基于分岔理論的永磁同步電機非確定參數混沌控制

李洋洋，戴 磊，張 懿，魏海峰，李垣江

(1. 江蘇科技大學 電子信息學院，鎮江 212003；2. 江蘇舾普泰克自動化科技有限公司，鎮江 212003)

0 引 言

永磁同步電機系統具有復雜的非線性行為，憑借著小的轉動慣量、高的工作效率、快速的響應性能被廣泛地應用于各種工業場合。因此,研究永磁同步電機運行系統的非線性動力特性就變得十分有意義。就永磁同步電機的非線性分岔行為來說，復雜的連續Hopf分岔運動行為會導致運行系統進入混沌狀態，一般發生在電機正常運行情況下受到外界干擾，亦或是受到系統本身傳動裝置的某種影響，導致電機在高性能發展領域受到阻礙[1-2]。永磁同步電機運行中，表現為轉速與轉矩的間歇性振蕩，控制性能不穩定及不規則的電磁噪聲等無規則運動現象，都有可能是電機運行系統中的混沌運動行為，這些行為會嚴重影響電機系統的高性能運轉，使系統的穩定性、安全性得不到保障[3-5]。電機系統運行時所造成的突發性病態現象，會嚴重影響負載系統運行，降低系統的工作效率，所以對永磁同步電機運行系統的這種復雜非線性行為進行研究具有非常重要的應用價值。

對于永磁同步電機系統中的分岔與混沌行為，國內外已有研究人員提出了許多分析和控制的方法。文獻[6-8]引入線性變換定理，得到永磁同步電機的無量綱化數學模型，基于Lyapunov穩定性判據推導出了電機運行系統的Hopf分岔條件。文獻[9-10]研究了d,q旋轉坐標系下的永磁同步電機模型，發現系統參數的變化會直接影響到系統平衡點的運行軌跡，從而會影響到系統的穩定性能。文獻[11-13]引入非線性系統的閉環穩定性控制理論，設計了一種誤差反饋學習算法進行控制電機運行系統的混沌行為，實現了對系統誤差的實時補償，該方法從很大程度上提高了系統的跟蹤性能。文獻[14-16]基于反步法設計了全局有限時間控制器，但是控制器中的一些參數很難確定。文獻[17-18]基于一般非線性系統的分岔理論，研究了電機系統的分岔特性，該文獻運用模糊控制原理對電機系統的分岔行為進行了同步控制，但是模糊控制容易降低控制系統的精度。文獻[19-20]以永磁同步電機是參數不確定的非線性系統為切入點，基于自適應控制律提出了一種參數不確定的永磁同步電機混沌控制策略，用于對系統的不確定參數進行在線修正。該文獻從理論上利用李雅普諾夫穩定性定理證明了控制算法的正確性，后又通過仿真進一步證明了處于混沌狀態的系統在加入該控制器后能夠很快進入穩定狀態。

本文基于分岔理論研究了永磁同步電機通向混沌的道路，針對永磁同步電機運行系統的參數不確定性，設計了一種自適應混沌控制器，實現對系統的不確定參數實時預估，最終達到有效地抑制系統的混沌行為。

1 永磁同步電機運行系統的混沌數學模型

對永磁同步電機的電壓平衡方程和轉矩平衡方程通過d,q軸坐標旋轉變換，得到常用數學模型如下式：

(1)

式中:id，iq，ud，uq分別為直軸，交軸定子電流和電壓；ω是轉子角速度；Rs為定子電阻；Ld,Lq分別為直軸和交軸的定子電感；ψr為磁鏈系數；TL為外部扭矩；β是摩擦系數；J是轉動慣量；p為極對數。

永磁同步電機不管是在不斷電運行的情況下，即ud,uq,TL不全為0；還是在負載為0并突然斷電的情況下，即ud=uq=TL=0，永磁同步電機運行系統都有可能發生混沌行為。而本文就第一種情況展開研究，特取永磁同步電機系統運行條件為ud≠0，uq=0，TL=0，且運行環境為均勻氣隙，即Ld=Lq。對式(1)進行仿射變換和時間尺度變換，得到其無量綱模型：

(2)

式(2)中的γ和σ是不確定參數，已有文獻證明在特定的參數條件下，永磁同步電機系統會產生混沌運動。若永磁同步電機系統在運行過程中由于某種干擾或其他因素產生混沌行為，這種混沌行為往往會使得系統產生不規則的電磁噪聲，又或者造成突發性的病態機電振蕩現象，并且對電機轉子造成極大的破壞，減少電機的使用壽命。因此，本文就永磁同步電機在運行過程中產生的混沌行為進行分析并進行控制具有很大的研究意義。

2 永磁同步電機運行系統的分岔分析

ud≠ 0，uq= 0，TL=0，是指電機于空載狀態運行，且只有d軸電壓供電的情況下，從式(2)中可以得出系統的平衡點為O(ud，0，0)。其中，令[x1,x2,x3]=[id,iq,ω]，則其余兩個非零平衡點由下列方程組決定：

求得系統兩個非零平衡點：

(3)

本文就系統平衡點的穩定性展開分析系統的分岔行為，首先求解系統的雅克比矩陣：

(4)

根據系統的雅可比矩陣求解特征多項式：

L(λ)=λ3+(σ+2)λ2+

(1) 當平衡點為O(ud，0，0)時，代入特征多項式：

L(λ)=λ3+(σ+2)λ2+

(σud+2σ+1-σγ)λ+

(ud+1-γ)σ

解得對應的特征值：

λ1=-1

① 當γ∈(0,ud+1)時，特征值全部為負數，所以平衡點O是穩定的；

② 當γ=ud+1時，有λ1=-1，λ2=-(σ+1),λ3=0時，即系統有一個零特征值，說明平衡點O附近還存在其他平衡點，則系統的拓撲結構發生了變化，即系統在此時出現了分岔現象；

③ 當γ>ud+1時，系統有兩個負的特征值λ1、λ2和一個正的特征值λ3，此時平衡點O成為鞍點，且系統不再穩定。

綜合①②③可知，系統在γ=ud+1時發生叉形分岔，此時，平衡點O由穩定變為不穩定，并且將出現新的平衡點X1和X2。

(2) 針對于非零平衡點，由于X1和X2嚴格對稱，本文只分析其中一個，就平衡點X1作為研究對象進行分析。由式(3)和式(4)可得系統對應于平衡點X1的特征式：

L(λ)=λ3+(σ+2)λ2+(γ+σ-ud)λ+

2(γ-1-ud)σ

由Hopf分岔判定定理得在平衡點X1處產生Hopf分岔的臨界條件：

(5)

即當γ=γ0時，系統狀態變量id，iq，ω將產生Hopf分岔；當γ>γ0且γ繼續變化，系統狀態變量id，iq，ω將通過產生連續的Hopf分岔最終進入混沌狀態，即永磁同步電機運行系統將會產生不規則的電磁噪聲，甚至有可能造成突發性的電機故障。

系統參數σ取18.24，ud取2.56，可求得系統靜態分岔參數γ=3.56，Hopf分岔參數γ0≈24.66，為了方便分析系統平衡點的分岔現象，取狀態變量x2，做出其隨分岔參數變化的分岔圖，如圖1所示。

圖1 系統分岔圖

從圖1中可以看出，系統在γ=3.56左右產生靜態分岔，系統由一個平衡點變為兩個平衡點；在γ=24.66左右產生了Hopf分岔，系統的平衡點逐漸穩定于一個極限環上；當γ>24.66時，系統的平衡點呈現出無規則的分布，此時系統進入混沌運行狀態。分別取三組γ參數，γ1=2.2、γ2=16.6、γ3=28.4，做出不同的分岔參數下的系統相圖。

永磁同步電機運行系統在工作過程中，隨著分岔參數的變化，系統首先會產生靜態分岔，即γ=ud+1，此時系統的平衡點將會變為兩個新的平衡點，之前的平衡點將不再穩定，系統相圖會體現為系統的平衡點收斂至一個點，即系統穩定；如圖2所示，當分岔參數γ∈(0，24.66)時，系統的平衡點的軌跡穩定并且收斂，即永磁同步電機運行系統在此參數區間是穩定的。

(a) γ1=2.2

當γ>ud+1時，系統會產生Hopf分岔，此時系統相圖的拓撲結構發生變化，系統相圖會體現為系統的平衡點將收斂到一個環上，而不再是收斂到點，此時的環稱為極限環，同時系統的解會呈現周期性，顯然此時的系統依然穩定，還未出現混沌現象。然而,隨著系統分岔參數的繼續變化，直至分岔參數突破某一臨界點，系統平衡點穩定的環狀結構將會被打破，最終系統平衡點將會無規則分布。

當參數γ>24.66時，隨著γ的變化，系統平衡點的軌跡將不會始終穩定在極限環上，如圖3所示。從圖3中可以看出，系統的軌線從初始點(0,1,1)出發，先繞平衡點X1旋轉再繞平衡點X2旋轉，然后又繞平衡點X1旋轉，但是軌線繞每個點旋轉的圈數都是不確定的，具有隨機性，這就形成了系統的奇怪吸引子。此時系統的解是無規則的，不再是穩定于極限環上的周期解，系統已經進入混沌運行狀態，稱此時的系統是混沌系統。

圖3 γ3=28.4時的系統相圖

3 永磁同步電機運行系統的混沌控制

上述對永磁同步電機一種參數情況下進行了分岔研究，分析得知當分岔參數大于臨界值，即γ>24.66時，運行系統會進入混沌運行狀態，即系統將不再穩定。為了仿真工作在混沌狀態下的永磁同步電機運行系統，系統參數σ取18.24，分岔參數γ取28.4，對應圖3，永磁同步電機運行系統工作在混沌狀態下。由式(3)可得系統此時的平衡點X=(27.4，4.984，4.984)，為了有效控制這種混沌行為，本文基于自適應理論設計了混沌控制器，使得進入混沌狀態的永磁同步電機運行系統最終穩定于平衡點。

本設計相對于文獻[20]在控制器的數量上進行了優化，減少了控制器的數量，加入控制器后的系統模型：

(6)

系統中的控制器的推導如下，令：

u=-βsign(x2)|x2|k-γ0a-σ0b-c

式中:γ0，σ0分別為γ和σ的估計值；β為控制增益；a,b,c分別為設定的變量。

取Lyapunov函數V1：

即系統的控制器：

根據Lyapunov穩定性定理可知，式(7)在加入控制器后是Lyapunov穩定的。

4 仿真分析

永磁同步電機是一種多參數系統，具有復雜的非線性行為，在實際的工程環境下，系統中的參數值是未知的，通常會因為外界的干擾導致參數的精確值很難得到，本文為了解決參數不確定問題，采用自適應控制方法來消除系統參數不確定的混沌問題，并取得了良好的控制效果。

本文在t=15時，對系統加入自適應控制器u，抑制系統的混沌行為。圖4為加入控制器后的系統狀態圖。從圖4中可以發現，在受外界因素影響，系統內部參數很難確定的情況下加入自適應控制器，能夠有效地控制電機穩定運行，并且最終穩定到平衡點X=(27.4，4.984，4.984)。

圖4 加入控制后iq，id，ω的狀態圖

5 結 語

本文將永磁同步電機運行系統的物理模型進行時間尺度變換和線性仿射變換，得到一個無量綱化數學模型，減少了系統模型中的參數，方便了對系統狀態的分析。

本文分析了系統平衡點的分岔特性，發現系統的靜態分岔點和Hopf分岔點最終都與系統參數σ和ud有關。在仿真中，取σ=18.24，ud=2.56，計算得系統的靜態分岔點為3.56，Hopf分岔點為24.66，隨著分岔參數γ的繼續增大，系統出現了連續的Hopf分岔現象，最終進入混沌狀態。

為了有效地控制永磁同步電機系統的混沌行為，采用自適應控制算法，基于系統參數的不確定性設計了一種自適應混沌控制器。根據Lyapunov穩定性理論，證明了控制器的穩定性。通過MATLAB仿真，在t=20時加入控制器，仿真圖表明，在加入控制器后，系統各個狀態能夠快速地進入穩定狀態。