荷載在350 kN/m～450 kN/m范圍內變化時，邊坡的可靠度下降程度比其他荷載對應的階段顯著。對應的穩定系數均值變化范圍為1.0713～0.9336。當穩定系數均值由1.0713逐漸減小時，傳統觀點認為邊坡處于基本穩定狀態，但十分接近欠穩定狀態，從破壞概率上看仍然有較大的破壞可能性。當穩定系數均值減小至0.9336時，傳統觀點認為，邊坡已發生破壞，但從可靠度上看邊坡仍然有較大的不發生破壞的可能性。對于C點，穩定系數均值判定邊坡處于嚴重破壞狀態，但依概率仍存在不發生破壞的可能性。蒙特卡洛法很好地模擬了算例邊坡應力狀態更替過程中的可靠度及破壞概率的動態演化規律。

4 一次二階矩中心點法計算

圖 3 不同荷載下的一次二階矩中心點法可靠度

從圖3可以看出，在初始的坡頂均布荷載作用下，邊坡的破壞概率為0.0276，可靠度為0.9724，極限平衡法穩定系數均值為2.0185，邊坡處于穩定狀態。當坡頂均布荷載的級別越來越大時，邊坡的破壞概率也逐級遞增，整體可靠度和極限平衡法的整體穩定系數期望值逐級遞減。當破壞概率與可靠度相等時，對應的荷載級別幾乎與極限平衡法的整體穩定系數均值為1的臨界點所對應的荷載級別重合。隨著均布荷載等級逐漸均勻地增加，當荷載在350 kN/m～400 kN/m范圍內增長時，邊坡的可靠度下降較顯著，且破壞概率增長較明顯；極限平衡法的整體穩定系數的數學期望雖大于1，但十分接近欠穩定狀態。當荷載在400 kN/m～450 kN/m范圍內增長時，邊坡破壞概率已超過50%，有破壞的可能性較大；此時邊坡已失去充足的抗力，但仍有一定的可靠度。當荷載級別到達C點時，依據極限平衡穩定系數，邊坡早已形成滑坡。但依概率仍存在維持現狀穩定的幾率。一次二階矩中心點法較好地體現了荷載逐級遞增過程中案例邊坡的可靠度變化特征。

5 羅森布魯斯法計算

5.1 羅森布魯斯法基本原理

羅森布魯斯法的基本原理如下[26]：

首先，計算將式(1)或式(3)所示的功能函數的各階原點矩E(Zk)：

(7)

式(7)中，對應于n個基本隨機變量，功能函數Z有2n個取值。基本隨機變量的樣本值按下式確定：

正負偏度糾正系數分別為：

Pi-=1-Pi+

其中，CSXi表示偏度系數。一般情況下，若偏度系數未知時，通常先假設其為0。

如果基本隨機變量Xi(i=1，2，…，n)互相之間具有相關性，則2n個功能函數Z值所對應的2n個基本隨機變量樣本值組合中每一組合的概率為：

(8)

式(8)中，ρpq(p=1，2，…，n；q=1，2，…，n)為基本隨機變量Xp與Xq之間的相關系數。ei(i=1，2，…，n)的取值按如下方法：

當Xi取xi+時，ei=1；

當Xi取xi-時，ei=-1。

對應于n個基本隨機變量的樣本值有2n個取值點，共有2n種組合方式，基于此，功能函數Z的均值的估計值為：

至此，可計算出與功能函數分布特征系數相關的前四階中心矩。一階矩，即均值

二階中心矩，即方差

三階中心矩

M3=E[(Z-μZ)3]≈

四階中心矩

M4=E[(Z-μZ)4]≈

描述功能函數分布離散程度的變異系數

描述功能函數分布對稱性即偏移程度的偏度系數

描述功能函數分布峰值高低的峰度

描述功能函數可靠性的可靠指標

該法的特點為：原理簡單，條理清晰，易于程序化，且規避了功能函數的求導過程，極大簡化了計算過程。

5.2 實例計算

圖 4 不同荷載下的羅森布魯斯法可靠度

由圖4可知，羅森布魯斯法基于兩種功能函數計算的兩組可靠度與破壞概率數據在一般情況下(q≤400 kN/m)，差異較大。其中，基于式(1)和式(5)計算的可靠度比基于式(3)和式(6)確定的可靠度大，基于式(1)和式(5)計算的破壞概率比基于式(3)和式(6)確定的小。在邊坡破壞概率超過75%，q=500 kN/m等級以上荷載作用下的少數極端情況下才會出現基于安全系數功能函數的可靠度略大于強度儲備功能函數計算的可靠度，基于安全系數功能函數的破壞概率略小于強度儲備功能函數計算的可靠度的情況。

6 計算結果比較

圖 5 不同方法的相對可靠度

根據圖5可得，總體上，一次二階矩中心點法計算的實例邊坡可靠度小于基于強度儲備功能函數式(1)的羅森布魯斯法計算的可靠度小于蒙特卡洛法的計算結果。三者計算結果的差異十分微小，數值上相差不超過0.5%。

7 結論

將傳統的平面剪切破壞分析法與隨機可靠度方法相結合，研究了邊坡在漸進破壞過程中穩定可靠性的演化規律。并對不同隨機可靠度模型模擬的結果進行了比較。得出如下的結論：

1)采用可靠性方法克服了傳統極限平衡法的定值穩定系數法不能解釋穩定系數大于1時，坡體變形失穩和穩定系數小于1時，坡體不失穩現象的缺點。同時，也證實了邊坡穩定系數存在不確定性。

2)蒙特卡洛法用于邊坡可靠度和破壞概率的計算具有較高的精度，能夠較好地描述應力狀態演化過程中邊坡穩定性、可靠性及破壞可能性的變化規律，且不受功能函數數學表達形式的制約；可充分利用空前發達的計算機技術實現考慮多因素的超高次數模擬以獲得更高精度的可靠度，在大數據時代的邊坡穩定與可靠性評價及邊坡工程數字化治理方面具有十分廣闊的應用前景。

3)一次二階矩中心點法用于計算邊坡的可靠度不受功能函數數學表達形式的影響，能夠較好地擬合荷載強度增長過程中邊坡穩定性下降的趨勢；此外，在計算邊坡可靠度的過程中，既簡化了計算，又保證了一定的精度，在功能函數分布復雜或未知分布的邊坡可靠性評價方面具有較強的適用性。

4)羅森布魯斯法應用于邊坡可靠度的計算時，其結果與功能函數表達形式有關；但此法在功能函數復雜難求導或基本隨機變量分布未知的邊坡可靠性分析中具有顯著優勢。

5)這三種方法計算的可靠度和破壞概率均能夠較好地模擬邊坡變形失穩過程中穩定性與可靠性的動態演化特征。其中，羅森布魯斯法采用安全系數功能函數計算的可靠度在實際應用中最安全。

6)在對邊坡進行可靠度分析時，須明確邊坡的巖性特征、幾何參數、荷載條件及變形機理等重要因素。然后，基于此建立符合各要素分布特征的物理力學模型。全面結合邊坡的各項特征選擇與之具有良好契合性的可靠度分析方法，從而更好地對邊坡的發展規律進行預測預報。