量子模糊形態學聯想記憶網絡及在齒輪振動信號識別中的應用

呂 純 張培林 李 兵 吳定海 張云強

(1.陸軍工程大學石家莊校區 河北石家莊 050003；2.汕頭大學工學院 廣東汕頭 515063)

眾所周知，人腦具有的重要功能之一是聯想記憶，以此為基礎，人類進行源源不斷的思維和創新。隨著計算機的誕生和發展，人們致力于研究將人腦的部分功能在計算機上進行模擬和應用。RITTER等于1990年提出了形態學神經網絡(Morphological Neural Network,MNN)并于1998年進一步實現了形態學聯想記憶(Morphological Associative Memories,MAM)[1-5]。MAM的理論基礎是形態運算，比傳統神經網絡具有顯著的優越性：相應的形態感知器只需一步即可穩定從而不需要考慮收斂問題，計算所需時間少，易應用于硬件。但MAM也存在顯著缺點，即無法對相關對象進行模糊性解釋，從而在需要記憶模糊規則時便會面臨一定的問題[6-10]。最近一段時間，很多學者熱衷于研究模糊神經網絡，有學者以模糊規則、模糊算子和模糊關系值等為基礎，提出了模糊形態學聯想記憶網絡(Fuzzy Morphological Associative Memories,FMAM)。FMAM具有能夠進行模糊性解釋、完全回憶和無限存儲等優點[11-15]。然而，FMAM不能自適應選擇結構元素的形狀和大小，在對樣本進行分類時存在錯分問題，影響最終的分類精度。

本文作者以量子的疊加、坍塌性質為基礎，提出了量子模糊形態學聯想記憶網絡(Quantum Fuzzy Morphological Associative Memories,QFMAM)，用量子位系統構造結構元素，量子位概率代表相應的隸屬度，獲取具有自適應特性的結構元素，避免了FMAM不能自適應選擇結構元素而導致的分類錯誤，QFMAM的分類精度明顯提高。

1 形態學聯想記憶(MAM)基本原理

MAM是建立在格代數結構(R,∨,∧,+)上，依賴取大(∨)、取小(∧)邏輯運算和相關數學運算來實現聯想記憶功能的人工神經網絡[16]。MAM包括記憶和聯想2個階段。

1.1 記憶階段

(1)

(2)

其中，

(3)

1.2 聯想階段

(4)

同理，

(5)

2 模糊形態學聯想記憶網絡

MAM建立在格代數結構(R,∨,∧,+)上，并且(R,∨,∧,+)和(R≥0,∨,∧,·)同構，用R+(R+=(0,))替換R≥0便可得到FMAM的運算格代數(R+,∨,∧,·)。

(xid·ydj)

(6)

其中，i=1,2,3，......，n,j=1,2,3，......，m。

(xid·ydj)

(7)

其中，i=1,2,3，......，n,j=1,2,3,......,m。

(8)

(9)

(10)

矩陣Huv中的元素可由下式得出：

(11)

由對偶性原理可以得出矩陣u和v之間的另一個連接權矩陣Kuv表達式如下所示：

(12)

(13)

E≤Huv≤Kuv≤F

(14)

(15)

3 量子模糊形態學聯想記憶網絡

3.1 量子位系統

在單量子位系統中，一個量子位就是一個二維Hilbert空間[17-18]，它的基向量是一對標準正交基{|0>,|1>}，單量子位系統可表示為

|χ>=α|0>+β|1>

(16)

式中：α、β分別稱為|0>、|1>狀態的概率幅;|α|2、|β|2為2個狀態出現的概率，并且滿足|α|2+|β|2=1。

在多量子位系統(假設共有p位)中，第a個量子位狀態可表示為|χa>=αa|0>+βa|1>,a=1,2,......,p，那么該多量子位系統整體可由p個量子位狀態的張量積形式構造出來：

(17)

其中，|b>、wb分別表示第b個量子基態和其相應的概率幅，系統共有2p個基態。

3.2 量子模糊結構元素

傳統模糊結構元素e經過歸一化處理變換為g，定義點(i,g)的隸屬度為

λg(i,j)=[e(i,j)-Gmin]/(Gmax-Gmin)

(18)

其中，i≤m,j≤n,[m,n]=size(e);Gmax、Gmin分別是e灰度值的最大值、最小值。

(19)

由式(17)可得量子模糊結構元素的展開式為

gq(x,y)=|χ1>?|χ2>?......?|χp>=

(20)

3.3 量子模糊形態學聯想記憶網絡

QFMAM分類算法的基礎是二分類，下面先介紹一下二分類的QFMAM訓練算法。

(21)

(22)

其中，u,k∈Mn，i=1,2,......,n。

(1)執行初始化，令K=u，A1=Φ；

(23)

(24)

(25)

(26)

(7)假如上一步得出的半空間Lj≠Φ(j=1,2,......,2n)，則計算相應的超盒：

(27)

通過上述訓練過程可見，算法第一次收斂后得到了容納全部第一類樣本的超盒群A1，互換兩類樣本標簽重新運行算法直至再次收斂后可得到容納全部第二類樣本的超盒群A2。

在實際分類應用中，樣本類別往往多于兩類，這就需要將二分類算法進一步擴展成多類分類算法。如果u中共有W類訓練樣本，這些樣本可以表示為Kw(w=1,2,......,W)，QFMAM進行多類分類的結果是分別構造只容納某一類全部樣本的超盒群Aw(w=1,2,......,W)，即Aw中只有全部第w類樣本。執行QFMAM訓練過程時，將之前的步驟(1)替換為設定A1=Φ，K1=Kw(w=1,2,......,W)，K2={Ki,i=1,2,......,W,且i≠w}，運行算法至收斂便構造出只容納第w類全部樣本的超盒群，依次改變w的取值，重復執行訓練算法W次，便可將W個超盒群Aw全部構造出來。

(28)

(29)

(30)

(31)

其中,u為輸入向量;q為輸入層與隱層節點之間的連接向量。一個樣本u隸屬于某個超盒群[cj,dj](j=1,2,......,n)的可能性可由公式(32)計算

(32)

進行測試過程中，每當輸入一個測試樣本u時，先利用量子模糊結構元素和形態模糊聯想記憶對樣本進行處理,從而降低可能存在的無用干擾信息對分類精度的影響，處理后的樣本記為v。然后，將v依次代入式(33)計算得到的fw值即為測試樣本隸屬于訓練過程構造的各超盒群的可能性。

(33)

其中，w=1,2,......,W，找出所有fw中的最大值，其對應的w即為測試樣本的類別。

4 仿真和實驗數據分類結果分析

為了檢驗文中所提QFMAM的實際分類效果，分別利用QFMAM、FMAM、支持向量機(SVM)和樸素貝葉斯分類器(NBC)對MatLab中的Simple Classes數據集以及齒輪箱實驗數據進行分析，通過各自的訓練時間(ttrain)、測試時間(ttest)、訓練樣本分類精度(Atrain)和測試樣本分類精度(Atest)比較4種方法的優劣。

4.1 Simple Classes數據集

Simple Classes數據集總共包含1 000個4種類型的數據：第一類243個，第二類247個，第三類233個，第四類277個。選取500個數據作為訓練樣本：第一類數據122個，第二類124個，第三類116個，第四類138個。剩余的500個數據構成測試樣本。利用QFMAM、FMAM、SVM和NBC對數據集進行分析時各自的訓練時間(ttrain)、測試時間(ttest)、訓練樣本分類精度(Atrain)和測試樣本分類精度(Atest)如表1所示。

根據表1可知，對于Simple Classes數據集，QFMAM的訓練時間與FMAM相差不大，比SVM、NBC的訓練時間要小得多，表明QFMAM訓練效率很高；并且只有QFMAM的訓練樣本分類精度達到100%，表明QFMAM的學習能力很強。最終測試樣本的分類精度也是QFMAM最高，達到了98.8%，其次是FMAM，為91%，說明形態神經網絡比其他分類器具有明顯優勢，QFMAM比傳統形態神經網絡性能更好。

表1 Simple Classes數據集分類結果

4.2 齒輪箱實驗數據

齒輪箱實驗信號通過搭建的二級傳動齒輪箱實驗臺架采集，齒輪箱實驗臺架主要組成部分為基座、可調速電機、二級傳動齒輪箱、阻尼器、聯軸器、信號采集分析系統，如圖1所示。

圖1 齒輪箱實驗臺架

實驗時分別在齒輪箱中間軸和輸出軸齒輪的齒面、齒根處制作凹槽模擬齒面磨損、齒根裂紋，并在軸承座上方箱蓋處安裝振動加速度傳感器，共采集到5種類型的振動信號：正常、中間軸齒輪齒面磨損，中間軸齒輪齒根裂紋，輸出軸齒輪齒面磨損，輸出軸齒輪齒根裂紋。每種類型信號各采集20個樣本，總共有100個樣本。進行分類時，每種類型信號各隨機選取10個樣本作為訓練樣本，剩余的10個為測試樣本。分別利用QFMAM、FMAM、SVM和NBC對齒輪箱信號樣本進行分析并得到各自的訓練時間(ttrain)、測試時間(ttest)、訓練樣本分類精度(Atrain)和測試樣本分類精度(Atest)，為使測試結果盡可能準確，重復隨機選取訓練樣本30次得到30組測試結果，然后取平均值作為最終測試結果，如表2所示。

根據表2可知，對于齒輪箱信號分類，QFMAM的測試樣本分類精度最高，為99.2%，且比其他3種分類器具有明顯優勢。QFMAM與FMAM訓練時間相當，比SVM和NBC的訓練時間小了2個數量級，雖然QFMAM與FMAM在測試階段的時間比SVM和NBC稍高，但2個階段的總時間仍遠小于SVM和NBC。QFMAM與FMAM的訓練樣本分類精度都為100%，表明形態神經網絡的學習能力很強。綜合考慮各項指標，QFMAM是4種分類器中性能最佳的。

表2 齒輪箱信號分類結果

5 結論

(1)分析了形態學聯想記憶和模糊形態學聯想記憶網絡的基本原理，發現模糊形態學聯想記憶網絡不能自適應選擇結構元素的形狀和大小，在對樣本進行分類時存在錯分問題，影響最終的分類精度。

(2)以量子的疊加、坍塌性質為基礎，提出了量子模糊形態學聯想記憶網絡，用量子位系統構造結構元素，量子位概率代表相應的隸屬度，獲取具有自適應特性的結構元素，在分類前先對樣本進行處理從而降低無用干擾信息對分類精度的影響，提高了樣本分類精度。

(3)通過仿真數據和齒輪箱臺架實驗信號檢驗了提出的QFMAM性能，并利用FMAM、SVM、NBC 3種分類器作對比，證明提出的QFMAM訓練效率高、學習能力強、分類精度高，適合于推廣應用。