排球大力跳發中的馬格努斯效應

司友志 金穩

摘 要：當球體在空氣中高速旋轉時，由于馬格努斯效應，球體會受到橫向的馬格努斯力的作用，其運動軌跡會發生彎曲而偏離正常的拋物線的現象。通過對球類運動項目中馬格努斯效應產生的原理進行分析、推理和研究，建立了三個球體運動模型：一是不考慮空氣阻力和馬格努斯力，只受重力影響的理想模型;二是不考慮旋轉，即沒有馬格努斯力，但是考慮空氣阻力的較為實際的球體運動模型;三是在第二種模型的基礎上再加上球體上旋引起的馬格努斯力的影響，并對三個模型都做了一定的數學分析計算，得到了每個模型在水平x方向和豎直y方向的速度v和位移隨時間的關系表達式，從動力學方程出發，綜合考慮空氣對球體運動的阻力作用和馬格努斯效應，對空中同時做平動和轉動的球體做受力分析，從而研究得到跳發上旋球時排球運動的弧線方程，進而可以算出偏移量。根據理論計算結果，我們可以結合實際情形，給出具有針對性的排球的教學和訓練指導，以加強訓練效果，提高專項運動技術水平。

關鍵詞：馬格努斯效應;伯努利定律;球速;旋轉速度;運動軌跡方程;偏移量;排球

中圖分類號：G804.63? 文獻標識碼：A? 文章編號：1009-9840（2021）06-0057-07

Magnus effect of volleyball smashing jump service

SI Youzhi， JIN Wen

（University of Science and Technology of China， Hefei 230026， Anhui， China）

Abstract：When the ball rotates at high speed in the air， due to the Magnus effect， the ball will be affected by the transverse Magnus force， and its trajectory will bend and deviate from the normal parabola. Based on the analysis， reasoning and research of the principle of Magnus effect in ball games， this paper establishes three ball motion models： one is the ideal model which is only affected by gravity without considering air resistance and Magnus force; the other is the more practical ball motion model which does not consider rotation， that is， without Magnus force， but considering air resistance; the third is the more practical ball motion model in the third part On the basis of the two models and the influence of Magnus force caused by the upward rotation of the sphere， the mathematical analysis and calculation of the three models are carried out， and the expressions of the relationship between the velocity V and displacement of each model in the horizontal X direction and vertical Y direction with time are obtained. Starting from the dynamic method， the resistance effect of the air on the sphere motion and the Magnus effect are comprehensively considered At the same time do translation and rotation of the ball to do force analysis， so as to get the arc equation of volleyball movement when jump serve topspin ball， and then can calculate the offset. According to the results of theoretical calculation， we can combine with the actual situation， give targeted volleyball teaching and training guidance， in order to strengthen the training effect and improve the technical level of special sports.

Key words：Magnus effect; Bernoulli's law; ball speed; rotational speed; motion trajectory equation; offset;volleyball

收稿日期：2021-05-08

作者簡介：司友志（1981- ），男，安徽宣城人，碩士，副教授，研究方向體育教育。

在當代排球比賽中，發球是唯一不受他人干擾，完全由自主完成的環節，也是隊伍發起的第一波進攻。發球的好壞可謂在很大程度上影響著比賽的輸贏。當代發球主要有兩種方式：一是大力跳發，二是發飄球。大力跳發由于其無與倫比的沖擊性、破壞性和觀賞性，越來越受到觀眾的認可，逐漸成為世界一流排球運動員的首選發球方式。特別是在世界男子排球比賽中，經常可以欣賞到高質量的大力跳發球，像意大利男排接應伊萬·扎伊采夫，古巴男排主攻維爾福來多·萊昂，中國男排接應江川等隊員的跳發球都十分出彩。

跳發球的優勢具體表現在哪些方面呢？簡單來說有四點。第一，球本身速度特別快，經常可以達到120 km/h甚至130 km/h以上，而飄球速度通常只有60～70 km/h，故大力跳發留給接球隊員的反應時間相對來說短很多。第二，球速快帶來的沖擊力也特別大，很多隊員在取準位置后也難以接好。第三，更重要的，跳發球通常伴隨著強烈的旋轉，馬格努斯效應比較明顯，球在空中相對于沒有旋轉情況下的正常軌跡有著較大的偏移量，如上旋球會有較強烈的“急墜”現象，再加上較短的反應時間，給接球隊員帶來相當大的麻煩，因而大力跳發經常能夠破壞對手一傳導致不到位甚至直接得分。第四，就是大力跳發球的觀賞性遠比發飄球的觀賞性要好。

什么是馬格努斯效應？簡單解釋是，一個旋轉的球在它周圍帶動一些空氣一起旋轉，在它周圍產生一種旋轉空氣的漩渦。這種循環空氣減慢了一側通過球的空氣流動，同時又使另一側的空氣加速。根據伯努利的原理，在速度較大的一側壓力較低，在空氣速度較小的一側壓力較高。由此產生的壓力不平衡導致垂直于球的旋轉軸及其速度作用的力，導致球的偏轉。

當然并不是排球運動才受到馬格努斯效應的影響，很多球類運動都受到其影響。比如足球里面有名的“香蕉球”，乒乓球的“弧圈球”，棒球、高爾夫球的拐彎球等。一直以來，部分研究人員對這一類現象用馬格努斯效應和伯努利定律進行了定性分析，偶爾也進行過動力學運動學的定量分析，如部分研究者分別對足球、網球、棒球做了相關運動的研究，潘慧炬也曾經用女排發側旋球的例子進行了大致計算，但是當時的研究并未考慮到重力的影響，有所疏漏。特別對排球上旋球的研究相對較少，怎樣利用馬格努斯效應和伯努利定律更有效地指導運動員發出威脅更大的跳發球，讓對手防不勝防，從而達到破壞對手方一傳甚至直接得分的目的，這方面的研究就更少。因此，研究馬格努斯效應在排球等球類運動項目中的影響，對于相關球類運動項目的教學和訓練有著重要的指導意義和實踐意義。

1 研究方法

1.1 文獻資料法：查閱排球書籍并從知網和中國學術期刊網檢索排球發球相關文獻，對排球大力發球技術進行理論梳理，為后期研究做好理論基礎。

1.2 數理統計法：對世界一流排球運動員大力發球數據進行統計，為研究提供數據支撐。

2 各種條件下的排球運動規律

任何在空中行進的旋轉球都經歷至少四種力：重力、氣動阻力、浮力和馬格努斯力。但是在用排球、足球等作為研究對象時，浮力相對于其他力來說是微小的，可以被舍去。

2.1 基本模型——只受重力時的運動規律

由簡單的高中物理知識，我們知道，當物體在空中只受重力而不考慮其他力的作用時，其運動軌跡應該是一條拋物線的一部分，具體由其初始條件決定。假設初速度為v0，擊球高度為h，初速度與水平面得夾角為θ，則有：

x：x=v0cosθ·t（1）

y：y=v0sinθ·t+12gt2（2）

式（2）中，令y=h，則可以求得發球時間為：

t=-v0sinθ+ v20sin2θ+2ghg（3）

整理可以得到不含時間t的只有橫縱坐標xy的關系即運動學方程式：

y=sinθcosθx+g2v20cos2θx2=v202sinθcosθ2v20cos2θx+g2v20cos2θx2

=12v20cos2θ（gx2+v20sin2θ-x）

如果取y=h，解方程則可以得到發球距離：

L=-v20sin2θ+v0 v20sin22θ+8ghcos2θ2g（4）

這是最理想的發球距離，可以得到最佳馬格努斯力和空氣動力，獲得最佳發球效果。實際發球過程中可根據不同發球距離考慮不同空氣阻力和馬格努斯力的影響。

2.2 阻力模型——空氣阻力對排球運動的影響

任何物體在空氣中運動都會受到空氣阻力的影響，空氣阻力的大小與物體截面積、相對運動速度、空氣粘滯系數等有關。

球體在空氣中以速度v運動，也可以由相對運動原理等效看成是空氣以速度v吹向靜止的球，球體受到的空氣阻力也就等效成運動的空氣對球的推力。

當球體速度不是很大時，其受到的空氣阻力大小可以表示為：

Ff=12Cdρv2A=kv2（5）

k=CDρA2=CDρ2·14πd2=CDρπd28（6）

其中，A是球體截面積，d是球體直徑，排球取d=0.21m;ρ是流體密度，常溫下空氣密度值為ρ=0.129 kg·m-3。CD是阻力系數。

實驗證明，繞流球體的阻力系數CD隨著繞流雷諾數Re的增加而減小。圖3繪出了粘性流體繞圓球流動的阻力系數CD隨Re數變化的實驗曲線，其臨界雷諾數Re=（2～3）×105。對應于圖3各區域的CD近似計算公式有：

CD=24Re，（Re<1，斯托克斯公式）

CD=24Re1+316Re，1≤Re<5，奧森公式

CD=24Re1+316Re12，5≤Re<100，奧森修正公式

CD=13Re，10<Re<1000，阿連公式

CD=0.44，500<Re<2-105，牛頓公式（7）

對于雷諾數，有

Re=ρvdμ（8）

μ是空氣粘度系數，常溫下其值約為1.85·105Pa·s。假設發球速度為v=120 km·h-1=33.3 m·s-1，則計算可得跳發球時排球在空氣中的雷諾數為

Re=48 762

所以可取CD=0.44，則可計算得到

k=9.83×10-4 kg·m-1。（9）

下面來求解其軌跡方程。根據受力分析可以列出動力學方程：

x：kv2cosα=-mdvxdt（10）

y：-mg+kv2sinα=mdvydt（11）

v=vx+vy

其中，α是某一時刻排球速度方向與水平的夾角大小。

在求解這個微分方程時，由于變量v是二次，故方程得不到解析解。為了求得解析解，我們用一個等效k1，使其滿足：

Ff=kv2=k1v

即有

k1=kv

這樣將方程降次，便能得到解析解。但是速度v并不是一個常數，而是隨時間t變化的。然而在我們研究的過程內，初速度較大，持續時間短，重力會使得球體加速，空氣阻力使其減速，二者近似平衡，即我們認為這短時間內速度基本不變。故有：

k1=kv0（12）

方程（9）（10）轉化為：

x：-k1vcosα=mdvxdt（10′）

y：mg-k1vsinα=mdvydt（11′）

又因為有：

vcosα=vx，vsinα=vy

方程化成：

x：k1vx=-mdvxdt（10″）

y：mg-k1vy=mdvydt（11″）

可以分別解得水平豎直方向上的速度隨時間的變化關系：

x：vxt=v0cosθe-k1mt（13）

y：vyt=v0sinθ-mgk1e-k1mt+mgk1（14）

兩個方向上速度分別對時間積分，進而可以得到兩個方向上位移隨時間的變化關系：

x：xt=mv0cosθk11-e-k1mt（15）

y：yt=mk1v0sinθ-mgk11-e-k1mt+mgk1t（16）

同樣，當y=h時，我們可以得到球體在空中的運動時間的數值解，再帶入x（t），則可以計算出發球距離。

2.3 旋轉模型——考慮空氣阻力和馬格努斯力的排球運動規律

當球體在空氣中的移動速度為v，自轉角速度為ω時，其受到的馬格努斯力的大小為：

FM=18πρd3ωv=k2v（17）

k2=18πρd3ω=18π×0.129×0.213ω=4.69×10-4ω

其中，ρ為空氣密度，d為排球直徑。

其實在球體運動過程中，ω也會隨著時間變化，準確地應該寫成ω（t）。但是球體運動時受到切向阻力應該遠遠小于法向阻力，即旋轉速度ω變化不大，我們直接認為其是一個定值，由初始條件決定。

馬格努斯力的方向是ω×v的方向，滿足右手螺旋定則，即右手四個指頭與大拇指垂直，四指從ω的方向卷向v的方向，此時大拇指的方向即是馬格努斯力的方向，垂直于速度方向。側向受力是基本均衡的，兩個力相反，并相互抵消。簡單來說，如果我們發的是一個水平的上旋球，則馬格努斯力的方向剛好是豎直向下的。

加上馬格努斯力后球體運動的動力學微分方程變為：

Ff+FM=-mdvdt

兩個方向的分量為：

x：-kv2cosα-k2vsinα=mdvxdt（18）

y：mg-kv2sinα+k2vcosα=mdvydt（19）

同樣，這個方程無法求得解析解，我們用跟上面一樣的等效的一次形式的空氣阻力方程對方程進行簡化：

x：-k1vcosα-k2vsinα=mdvxdt（18′）

y：mg-k1vsinα+k2vcosα=mdvydt（19′）

再利用：

vcosα=vx，vsinα=vy

方程最終轉化成：

x：-k1vx-k2vy=mdvxdt（18″）

y：mg-k1vy+k2vx=mdvydt（19″）

下面我們需要來求解這組方程。首先由（18″）式可得：

vy=-mk2dvxdt-k1k2vx（20）

帶入到（19″）中，有

d2vxdt2+2k1mdvxdt+k21+k22m2vx=-k2gm（21）

其特征根方程為：

r2+2k1mr+k21+k22m2=0（22）

特征根為：

r1，2=-k1m±k2mi（23）

故方程的解的形式為：

vxt=v0e-k1tmC1cosk2tm+C2sink2tm+C3（24）

根據初始條件：

vx0=v0cosθ=v0C1+C3

mv'x0=-k1v0cosθ-k2v0sinθ=-k1vx（0）+k2v0C2

及方程（21）可以解得幾個未知常數分別為：

C1=cosθ+k2mgv0（k21+k22）

C2=-sinθ

C3=-k2mgk21+k22（25）

故vx表示為：

vxt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22cosk2mt-sinθsink2mt-k2mgk21+k22（26）

再將方程（23）帶入到方程（24）中，可以解得vy的通解為：

vy1t=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22sink2mt+sinθcosk2mt+k1mgk21+k22（27）

我們設vyt的特解為vy2（t）。則vy表示為：

vyt=vy1t+vy2（t）（28）

將（28）帶入到（19″）有：

mg-k1（vy1+vy2）+k2vx=md（vy1+vy2）dt（29）

而vy的通解應該也滿足（19″）式，即

mg-k1vy1+k2vx=mdvy1dt（30）

則特解vy2（t）應該滿足的條件為：

-k1vy2=mdvy2dt（31）

解得：

vy2t=C4e-k1mt（32）

則vy的解為：

vyt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22sink2mt+sinθcosk2mt+k1mgk21+k22+C4e-k1mt

根據初始條件，當t=0時，

vy0=v0sinθ=v0sinθ+k1mgk21+k22+C4

得到：

C4=-k1mgk21+k22（33）

則有：

vyt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22sink2mt+sinθcosk2mt+k1mgk21+k22（1-e-k1mt）（34）

進一步分別對時間積分可以得到兩個方向的位移-時間關系：

x：xt=mv0k21+k22[e-k1mt（K1cosk2mt+K2sink2mt）-K1]+C3t（35）

y：yt=mv0k21+k22[e-k1mt（K1sink2mt-K2cosk2mt）+K2]-C4t-mk11-e-k1mt（36）

其中，常數項K1，K2分別為：

K1=k1C1+k2C2=k1k2mgv0（k21+k22）+k1cosθ-k2sinθK2=k2C1-k1C2=k22mgv0k21+k22+k1sinθ+k2cosθ（37）

可見兩個運動水平豎直兩個方向的位移隨時間的表達式的形式相對比較復雜，含有較多常數項。

3 分析與討論

上文我們主要建立了三個球體運動模型：一是不考慮空氣阻力和馬格努斯力，只受重力影響的理想模型;二是不考慮旋轉，即沒有馬格努斯力，但是考慮空氣阻力的較為實際的球體運動模型;三是在第二種模型的基礎上再加上球體上旋引起的馬格努斯力的影響，并對三個模型都做了一定的數學分析計算，得到了每個模型在水平x方向和豎直y方向的速度v和位移隨時間的關系表達式。下面我們將采用畫圖和實際數值的方法對這幾個模型做進一步的分析對比。

為了方便討論對比，我們先列出用得到的常數值：

空氣密度：ρ=0.129 kg·m-3

排球直徑：d=0.21 m

排球質量：m=0.27 kg

重力加速度：g=9.80 m·s-2

3.1 準確模型

這兒說的準確是指，阻力式準確來說是與速度的二次方程正比。但在上面的計算中，由于求解微分方程時得不到解析解，故用一個等效的一次式做了近似，從而得到的是等效模型式。而準確模型得相關方程為：

3.1.1 基本模型

x：x=v0cosθ-t（38）

y：y=v0sinθ-t+12gt2（39）

3.1.2 阻力模型

x：kv2cosα=-mdvxdt（40）

y：-mg+kv2sinα=mdvydt（41）

k=CDρπd28=9.83×10-4kg·s-1（42）

3.1.3 旋轉模型

x：-kv2cosα-k2vsinα=mdvxdt（43）

y：mg-kv2sinα+k2vcosα=mdvydt（44）

k2=18πρd3ω=7.04×10-3kg·s-1（45）

由準確的二次阻力公式推出來的阻力模型和旋轉模型方程，我們都沒有辦法得到解析解，也沒有簡單的辦法可以直接得到數值解，在以后有了更方便的工具后可以對其進行數值圖像研究。我們此次不做太多討論。

3.2 等效模型

為了簡化模型求得解析解，我們提出了阻力的一次等效公式：

Ff=kv2=k1v

并認為

k1=kv0（46）

所得到兩種模型的方程為：

3.2.1 阻力模型

速度-時間關系：

x：vxt=v0cosθe-k1mt（47）

y：vyt=v0sinθ-mgk1e-k1mt+mgk1（48）

位移-時間關系：

x：xt=mv0cosθk11-e-k1mt（49）

y：yt=mk1v0sinθ-mgk11-e-k1mt+mgk1t（50）

3.2.2 旋轉模型

速度-時間關系：

x：vxt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22cosk2mt-sinθsink2mt-k2mgk21+k22（51）

y：vyt=v0e-k1mtcosθ+k2mgv0k21+k22sink2mt+sinθcosk2mt

+k1mgk21+k221-e-k1mt（52）

位移-時間關系：

x：xt=mv0k21+k22[e-k1mt（K1cosk2mt+K2sink2mt）-K1]+C3t（53）

y：yt=mv0k21+k22[e-k1mt（K1sink2mt-K2cosk2mt）+K2]-C4t-mk11-e-k1mt（54）

其中，各常數項分別為：

C1=cosθ+k2mgv0（k21+k22）C2=-sinθC3=-k2mgk21+k22C4=-k1mgk21+k22（55）

K1=-k1C1+k2C2=-k1k2mgv0k21+k22-k1cosθ+k2sinθK2=k2C1-k1C2=k22mgv0k21+k22+k1sinθ+k2cosθ（56）

3.3 數值圖像分析

從方程來看，模型越復雜得到的公式自然也就更加復雜。阻力模型所得到的結果應該是最接近我們平時發的沒有旋轉的不具有太強攻擊性的一般球的實際軌跡，而加上旋轉以后的影響便可以從旋轉模型里面看出來。為了更加直觀地看出阻力、旋轉帶來的影響，我們可以分別從數值和圖像兩個方面去討論。我們先假定一組初始條件：

初速度：v0=120 km·h-1=33.3 m·s-1;

方向夾角：θ=3.00;

發球高度：h=3.40 m;

旋轉速度：ω=15.0 r·s-1;

通過相應的公式，利用電腦，可以計算得到各種情形下的發球距離，如表1：

由表1中信息，由于空氣阻力的存在，球體在空中飛行時間會延長，發球距離會縮短，但是這兩個變化量都是比較小的，只約基礎模型的1%～2%。而加上旋轉比不加旋轉時，球的飛行時間從0.673 956 s變為0.550 195 s，減少0.123 761 s，約18.36%，留給防守方判斷的時間明顯縮短，再加上本來飛行時間就極短，故對接球一方的隊員的反應能力來說是一個極大的考驗;發球距離從22.412 m減少至16.924 4 m，減少5.4876 m，這是一個非常可觀的變化量，即有著非常明顯的“急墜”現象。這個變化會給接球一方進一步帶來很大的難度，而且使得球更容易落在界內不致于出界丟分。我們知道，排球場的長度是18 m，從表1中數據可以看見，如果不加旋轉，按我們假設的初始條件計算，會使得球直接飛出界外;而加上旋轉后由于明顯的距離縮短，則可以落在界內。圖5是根據上述初始條件得到的幾個模型下球體的運動軌跡。

上述假設的條件是根據世界一流排球運動員的數據得出的，下面我們用與我們平時情況更加接近的一組初始條件進行計算對比：

初速度：v0=72 km·h-1=20.0 m·s-1;

方向夾角：θ=-10.0°;

發球高度：h=2.30 m;

旋轉速度：ω從0 r·s-1到12r·s-1變化。

根據以上數據，我們可以看出，隨著旋轉速度的增加，球體的飛行時間、發球距離都逐漸減小，但這兩個量的變化規律是有所區別的。飛行時間隨著旋轉速度的增加，基本呈線性減少，旋轉速度每增加3 r/s，飛行時間減少0.04 s左右;而發球距離的減少量則是不均勻的，呈負指數規律，即旋轉速度每增加一定值，開始時發球距離減少得比較多，到后來減少量比剛開始少。圖6是不同旋轉速度時發球球體的運動軌跡，也可以反映出和表2相同的規律。

4 結論

我們先通過數學建模，通過計算得到了三個模型：不考慮空氣阻力、馬格努斯力的基礎模型;考慮空氣阻力，不考慮馬格努斯力的阻力模型;同時考慮空氣阻力和馬格努斯力的旋轉模型的速度和位移的含時間參數t的參數方程解，并通過表格數值和圖像的方式進行了簡單的分析。我們現在可以得出如下結論：

4.1 阻力模型

其實也就是平時最常見的無攻擊性的發球模型，由于空氣阻力，飛行時間會略微加長，發球距離略微縮短但是沒有明顯變化，控制不得當比較容易出界。主要特點是發球難度小，但是攻擊性差，給接球方沖擊較小。

4.2 旋轉模型

旋轉速度越大，球體飛行時間越短，發球距離越小，且變化比較明顯，可以達到20%以上。發球飛行時間隨旋轉速度基本呈線性減小，由于大力跳發時球體飛行時間本來就比較短，通過旋轉進一步有效地縮短接球方的反應時間，使接球難度變大;發球距離隨發球旋轉速度的增減呈負指數關系變短，加上一點旋轉就可以使得發球距離明顯變短，這可以給我們一個很好的啟示是，加上一點旋轉可以使得發球更加不容易出界，這是發球加上旋轉的第一個優點;其次，較強旋轉時發球距離可以變化得非常明顯，達到5 m以上，在較短時間內給防守隊員的判斷帶去更大的困難，從而使得發球更加具有沖擊性。

綜上，旋轉式發球相比與不旋轉的發球，飛行時間減少，發球距離縮短，更加具有攻擊性，運動員們在實際訓練時可以結合本文與實際，多多感受旋轉球的特點，從而使得訓練更有針對性、更加有效。

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