巖石動三軸試驗中動彈性模量定義的改進方法研究

杜瑞鋒，李麗珍，申 鋼，韓淑芳，但 敏

（1.內蒙古建筑職業(yè)技術學院建筑工程與測繪學院，內蒙古 呼和浩特 010070；2.內蒙古交通設計研究院有限責任公司，內蒙古 呼和浩特 010011）

1 引言

巖石的彈性模量是線彈性力學、塑性力學、斷裂力學以及損傷力學等研究領域中基本研究參量之一。如基于等效應變假說的經典損傷定義中的彈性模量法，就是以材料損傷前后彈性模量變化來定義和度量損傷程度的方法[1，2]。巖石的動、靜彈性模量在巖石力學、地質力學、地質勘探與油氣田開發(fā)等多種工程技術領域均有重要的意義[3]。

巖石或巖體的動彈性模量是用于動荷載作用下的指標，實踐中有多種評價方法，如可采用測定聲波波速的方法來確定動彈性模量，在波速與動彈性模量之間建立函數關系[4，5]；采用動三軸試驗來確定低應變率下的動彈性模量，亦可采用霍普金森桿試驗獲得中高應變率下的動彈性模量[5]。

在室內單軸循環(huán)加卸載試驗中，劉建鋒等[6]對鹽巖進行損傷變量研究中利用低周循環(huán)加卸載方法分析了鹽巖的損傷彈性模量，能更好的反映具有顯著時間效應變形的鹽巖的損傷特性；楊春和等[7]在單軸循環(huán)加卸載試驗中討論了加載段和卸載段變形模量的區(qū)別，并指出通過卸載變形參數能更好地表現巖鹽的變形特征。以上文獻中，雖然開展的試驗研究目的有所不同，但其對彈性模量的研究是值得借鑒的。

巖石動三軸試驗用于評價巖石的動參數指標，如動彈性模量、動泊松比、阻尼比或阻尼系數等，為相關的動應力環(huán)境下巖體工程提供計算指標。因此，動參數的準確性將關系到工程結構的穩(wěn)定性等。諸多的學者進行了多方面的探索研究。孫承帥[8]針對深部巖體彈性模量研究，采用了遺傳算法和神經網絡等分析方法，結合損傷本構模型對巖體的彈性模量進行了反演分析，從而獲得了損傷巖體彈性模量的分布規(guī)律。

在爆破地震波作用下巖質邊坡穩(wěn)定性等研究中，利用MTS 815巖石試驗機開展了砂巖的動三軸試驗。試驗中動應力幅值取為對應圍壓的常規(guī)三軸試驗峰值點的300%～60%，動應力頻率有3類，即0.5 Hz、1 Hz、3Hz；施加的4種不同的圍壓，即0 MPa、2 MPa、4 MPa、6MPa。在試驗結果處理中，結合相關文獻，對動彈性模量的各種定義方法進行了綜合研究，并提出了相應的改進方法和觀點。

2 動彈性模量定義

通常，巖石動三軸試驗中，嚴格意義上講，動彈性模量的定義應采用切線模量，但限于巖石本構關系的復雜性和試驗機采樣點的有限數量，實際中只能采用割線模量替代切線模量[9～11]，如圖1所示，即常取最大值與最小值之間的割線模量替代切線模量，所得的動彈性模量是一種平均的動彈性模量。從數學角度講，采用割線模量替代切線模量，不僅是一種古老的數學思想，而且在現代的數值計算中也是數值微分、數值逼近等的基本的數值計算手段[12，13]。

為了加深對割線模量和切線模量的理解，取一段1/2圓弧為例，如圖2（a）所示，取其切線斜率和割線斜率進行對比認識；由圖2（b）可以看出，各點的割線斜率值在一定范圍內大于其切線斜率，隨著橫坐標值的增大，割線斜率值能近似地接近切線斜率。這是在巖石動三軸試驗中可以用割線斜率替代切線斜率的基本原理。

圖1 彈性模量與割線模量定義示意圖

圖2 彈性模量與割線模量定義示意圖

2.1 通常的動彈性模量定義

關于動彈性模量定義式，常見的有兩類，在文獻[14]中將動彈性模量定義為式（1），如圖3（a）所示；而以[15]、[16]、[17]為代表的文獻將動彈性模量定義為式（2），如圖3（b）所示，習慣上稱為滯回環(huán)的平均斜率。形式上不同的式（1）、式（2），其實本質上是相同的，只需將圖3（a）中滯回圈點O’坐標平移至原點O，兩式具有相同的表達式，完全是等價的。

2.2 平均動彈性模量定義及改進1

圖3 其他文獻中動彈性模量定義

隨著對動三軸試驗研究的深入，學者們對動彈性模量有了更深入的思考，采取了改進措施。在文獻[18]中，如圖4所示，利用了滯回圈的起點、終點之間呈現非閉合特點，將彈性模量定義為式（3）。

圖4 動應力-動軸向應變滯回圈

如前所述，在認識動彈性模量定義中所涉及切線模量和割線模量的基礎上，不難看出，文獻[18]中采用的動彈性模量定義，不符合“以割線模量替代切線模量”的基本原理，式（3）中的定義，不夠成一種割線模量的定義。在此，稍作改進，使之能符合割線模量的定義，如式（4），本文中稱之為改進1。

2.3 基于回歸分析的動彈性模量定義改進2

圖5 對動彈性模量定義的改進2

圖6 對動彈性模量定義的改進3

本研究對泥質砂巖的動三軸試驗數據處理過程中，結合上面的動彈性模量的定義，認為其主要的弊端在于沒有將所有數據利用，只是利用了最大、最小應力點數據。因此，對于動應力-應變組成的滯回圈圖形，假定其點與點之間為線性函數發(fā)展規(guī)律，將滯回圈的質心坐標計算出來，如圖5所示；然后將質心、最大及最小應力點共3點結合起來分析。在最小二乘法基礎上進行線性回歸，得到回歸直線，其斜率就可定義為動彈性模量。求質心的過程將所有的數據點考慮了，然后再通過與最大、最小應力點的擬合過程，可獲得了動彈性模量，本方法稱為改進2。

2.4 基于回歸分析的動彈性模量定義改進3

由動彈性模量的定義式（1）可知，只利用了最大應力、最小應力點來定義動彈性模量，其余各點沒有被利用；由滯回圈分布特點可知，加載段試驗點、卸載段試驗點分布在最大、最小應力點的連線兩側。因此，基于一種直觀的認識，進行了將所用的試驗點擬合成一條直線的嘗試。由基于最小二乘法的回歸擬合原理可知，該直線應在加載段與卸載段之間，該直線的斜率可作為滯回圈的一種平均割線模量，基本原理如圖6所示，本文稱為動彈性模量的改進定3。在此改進方法中，所有數據點被利用的程度是均等的。

3 動彈性模量定義及改進方法對比

結合上述的認識和分析，以泥質砂巖為研究對象，在MTS 815巖石試驗機上開展了50次循環(huán)的動三軸試驗，應用MATLAB編制了專用的計算動彈性模量程序，將通常定義的動彈性模量及各種改進方法繪制在同一坐標下對比分析，如圖7所示。

圖7 泥質砂巖動彈性模量的不同定義方法比較

文獻[18]提出的改進定義，變化幅度較大；而本文提出的3種改進方法中的結果，比較接近于通常定義的動彈性模量結果。在文獻[18]基礎上改進的方法1所得的動彈性模量值大于通常定義的結果；而本文方法2與通常定義基本重合，說明引入質心后回歸擬合的方法對動彈性模量影響很小，或者說質心就在最大、最小應力點之間的連線上。

與通常定義相比，本文方法3則表現出明顯的區(qū)別，整個循環(huán)中動彈性模量變化比較平緩，總體趨勢能與通常定義的一致；還能消除動彈性模量之間過大的波動，這在圖7（a）、（b）、（c）之間均有體現，以圖7（c）中更為明顯。這是改進方法3中最突出的特點。

從力學角度上看，本次動三軸試驗為等幅應力循環(huán)，導致動彈性模量突然增加或連續(xù)增加的原因初步可解釋為巖石硬化現象，而動彈性模量的突然降低可解釋為巖樣內部裂縫的大面積擴展或連通，而動彈性模量應該反應出這種變化。從圖7中看出，本文方法3反應出的變化程度最小，圖7（b）中可以看出，本文方法3表現的較為平緩，整個曲線在前段高于通常定義的方法、在后段則低于通常定義的方法，顯示出良好的適用性。

4 結語

①結合有關文獻中對動彈性模量的定義，本文對其定義進行了改進處理，充分利用了所有的數據點，克服了只利用最大、最小應力點定義動彈性模量的不足之處；本文所提的改進方法操作簡單，易于在計算機程序中實現。

②本文所提的3種改進方法，可為相關的研究提供參考和借鑒，但從科學研究的嚴謹性方面考慮，尚缺少足夠的理論分析和更多的案例證明，有待于進一步的試驗驗證和工程實踐檢驗。