基于新型滑模趨近律的PMSM速度控制

諸德宏，汪 瑤

(江蘇大學 電氣信息工程學院，鎮江 212013)

0 引 言

隨著稀土材料與數字處理器的發展，永磁同步電機(以下簡稱PMSM)作為一種潛力巨大的新能源動力執行器，越來越多地應用在航空航天、電動汽車以及伺服系統中。傳統的PMSM矢量控制采用三閉環或者雙閉環控制，應用最廣泛的為雙閉環PI控制，即外環速度環、內環電流環均采用PI控制器。實際應用中，由于PMSM非線性、強耦合的特點，PI控制器在外加負載的情況下很難獲得理想的控制效果，為此，學者們提出了眾多控制器來代替PI控制器，如模糊PID控制[1-2]、自抗擾控制[3-4]。這些算法對比PI速度控制器來說，確實提高了系統的魯棒性，但是實現過程和控制器設計太過復雜，不易實現。滑模控制器由于其易實現且魯棒性高，被廣泛應用于PMSM控制中。文獻[5]提出了一種基于指數趨近律的滑模速度控制器，但存在趨近速率與抖振不能相適應的問題；文獻[6]將滑模應用于PMSM速度控制器中，并提出一種帶終端吸引子的新型趨近律，結果顯示，相較于指數趨近律，新型趨近律的收斂速度與魯棒性得到了提升；文獻[7]將狀態變量加入指數趨近律，并將擾動通過擴張狀態觀測器前饋補償到控制器中，增強了系統的魯棒性；文獻[8]提出一種快速冪次趨近律，加快了趨近速度；文獻[9-11]提出不同的趨近律，都獲得了不錯的控制效果。所以對于滑模控制器來說，合理的趨近律會帶來更優異的控制效果。

本文在文獻[12-13]的基礎上，研究了一種變指數多冪次滑模趨近律，將狀態變量引入指數項，使其作為自適應項，加快了趨近速度，抑制滑模抖振，在典型系統中對不同趨近律進行比較；并以PMSM為控制對象，將PI速度控制器用新型趨近律滑模控制器(以下簡稱SMC)進行代替，針對系統存在的擾動問題，設計了一種新型擴張滑模擾動觀測器(以下簡稱ESMDOB)，將觀測到的擾動前饋到SMC中，提高系統抗擾能力和控制精度。在Simulink中構建PMSM矢量控制仿真實驗系統，與傳統指數趨近律SMC、PI控制器進行對比，仿真結果表明，本算法趨近速度快、抖振小、魯棒性高、抗擾動能力強。

1 變指數多冪次滑模趨近律及其穩定性分析

1.1 新型趨近律

對于滑模控制，我國控制領域著名學者高為炳院士在文獻[14]中引入趨近律這一概念，提高了滑模控制的品質。其中又主要分為以下幾種形式的趨近律：等速趨近律、指數趨近律以及冪次趨近律。但是在后續的研究中，為了改善這些傳統趨近律存在的不足，提出了多種新型的趨近律。如為了改善指數趨近律，文獻[15]將狀態變量引入指數趨近律，讓其按照狀態變量的變化進行自適應調整；文獻[16-17]為了解決冪次趨近律收斂速度過慢的問題，提出了雙冪次趨近律與多冪次趨近律。本文為了削減傳統冪次趨近律帶來的抖振問題和加快收斂速度，提出一種變指數多冪次趨近律，其形式：

k3|X|γsgn(|X|-1)·s

(1)

式中：ki,α,β，γ為待設計的參數，其中ki>0，0<α<1，β>1，0<γ<1。

1.2 穩定性分析

構造如下Lyapunvo函數：

V=0.5s2

(2)

顯然，V正定，對V求導得：

(3)

在得到穩定性條件后，由式(1)可知，當系統距離滑模面較遠時，如|s|>1，此時sgn(|X|-1)=1，趨近的主要速度由第二項和第三項共同決定，較文獻[12]提出的趨近律具有更快的速度；當系統靠近滑模面時，如|s|<1，此時sgn(|X|-1)=-1，根據數學知識，|X|γ<|X|-γ，趨近的主要速度由第一項和第三項決定，第三項將極大加快系統變量滑向滑模面，并有效削弱抖振問題。根據以上分析，將狀態變量X引入指數項，并通過構造自適應項|X|γsgn (|X|-1)，使得無論系統遠離或者靠近滑模面都能夠得到很大的趨近速度，并在系統到達平衡點時為0，保證趨近品質。

2 新型趨近律特性分析

根據上一節的分析，新型趨近律滿足有限時間內到達平衡點，下面在典型系統中對新型趨近律性能進行驗證分析。對于典型的SISO單輸入單輸出系統，如下式：

(4)

滑模面選取：

s=CX

(5)

對式(5)求導得：

(6)

根據式(4)與式(6)可以得到此典型系統的輸出：

(7)

指數趨近律：

冪次趨近律：

(8)

表1 各趨近律參數選取

仿真結果如圖1～圖4。

圖1 趨近時間

仿真結果表明，在經典的單輸入單輸出系統中，相較于傳統的趨近律，本文的變指數多冪次趨近律方法可以大幅度減少趨近時間；最早進入滑模面，并最終收斂于平衡點；有效削減抖振問題，在各方面都明顯優于傳統的趨近律方法。但是通過文獻[12-13]可以知道，在有界擾動的情況下，多冪次項-k1|s|αsgn(s)-k2|s|βsgn(s)趨近律就不能保證收斂至平衡點，而是收斂于平衡點某一較小范圍內。因此，采用雙冪次或者本文的新型趨近律時，必須將有界擾動前饋進行消除，保證系統最終逐漸收斂到平衡點。

3 PMSM ESMDOB與速度SMC設計

根據前面的分析，在采用本文的趨近律設計控制器時，必須要進行有界擾動前饋補償才可以保證收斂至平衡零點，所以本節將進行SMC與ESMDOB的設計，將ESMDOB觀測到的擾動前饋至SMC中，保證收斂，獲得更好的控制效果。

3.1 PMSM數學模型

表貼式PMSM在d，q旋轉參考坐標下的電壓方程如下式：

(9)

式中：ud,uq和id,iq分別是d,q軸的電壓、電流；Rs,Ls是定子電阻與電感；ωe,ωm分別代表電氣角速度、機械角速度；λf是磁鏈；p是電機的極對數。式(9)是在忽略定子鐵心渦流與磁滯損耗且磁路均勻分布不飽和的情況下得到的。

電機的轉矩與運動方程如下式：

(10)

(11)

3.2 ESMDOB設計

對于式(11)的運動方程，當考慮到系統建模和負載轉矩變化帶來的擾動時，則新的運動方程：

(12)

(13)

式中：z1,z2分別是ωm,d的觀測值；α1,α2,α3與k是待設計參數，且都為正常數。觀測誤差：

(14)

式中：e1=z1-ωm,e2=z2-d分別是轉速、擾動觀測誤差。

滑模面選取：s=e1。構造Lyapunov函數：V=0.5s2，求偏導得：

(15)

e2=τe-Nα3t

(16)

式中：τ是常數。可以看出，干擾觀測誤差e2隨時間按指數逐漸趨近于零，收斂速度與α3成正比。干擾觀測器的原理框圖如圖5所示。

圖5 ESMDOB原理框圖

3.3 PMSM速度SMC設計

考慮系統擾動時，PMSM調速控制系統的運動方程可寫為式(12)的形式。狀態變量選取：

(17)

式中：ωd為電機給定轉速；ωm為電機實際轉速；u為控制器輸出iq。系統擾動d由擾動觀測器觀測得到并前饋至速度控制器中。在滑模速度控制器中，選用積分滑模面，與傳統的線性滑模面相比，積分項的引入可以進一步削減滑模控制帶來的抖振問題。

選取積分滑模面：

(18)

式中：c是一個正常數。對式(18)求偏導得：

(19)

趨近律選擇為本文的變指數多冪次趨近律，如式(1)，則控制器的輸出：

(20)

由式(20)可知，控制器的輸出與趨近律參數的選取和系統擾動有關，通過設置合理的參數可以獲得不錯的控制效果。另一方面，將轉速偏差x作為變化量加入到趨近律中，加快趨近速度且能減小抖振。由此,PMSM滑模速度控制器設計完成，則基于此控制器的PMSM矢量控制系統原理框圖如圖6所示。

圖6 新型趨近律滑模速度控制器矢量控制系統

4 仿真實驗驗證

為了驗證本文算法的合理性和有效性，按照圖6在Simulink中搭建仿真模型，并與由傳統的PI速度控制器和指數趨近律的滑模速度控制器構成的控制系統進行比較。仿真用的表貼式PMSM參數如表2所示。

表2 PMSM參數

對于擾動觀測器的參數選擇，α1,α2和k決定觀測器的收斂速度，首先選取較大的數值，再逐次減小直到無明顯抖振出現；α3決定擾動觀測誤差趨近于零的速度。新型趨近律和滑模速度控制器的參數選擇同樣按照先大后調整的策略，具體參數選擇如表3所示。

表3 仿真實驗參數

首先是空載起動實驗，轉速由30rad/s在0.2s時加速至100rad/s，仿真時間0.4s，仿真結果如圖7所示。可以看出，空載時新型趨近律SMC與傳統指數趨近律SMC和PI控制器相比，響應速度更快，抖振更小，轉速過渡平滑，傳統SMC抖振更明顯，PI控制器穩態誤差較大，控制品質不高。

圖7 空載轉速

然后進行帶載實驗，仿真時長0.6s，分以下幾個階段進行：0～0.2s以50%額定負載1.4N·m、轉速100rad/s運行；0.2s時加速至300rad/s；0.3s時突加100%額定負載2.8N·m；0.4s時突卸負載后運行至結束。轉速響應圖如圖8所示。新型趨近律在帶載起動階段響應速度更快，且基本無超調；加速階段更快進入穩態，0.3s突加負載后，由局部放大圖可以看出，新型趨近律SMC基本無轉速損耗下降，而PI控制器轉速下降最多，指數趨近律SMC在本文的擾動觀測器進行補償后轉速下降幅度并不大；0.4s突卸負載后，PI控制器出現較大的超調，達到給定轉速的26.7%左右，經過約1.8s后恢復穩定；指數趨近律SMC超調約6%并很快回到給定轉速；對于新型趨近律SMC則轉速基本無超調，顯示了較強的抗擾能力，整個運行過程穩定快速，魯棒性強,說明本文的新型趨近律和擾動觀測器有效且具有一定優越性。

圖8 帶載變速轉速

干擾觀測器在新型趨近律SMC和指數趨近律SMC中觀測的轉速與總擾動如圖9和圖10所示。由圖9觀測到的轉速觀測結果基本與傳感器反饋結果一致，同時可以看出，新型趨近律具有更強的抗擾能力。圖10是觀測到的是系統外部與內部總擾動，圖10(a)是新型趨近律下觀測擾動，圖10(b)是指數趨近律下觀測擾動。相比之下，新型趨近律SMC下觀測器觀測到的擾動更加平滑，脈動更小。

圖9 ESMDOB觀測轉速

5 結 語

本文針對PMSM矢量控制系統提出一種基于新型變指數多冪次趨近律的滑模速度控制方法，該新型趨近律與傳統趨近律相比，具有更快的收斂速度、更小的抖振。還提出一種新型的ESMDOB對PMSM控制系統的擾動進行觀測，補償至SMC中，以減小擾動對控制效果的影響。搭建PMSM矢量控制系統仿真平臺，對所提控制方法進行驗證，并與傳統的指數趨近律SMC和PI控制方法進行對比。仿真結果表明，本文的方法有效可行，具有一定的優越性和實際應用價值。