2019年全國卷Ⅰ理科數學17題評析與備考建議

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20 19年高考全國卷Ⅰ理科數學17題，考查了正弦定理、余弦定理及三角恒等變換等知識的應用，涉及的知識較為基礎，難度適中，是考生較易得分的題目.

一、真題再現

17.△ABC的內角 A，B，C的對邊分別為a，b，c.設（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A;

二、試題分析

對于第（1）問，只需由正弦定理將條件中關于三角正弦的關系等式轉化為三邊關系等式，再結合余弦定理的表達式，即可輕松求解.

對于第（2）問，主要有兩種思路.思路一:先利用正弦定理將已知條件中關于三邊的關系等式轉化為關于三角正弦的關系等式，再結合三角恒等變形公式即可求解；思路二:先將已知條件中關于三邊的關系等式與余弦定理表達式聯立，得到含有a、c的關系式，再結合正弦定理即可求解.

由此可見，該題的考查內容、設問方式以及解題思路和方法，均是考生復習時所熟悉的，難度也與往年相當，起到了穩定考生心態、緩解考生情緒的作用.

三、考生存在的問題

1.基礎知識薄弱，答題信心不足

如圖1，考生能由已知條件等式的結構特征入手，選擇正弦定理將三角正弦關系等式轉化成三邊關系等式，再結合余弦定理順利求解第（1）問.但面對第（2）問，因為條件等式系數結構不整齊，且與所求值之間的聯系跨度較大，加之考生基礎知識薄弱，造成心理壓力大或情緒緊張，故不能進入第（2）問的求解.

圖1

圖2

2.解題思路不清晰造成運算困難

如圖2，在第（2）問中，由已知條件結合正弦定理、三角形內角和定理、三角公式可得含有sinC的三角方程，即可得解.但考生未能掌握常規思路，而是采用平方手段對式子進行變形，且去掉了已經求得的角A，這樣無形之中就給后續運算造成很大的困難，無法繼續解題.

3.運算不仔細導致解答錯誤

如圖3、圖4，兩位考生的解題思路清晰，在第（2）問的處理中，圖3考生采用了去C留B的方法，思路清晰，運算簡捷，但卻將cosB的值求錯；圖4考生將已知條件與余弦定理表達式聯立，得到含有a、c的二次齊次方程，再將sinA的值代入，利用二次方程求根公式求解，但在整理時方程中部分系數的計算出現錯誤，最終未能得到正確結果.

圖3

圖4

4.三角恒等變形掌握不牢

在圖5中，考生不能準確使用輔助角公式，在三角函數式變形過程中出現正負號錯誤表達，雖然最終答案正確，但屬于錯來錯去結果碰巧對了，且增根的舍去也沒有說明理由；在圖6中，考生沒有采用常用的輔助角公式進行化簡整理，致使出現運算方面的困難.這些都是因為考生對三角恒等變換的應用不夠熟練而造成的.

圖5

圖6

5.缺乏對運算結果檢驗的意識

如圖7，由于考生沒有選擇常用的輔助角公式進行變形整理，而是選擇了與同角三角函數關系式進行聯立，致使最終出現了兩組計算結果.這時考生應對所得結果進行檢驗，然后去掉增根，但考生明顯缺乏這種檢驗意識，因而造成失分.圖8也是這個問題.

圖7

圖8

6.書寫不規范導致失分

有的考生對第（2）問的解答明顯缺少主要的解答步驟和重要的計算過程.例如，開始進行邊角轉化時，缺少對正弦定理的解釋說明(見圖8)；有的考生對一些重要數據的由來解釋得過于簡單，缺少必要的演算步驟，屬于跳步作答(見圖8、圖9)；個別考生書寫格式隨意，字跡潦草，致使最終計算結果錯誤(見圖10).以上都是造成不必要失分的原因.

圖9

圖10

四、高三備考建議

1.夯實雙基，樹立信心

對正弦定理、余弦定理、三角恒等變換等基本知識和方法的復習要做到穩扎穩打、不急不躁.對兩個定理的表達式、證明方法、適用類型、主要應用都要清楚，對三角恒等變換公式的由來、易錯點、注意事項也要清楚。

2.勤于反思，提升素養

復習時，要重點理解數學概念、定理、公式、方法的來龍去脈；解題時，要勤于反思，體會知識運用過程中蘊含的思想方法，如轉化與化歸、方程思想等，而不是盲目地大量練題。夯實邏輯推理和數學運算兩大基本功，是考生備考的主要任務，也是學科素養提升的重要途徑.

3. 關注學科內知識的綜合

新課標理念下的解三角形知識是以向量知識探究應用的形式出現的，可見，以向量為工具研究解三角形問題將成為一種主要視角。考生對此要有思想準備，備考中應適當關注向量與解三角形相結合的問題.

4.規范書寫，嚴謹作答

數學重點考查考生的理性思維，而理性思維的主要體現就是邏輯推理能力.考生解答數學試題時，要力求做到推理嚴謹、計算準確、作圖清晰、語言規范，以期更好地反映自身數學素養，避免高考時“會而不對，對而不全”問題的發生.