數形結合：有效提升學生數學素養

陳麗英

（福建泉州豐澤區第二實驗小學，福建泉州 362000）

引 言

“數無形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非。”華羅庚先生在《談談與蜂房結構有關的數學問題》中深刻指明了數形結合思想的價值[1]。綜觀整個小學階段的數學，始終離不開“數”與“形”。直觀為“形”的優勢，準確為“數”的特點，將數與形聯系起來，能讓抽象的數形象化，讓直觀的形凸顯其內涵。數與形的結合，可以幫助學生感悟概念、理解算理、掌握數量關系，有效地提升學生的數學素養。

一、數形結合，抽象概念完善數系

心理學研究表明，7～13歲的孩子是以形象思維為主導的。基于這樣的思維特點，為了讓小學生理解抽象的概念，教師需要為他們提供一定的媒介幫助。我們知道，數的認識起源于“形”，發展于“形”。在教學中，教師如果能合理利用方格、數軸等直觀圖形，以圖助數，必定能幫助學生深化對數的認識，使其逐漸抽象形成數的概念。

例如，在學生初步認識小數的意義后，教師可以利用數軸，帶領學生通過“形”感知數的大小關系，將小數納入已有的知識體系中，從而逐步完善數的體系。

師：大家能找到1.7的位置嗎（見圖1）？

生：找不到，1.7已經超過1 了。

師：要找到1.7，該怎么做？

生：把線段向右邊延伸，先找到2（見圖2）。

師：1.7可能在哪兩個整數之間呢？

生：整數1和2之間。

師：現在知道怎么找到1.7嗎？

生：把1和2之間的線段平均分成10份。每份是0.1，從0數到1后，繼續數7個0.1，就是1.7（見圖3）。

圖1

學生在數軸的直觀支撐下，找到每個小數與數軸上的點的對應關系，發現在數軸上的位置越往后數越大，越往前數越小，加深了對小數的認識，感悟到極限的思想。同時，學生從更宏觀的角度審視數的集合與排序，進一步發展了數感。

二、數形結合，理解算理融通算法

運算能力是《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出的學生應具備的十大核心能力之一。《課程標準》指出，培養學生的運算能力的關鍵首先是幫助學生理解運算算理，其次讓學生掌握運算的計算方法[2]。算理是學生形成計算方法的基石，但學生的認知能力有限，要真正感悟算理存在一定難度。化數為形，將數學運算與空間圖形巧妙地結合，能很好地將算理與計算方法聯系起來，幫助學生深刻地理解算理。

三、數形結合，解決問題提升能力

《課程標準》指出，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。在教學中，當學生理解題中的數量關系遇到困難時，教師可引導學生嘗試進行畫圖，幫助學生將相對抽象的思考對象“圖形化”，使形象思維和邏輯思維緊密結合，提高學生分析問題和解決問題的能力。

例題：“一杯牛奶，淘氣喝了半杯后，兌滿了熱水。他又喝了半杯。問淘氣一共喝了多少杯牛奶？多少杯水？”這道題目中，第二次“又喝了半杯”，這半杯中到底有多少水？有多少牛奶？這是學生難以理解的地方，也是解題的關鍵。面對這樣比較復雜的數學問題，筆者為學生預留了充分思考的時間和空間，鼓勵他們依據題意嘗試進行畫圖，找準數量和圖形的契合點，厘清牛奶和水兩個量之間的關系，逐步找到解決分數問題的思路。

不同的學生有了不同的畫圖表達方式，但可以看出他們的思路基本相似：兌滿水后的杯子里依然只有杯牛奶，也就是第二次喝的是剩下的杯牛奶的一半，即整杯牛奶的這樣，學生分析題目有圖有據，思考聯想有所依托，抽象的數量關系便慢慢明朗清晰起來。通過畫圖分析，學生選取有效信息進行破題。這是學生運用數學思想進行思考的一種能力，也是培養學生數學素養的有效途徑。

四、數形結合，探索規律發展思維

探索給定的情境中隱含的規律或變化趨勢，這是《課程標準》第二學段“探索規律”的教學要求。數學規律往往是事物之間的內在聯系，是內隱的。數形結合正是在內隱的規律與外顯的表達形式之間搭建了一座“橋”，以數解形，實現了數學思維的層層拓展，發展了學生的幾何直觀和合情推理能力。

例如，在教學“數圖形的學問”一課時，教師利用“鼴鼠鉆洞”的生活情境，在學生充分探究之后，引導學生巧妙地利用“數”的精確性，描述“形”表現出來的規律，幫助學生進一步概括數學規律，從而建構數學模型。

學生經歷了從簡單入手到探索復雜規律的體驗過程，通過觀察、思考、交流、討論等數學活動，初步感知點數、增加的線段數和總線段數三者之間的聯系，找到數線段的規律，并嘗試用算式記錄數圖形的規律，感悟用“形”來探尋數學規律的直觀性和用“數”來表達規律的簡潔性，體會數學規律之美。這不僅豐富了學生的數學活動經驗，更重要的是培養了學生的抽象概括能力。

結 語

德國數學家希爾伯特曾談道：“圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果。”在日常教學中，教師應根據學生心智發展水平和數學知識本身的特點，適時地滲透數形結合思想，直至學生能自主運用這一方法研究數學，從而真正提升學生的數學核心素養。