以方格為工具，把握度量本質

○姜永春

《平行四邊形的面積》是學生學習了長方形、正方形的面積之后，進一步對二維圖形面積的度量進行深入的研究和探索。關于度量，史寧中教授在《小學數學教學中的若干問題》一書中指出：要度量就必須確定度量單位，而度量就是計算所要度量的圖形包含多少個度量單位。讓學生體會度量本質是圖形測量教學的核心。但在實際教學中，卻存在著重公式輕本質的現象，教師往往會忽視用面積單位度量的過程，而過早地進行形式化計算，導致學生無法深入理解面積公式背后的道理。

那么，我們如何深入淺出地讓學生體會度量的本質，培養他們的度量意識呢？

【教學回放】

師：同學們，觀察這兩個花壇，猜一猜，哪個花壇的面積大一些呢？

生：長方形花壇面積大。

生：平行四邊形花壇面積大。

生：我認為兩個花壇的面積一樣大。

師：大家觀察得很仔細，都作出了自己的猜測。假如這個長方形的花壇長是6m，寬是4m，怎樣計算出它的面積呢？

生：因為長方形的面積=長×寬，可以得到長方形花壇的面積是6×4=24（米2）。

師：平行四邊形面積的計算方法我們以前沒學過，請同學們大膽猜測，你認為該怎樣計算呢？

【診斷分析】

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在第一學段要求，結合生活實際，經歷用不同方式測量物體長度的過程，體會建立統一度量單位的重要性。這種要求對面積和體積的單位也同樣適用。本教學片段，教師用兩個花壇的情境引入，雖然調動了學生學習的興趣，但數學意義上的測量是要計算所要度量的圖形包含多少個度量單位，是要對圖形指定一個合適的數，在這樣的視角下，度量的數學意義被淹沒了。為了更好地讓學生體會度量的本質，體會度量單位的重要性，我們不妨直接從面積單位引入。

【教學重構】

師：同學們，這里有兩條線段，我們怎么知道它們各自有多長呢？

生：用尺子去量一量。

師：對，尺子是測量長度的工具。

師：仔細看，現在線段運動起來變成了面，我們用什么工具來測量面的大小呢？同學們可回想學習過的長方形面積是怎么得到的。

生：那時我們用小方格來求長方形的面積。

生：用長乘寬就得到了面積。

（教師在二維圖形中加上方格。）

師：對，方格是測量面積的工具，每個方格就是一個面積單位。看圖說說長方形的長、寬和面積在方格里分別表示什么呢？

生：長方形的長表示一行多少個方格，寬表示一共多少行，乘積就表示一共多少個方格，也就是長方形的面積。

師：看圖接著說明正方形面積公式“邊長×邊長”中兩個邊長又表示什么呢？

生：一個邊長表示一行多少個方格，另一個邊長表示一共多少行，乘積就是正方形的面積。

師：對，要想求一個圖形的面積，只要想辦法計算出它包含多少個面積單位就可以了。其他圖形的面積是否也能這樣來研究呢？今天我們來學習另外一個平面圖形——平行四邊形的面積。

圖形大小的測量皆有各自的測量工具（一維長度的測量工具是刻度尺，二維面積的測量工具是大小不同的方格，三維體積的測量工具是大小不同的方塊）以及各自的度量單位。在長方形面積教學時，學生用1平方厘米的面積單位去覆蓋，已經明白長和寬分別表示一行多少個小正方形和一共多少行，積就是多少個面積單位，也就是所測量的長方形的面積。但后來的求面積變成了用一把尺子去量長和寬，量面積又變成了量長度，造成了學生在做題目時，周長和面積經常搞混。

為了讓學生深刻體會面積是用面積單位來刻畫的，本教學片段從一維的線運動到二維的面，讓學生體驗面積單位“方格”的含義。之后在方格紙上復習長方形、正方形面積計算公式所表示的意義，長乘寬以及邊長乘邊長的本質皆是：一行多少個面積單位×一共多少行=圖形所包含的面積單位個數，也就是所測圖形的面積。這樣，學生既體會了度量單位的重要性，又加深了對“面積單位的累加”度量本質的感知，同時對新知平行四邊形面積的探索有了方向上的指引。

【教學回放】

師：同學們手中都有一個平行四邊形，我們現在不知道它的面積如何計算，能不能把它轉化成我們已學過的圖形呢？

生：能！可以轉化成學過的長方形。

師：四人小組合作，用課前準備好的平行四邊形卡片和剪刀，把平行四邊形剪拼成長方形吧。

（學生活動后展示兩種轉化方法。）

師：請大家認真觀察，轉化前平行四邊形的面積、底和高分別與轉化后的長方形的面積、長和寬有怎樣的聯系？

生：長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高，它們的面積相等。

生：長方形的面積等于長乘寬，平行四邊形的面積等于底乘高。

【診斷分析】

這一教學片段中淡化了面積單位的使用，而把教學重點只放在如何轉化成長方形的轉化思想的滲透，以及尋找圖形各元素之間的關系并推理得到計算公式上。有的教師引導學生用面積單位小方格去測量，也只是按“不滿一格的都按半格計算”來解決，這樣的做法顯然遠離了度量的本質。這里，應該讓學生體會“面積單位的累加”以及“面積測量的實質是要對某些平面圖形指定一個合適的數”。

【教學重構】

（教師事先發放給學生畫有平行四邊形的邊長為1厘米的方格紙。）

師：請同學們看平行四邊形的面積能否通過數方格得到呢？

生：沒辦法數，因為兩邊不是整格。

生：可以把平行四邊形左邊剪掉一部分補到右邊，變成能數的長方形。

師：同學們想辦法把平行四邊形轉化成能數的圖形，并求出它的面積。

（學生活動后展示兩種轉化方法。）

生：我們通過圖很清晰地看出，長方形的長和平行四邊形的底同樣是6厘米，長方形的寬和平行四邊形的高都是4厘米。又因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高，也就是6×4=24（平方厘米）。

生：我們還從轉化的過程中體會到平行四邊形只是把剪下的一部分挪了個位置，面積大小沒變，同樣能得到平行四邊形的面積=底×高。

師：現在同學們推導出了平行四邊形的面積，誰能說說公式中的底、高和面積在方格中分別表示什么？

生：底表示一行多少個方格，高表示一共多少行，面積就是用一行多少個方格乘一共多少行，求出多少個方格，平行四邊形的面積就是多少平方厘米。

師：對，無論是平行四邊形，還是長方形和正方形，它們的面積公式雖然都是長度的乘積，但它們所表示的都是一行多少個面積單位乘一共多少行，也就是一共包含多少個面積單位。

關于規則圖形的度量，《義務教育數學課程標準（2011年版）》在第二學段指出，探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式，并能解決簡單的實際問題。如何探索？三年級教學長方形的面積時，把重點放在對度量單位的擺放和尋找規律數出度量單位的個數上，而平行四邊形作為對二維圖形面積的第二次探索（正方形的面積是根據與長方形的關系得到的），筆者認為度量單位的使用是不可或缺的。

這一教學片段，把方格也就是面積的度量單位貫穿教學始終。首先讓學生在方格紙上數平行四邊形的面積，數不出來就要想辦法轉化成能數的圖形，這也是解決面積測量的基本方法。在方格紙上，學生把平行四邊形轉化成長方形，位置不管怎么變化，但是面積單位的總和是不變的，運用了面積的運動不變性；一個單位方格的面積是1，它就是一個標準，即正則性；數方格的過程就蘊含了面積的有限可加性，最后得出平行四邊形的面積公式，即求面積單位總個數的簡便方法，同時也設法給了面積一個確定的數與之相對應。之后，又通過對平行四邊形、長方形、正方形面積的梳理，它們的本質都指向：一行多少個面積單位×一共多少行=面積。這樣就把面積測量的基本思想貫通起來，使學生體會到不管測量什么圖形的面積，其本質皆為“度量單位個數累加的結果”。度量單位是一切圖形測量的本源，而這種思想和方法為今后學習其他平面圖形面積的測量奠定了基礎。