設置數學實驗教學引入，自然建構弧度制概念

程青華

弧度制，一直被認為是高中數學概念的教學難點，很多同行為此展開了思考，在弧度制引入的必要性上苦苦追尋.《普通高中數學課程標準（2017年版）》中也要求體會弧度制引入的必要性，但是如何體會？我們需要理解弧度制的本質是什么？弧度制的本質是用線段長度度量角的大小，這樣的度量統一了三角函數自變量和函數的單位，也為進一步理解高中函數概念中為什么強調函數必須是實數集合與實數集合之間的對應，因為只有這樣才能進行基本初等函數的運算（四則運算、復合、求反函數等），使函數具有更廣泛的應用性.

本文通過初高中三角函數定義的不同來說明弧度制引入的必要性，探索弧度制概念課的教學引入，通過不同單位度量同一事物的差別發現問題，再通過數學實驗操作感知新概念的來臨，依照數據的分析和比較自然引入弧度制定義，生成不突兀，在實踐和探究中建構了弧度制概念.

1情境思考

單靠弧度制這一節概念課是無法深刻體會弧度制引入的必要性的，我們可以創設一個情境來分析這個問題.

情境對于三角函數的教學，為什么初中數學通過直角三角形講述，高中數學要通過單位圓講述？這是必要的嗎？

分析基于對應關系的函數定義，要求函數與函數的對應關系，稱前者的取值范圍為定義域，稱后者的取值范圍為值域.初中三角函數是對直角三角形中邊角關系的刻畫，其中自變量的取值是60進位制的角度、不是10進位制的實數，不符合對應關系的函數定義，事實上，初中學習三角函數，是為了解直角三角形，并不討論三角函數的基本性質，在高中階段，借助單位圓建立角度與對應弧長的關系，用對應弧長刻畫角的大小，因為長度單位與實數單位一致，這就使得三角函數的自變量與函數值得取值都是實數，復合對應關系的函數定義.

按照課本的順序，弧度制是在單位圓三角函數之前，所以我們要想更深刻地去體會弧度制引入的必要性，必須要通過后續學習，然而這節概念教學課如何引入呢？

筆者也做了一些思考，先從不同單位度量同一事物的差別出發，認識到度量單位選取的重要性，緊接著用實驗測定弧長（線段長）、半徑長、角度，通過比較分析得出規律，進而引出弧度制概念，與此同時用幾何畫板來驗證任意性，突出實驗操作對弧度制定義的認知作用，就從教學效果來看，還是頗有回味感的.

2《弧度制》教學引入部分課堂實錄

2.1創設情景，引向課題

小巨人姚明的身高有兩個版本：227cm、229cm，《休斯頓紀事報》報導了227和229兩個數字的由來，原來是姚明選秀（2002年5月）時，NBA官員將姚明身高登記為7英尺5.5英寸，換算為227cm，火箭隊公布姚明身高為7英尺6英寸，就是229cm.

請你分析小巨人姚明的身高為什么會出現這么大的差異？（讓生討論，學生會得出各種各樣的答案，適當提醒，引導學生思考這是度量單位精確度的問題，換算成其他度量單位就會產生誤差.）

師：請你分析小巨人姚明的身高為什么會出現這么大的差異？

生1：有可能姚明長高了;

生2：長高不可能吧？可能是鞋子的問題;

生3：他測的應該是凈身高，可能是測量儀器的誤差問題;

師：還有沒有其他的認識？

生4：既然是選秀，測量的身高應該是很嚴格的，同時也應該是最為標準的，我認為應該是精確度的問題.

生5：對，是精確度的問題，據我所了解，姚明當時測量的身高為7.552英尺，精確到0.1時是7.6英尺，換算成國際單位厘米則是229cm;若精確到0.01時則是7.55英尺，換算成國際單位厘米則為227cm.這就是我們看到的差異的原因.

師：剛才這位同學講得很精彩，也很正確，是精確度在作祟，相差0.5英寸，換算成cm就相差2個cm了，說明了用相對小些的cm來度量姚明的身高會較合理些.

結論對于某些實物我們測量時可以選用英尺來測量較好，而測量身高則用國際單位cm較好，不同的實物不同的度量單位，我們要根據情況選擇使用.

師：那同學們再想想還有哪些度量單位，比如重量？

生：有千克、克、噸、斤、公斤……

師：很好！我們看到度量長度或者重量與很多種單位，那不同的單位之間有關系嗎？

生：1噸=1000千克，1公里=1000米，可以進行換算.

師：好！既是如此，所以我們選擇不同的單位來度量同一事物.

那么對于目前唯一度量角的角度制是不是也有其他的度量方式呢？

2.2實踐操作，引出課題

而對于初中我們學習過的角度制是一種什么樣的度量角的方式呢？回顧并給出1°的角的定義：將圓周分成360等份，每一段圓弧所對的圓心角就是1°的角.

既然用角度制可以度量角，接下來就從實驗中感知.學生分組探究：如圖1，在平面內畫扇形并測量出角度，用細繩測量弧長L和半徑r，探討它們的關系.（表格中數據全部精確到0.1）

把準備好的畫在紙上的扇形（角度大約為1弧度的兩個不同半徑的兩個，角度大約為2弧度的1個）發給各組，先測量角度（精確到0.1）直接用白板將數據填入表格，然后發現：除了用角度制去度量這些角時，那么是不是有另一種度量角的方法呢？繼續測量弧長L和半徑r，同樣將各組同學測量的數據填入表格中，然后分析得出：用半徑所對的弧長比上半徑可以去度量某一個角，那么是不是對于任意角都可以呢？

如圖2～5，用幾何畫板演示學生觀察.（一邊觀察一邊引導學生從比值上理解）

得出結論除了角度制去度量某一個角之外，我們確實可以用任意角的弧長比上半徑來度量這個角.那么這種度量角的方式就是我們今天要講的弧度制.

板書：1.1.2弧度制

3教學反思與分析

《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確指出：“數學學科核心素養在學生與情境、問題的有效互動中得到提升.在教學活動中，應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題.”這就清楚地表明，設置情境的重要性.通過實踐，是數學概念教學的一個重要過程，學生是認識的主體，又是創造與發展的主體，充分尊重學生的主體地位，正確發揮教師的主導作用，是“數學概念課”課堂教學模式這一教學模式的指導思想.情境設置加上操作實踐，對一些共性進行認識，在認識的基礎上正式提出新概念.基于這個指導思想，本課題的教學實現了幾大突破.

3.1以“姚明身高問題”為引入，讓學生積極參與到探討是什么原因導致姚明身高的變化差異

學生的回答會比較多，也比較精彩，一下子把氣氛給調動起來了，但是最終找到問題的答案：是精確度在作祟，這個時候教師便可以總結出不同的單位度量時誤差會不同，不同單位之間可以進行換算，描述同一事物可以用不同的單位，以此得出作為度量角的大小的角度制是否可以用其他的單位制來表示呢？認識到這一點，我們就可以繼續進行探究.通過互動觀察現象、發現問題正是我們尋求新概念的基礎.

3.2實踐出真知

根據弧度制的本質我們可以大膽地動手做數學實驗，分組測量角度，然后再測量半徑和弧長，積極引導學生從弧長比上半徑的方向思考，用量角器測量角度比較容易做到，當學生發現弧長比上半徑的值趨于一個定值時，意味著用這種方式表示角的大小也是一種方式，而且是一個實數.顯然數學實驗更能感知到弧度制概念的出現并不會讓人覺得很突兀，而是找到了一種具有實踐形式的知識結合點和技能生長點.

3.3重視信息技術運用，實現信息技術與數學課程的深度融合

充分借助“幾何畫板”和“希沃白板”演示動態過程，讓學生感知“同一個角的弧長與相對應的半徑比值相同”和“不同的角的弧長與相對應的半徑比值不同”.于是可以總結出對于任意角都可以用弧長比上半徑來表示，而且比值是任意一個實數，這種度量角的方式就是本課題要研究的弧度制.通過實踐認識再實踐再認識得到新的數學概念.充分利用流媒體一體機的書寫功能，將學生所測數據直接填入表格，這些或可成為亮點，新媒體的使用讓學生產生興趣，同時也是方便教師，順其自然地講授，對學生也頗具有吸引力.

4結語

弧度的引進的主要原因是為了適應微積分創立之后科學計算上的需要，更具體地說，弧度的引入使得微積分中的關于三角函數的各種公式，如微分公式、積分公式和泰勒公式等等，與普通的角度制相比，都得到了大大簡化.

這使得弧度制成為了高等數學的一個必然選擇，但是對高中生來說，我們用高等數學的知識來引入弧度制的概念教學未免有些高了，而高中生更多的是要體驗弧度制的意義，體會引入弧度制的必要性即可.本文主要針對弧度制概念的出現而設計的課題引入，需要學生掌握的知識也很自然的生成，教師只是穿針引線者，其他教學過程著墨不多.教無定法，只要在關注知識本質上思考能讓學生自然生成概念的方法都不妨一試.