壓電柔性機械臂系統辨識與振動主動控制?

康建云， 畢 果， 蘇史博

（廈門大學航空航天學院 廈門，361005）

引 言

由于具有效率高、能耗低、載荷比大以及構建設計緊湊等優點，以空間站吊裝用機械臂、大型柔性天線、空間太陽能帆板為代表的柔性構件在在航空航天領域得到了廣泛應用［1］。但是，柔性結構體由于其固有的低剛度和低阻尼特性，在操作過程中受到不規律的外擾動力很容易產生幅度較大且不易衰減的彈性振動，影響了操作過程中的定位精度和操作效率，無法滿足實際操作需要。隨著智能柔性臂的發展，響應速度、定位精度以及重載等關鍵問題日益突出，因此必須對柔性機械臂進行必要的振動控制。

壓電類材料作為一種能夠將電能與機械能互相轉換的材料，具有結構緊湊、響應時間快和能量轉換效率高等特性，為柔性結構的振動主動控制提供了新的思路。學者們對基于壓電柔性機械臂的振動主動控制進行了廣泛研究［2-3］。Pereira 等［4］使用積分諧振控制方法對柔性機械臂進行振動抑制，在控制器中加入2 個嵌套反饋回路，實現了精確的終點定位和有效的振動抑制。Etxebarria 等［5］將最優控制和滑膜控制用于機器人柔性臂的魯棒控制方案，實現了閉環跟蹤性能。Resta 等［6］針對多關節柔性機械臂在大位移運動過程中的非線性振動問題，采用獨立模態控制法進行振動控制實驗，結果表明，在不影響機械臂運動和材料強度的情況下，振動控制使系統的阻尼比增加了15%。Zeng 等［7］基于變結構模型參考自適應控制理論，設計了一種利用輸出反饋控制軌道柔性航天器的新型控制器，數值仿真結果表明，該控制器對于未知參數、干擾和未建模動態的非線性系統具有良好的瞬態特性和魯棒性。Rew等［8］提出了一種對頻率變化的結構進行多模態振動控制的自適應正位置反饋算法，以壓電智能柔性臂為實驗對象進行算法驗證，取得了良好的效果。婁軍強等［9］從系統模型辨識的角度出發，針對壓電柔性臂的建模問題，采用ARMAX 作為參數模型進行系統辨識，使用線性二次型調節器（linear quadratic regular，簡稱LQR）優化算法對壓電柔性機械臂進行了振動控制。張順琦等［10］通過有限元法建立了壓電懸臂梁動力學模型，設計了模糊邏輯控制器對懸臂梁進行振動主動控制，通過加入LQR 算法和比例積分微分（proportional integral differential，簡稱PID）算法進行對比，驗證了模糊控制的有效性。朱曉錦等［11］將濾波U-最小均方算法用于壓電柔性結構的振動主動控制，并實驗驗證了該算法的可行性和有效性。邱志成等［12］針對壓電柔性臂的振動問題，采用正位置反饋（positive position feedback，簡稱PPF）和比例微分（proportional differential，簡稱PD）控制算法進行振動控制實驗，控制效果較為明顯。

筆者針對壓電柔性機械臂的彈性振動問題，首先，通過實驗辨識的方法建立了系統的動力學模型；其次，基于控制理論和優化算法，引入線性二次型最優控制，并將最優控制與遺傳算法結合，針對加權矩陣難以解析的關鍵問題，將遺傳算法應用于控制器的設計中，實施了加權矩陣的優化設計；最后，搭建了以工控機為核心的壓電智能柔性結構振動主動控制系統的硬件實驗平臺，編寫了基于LabVIEW 的系統軟件測控程序，并開展了對壓電柔性臂持續激勵和自由衰減下的振動控制實驗研究。

1 系統描述

本研究涉及的壓電柔性臂系統結構圖如圖1 所示，測控系統實物圖如圖2 所示。本實驗用到的傳感器為壓電纖維復合材料（型號為MFC-0714）；電荷放大器型號為YE5835；數據采集卡型號為NIUSB-6002；壓電驅動電源型號為芯明天-E01。

圖1 壓電柔性臂系統結構圖Fig.1 Block diagram of the flexible manipulator system

圖2 壓電柔性臂測控系統實物圖Fig.2 Experimental setup of the flexible manipulator system

2 系統辨識建模

2.1 理論模型

柔性臂和壓電致動器的基本參數如表1 所示。選用歐拉-伯努利懸臂梁作為受控結構，其傳遞函數的表達式為

其中：ki為開環傳遞函數的增益；ξi為i階阻尼比；ωi為i階振動角頻率。

表1 柔性臂和壓電致動器的基本參數Tab.1 System properties of beam and PZT actuator

由于不能得到柔性梁系統的所有階模態，且懸臂梁振動在前幾階振動模態中占主導作用，所以引入模態截斷技術，只保留前幾階模態。通過重新構造系統的零點分布［13］，得到系統模型為

其中：ai，bi為第i階模態的零點。

2.2 實驗辨識

選用正弦掃頻信號作為輸入信號，可以較為充分地激發壓電柔性臂的各階模態，以防止某一低階模態被遺漏。掃頻信號的頻率范圍為0～5 Hz，幅值為±5 V，系統在掃頻激勵下的應變輸出電壓信號如圖3 所示。

圖3 掃頻激勵下的輸出電壓信號Fig.3 Sweep excitation output signal

借助Matlab 系統辨識工具箱，使用零極點重新分布的系統模型，對輸入輸出實驗數據進行辨識［14］，辨識模型的實驗結果比較如圖4 所示。

圖4 辨識模型的實驗結果比較Fig.4 Comparison of experimental results of identification model

辨識得到的系統傳遞函數為

為了定量對比辨識結果和實際輸出的匹配程度，引入模型吻合度指標

其中：yi(t)為第i個采樣時刻的實際輸出為辨識模型在第i個采樣時刻的理論輸出；吻合度指標J越接近1，表示辨識模型和實際模型的匹配度越高。

由于實驗辨識得到的系統傳遞函數輸出結果與實際結構響應的匹配度為95.22%，故可以用該模型進行后續控制算法的設計。

在發展上，核心素養具有終生發展性，也具有階段性。核心素養在個體不同人生階段中的著重點有所不同，不同教育階段對某些核心素養的培養也存在不同的敏感性，即一些核心素養在特定的教育階段可能更容易取得良好的培養效果。初中生物的課堂教學應該在學生初中畢業之時留給學生怎樣的學科素養？教師要以培養學生的學科核心素養為終極目標，讓學生在體驗中逐漸積累知識，培養意識，發展能力。

3 控制算法設計

為了便于反饋控制器的設計，將系統模型轉換為狀態空間表達式［15］，從能觀的角度構造系統狀態方程

其中：A，B和C分別為系統的狀態矩陣、控制矩陣和輸出矩陣；系統輸入u(k)為施加在壓電致動器上的控制電壓；系統輸出y(k)為壓電傳感器的檢測電壓。

假設狀態反饋控制器為

其中：K為狀態反饋增益矩陣，使得閉環系統能夠滿足期望的性能。

將式（6）代入系統狀態方程，得到

對于式（5）的開環系統，開環傳遞函數的極點為系統矩陣A的特征值。當變成式（7）的閉環形式，狀態矩陣變成了（A?BK），因此通過配置反饋矩陣K可以使閉環系統的極點達到期望的狀態。

3.1 線性二次最優控制LQR

為了便于最優極點的選擇和狀態反饋矩陣的計算，引入LQR 來設計最優控制器。對于完全能控且能觀的系統，定義其二次性能泛函為

最優控制的目的是尋找最優輸入u（k），使得系統線性二次型性能泛函達到最小。

為了便于計算，取

其中：P滿足Riccati 方程

3.2 加權系數矩陣Q 和R 的選取

從線性二次型最優控制的控制原理可以發現，控制器的控制效果是否優良，關鍵在于設置合適的加權矩陣。如何確定矩陣參數目前還沒有特定的數值解決方案，只能根據經驗法或試湊法獲得具體矩陣中的數值。遺傳算法可以在指定的閾值內進行智能搜索并不斷優化，將其在線性二次型調節器設計中使用，實現對加權矩陣的優化設計，以便于縮短控制器的設計時間和增強控制器的控制性能。遺傳算法優化設計LQR 控制器示意圖如圖5 所示。

從線性二次型性能指標可以看出，系統的振動能量越小，表明柔性臂的控制效果越好；控制能量越小，則表明輸出的控制量越小。因此，優化的目標函數可以表示為

圖5 遺傳算法優化設計LQR 控制器示意圖Fig.5 Optimum design of LQR controller by genetic algorithms

對于加權矩陣Q，R，設定其值為其中：Q為對角陣，取值大小反應了不同的控制效果；q1=0.78；q2=0.004；R為單位 對角陣。

3.3 加權系數優化結果

遺傳算法尋優過程中參數設置如表2 所示。

表2 遺傳算法參數設置Fig.2 Parameter setting of genetic algorithms

圖6 為平均適應度的遺傳進化過程，顯示了基于遺傳算法的LQR 參數的最優值搜索過程?？梢钥闯觯斶M化代數進行到第50 代以后，種群個體之間的平均距離明顯變小，進化結果收斂到了最優值。對最優的染色體串進行解碼，可得到最佳的Q，R矩陣，進而得到最優控制的增益反饋矩陣K。

圖6 平均適應度的遺傳進化過程Fig.6 Evolution process of the mean fitness

4 實驗驗證

為了驗證優化參數后LQR 控制器具有良好的性能，針對壓電柔性臂的振動主動控制設計了模糊邏輯控制器。其基本工作原理是：將測量得到的狀態輸入量通過模糊化的方式轉化成可以用語言描述的模糊量，通過制定模糊規則，模糊推理轉化成為模糊輸出值，再通過清晰化接口將模糊輸出值轉化為能夠用來進行實際控制的精確值。

圖7 為控制前后應變輸出電壓信號，給出了在10 s 停止施加激勵后，利用所設計的控制器對柔性臂振動進行抑制響應實驗曲線?？梢钥闯觯悍謩e施加線性二次型最優控制和模糊控制6 s 后，柔性臂的振動幅度分別下降到±0.05 V 和±0.1 V；而如果不施加控制，在6 s 的時候柔性臂的振動為±1.3 V。

圖7 控制前后應變輸出電壓信號Fig.7 Experimental result of sensor output with control

圖8 為控制前后對應輸出的頻域曲線?？梢钥闯?，施加線性二次型最優控制和模糊控制后，在一階振動頻率處柔性臂的振動得到了很好抑制，大大降低了柔性臂振動的衰減時間，且線性二次型最優控制相較于模糊控制具有較好的控制效果。

圖8 控制前后對應輸出的頻域曲線Fig.8 Experimental result of sensor output with control in frequency domain

柔性臂在受持續正弦激勵的作用下，利用所設計的控制器對柔性臂的振動進行抑制響應實驗。圖9 為控制前后應變輸出電壓信號曲線。

圖9 控制前后應變輸出電壓信號Fig.9 Experimental result of sensor output with control

由時域曲線可知，柔性臂的振幅逐漸增大，并做幅值為±2.5 V 的等幅振動，在10 s 時分別施加線性二次型最優控制和模糊控制后，柔性臂的振動幅度下降到±0.1 V 和±0.2 V。圖10 為控制前后對應輸出的頻域曲線?？梢钥闯?，在一階模態頻率處柔性臂的振幅得到了較好抑制，且線性二次型最優控制相較于模糊控制具有較好的控制效果。

圖10 控制前后對應輸出的頻域曲線Fig.10 Experimental result of sensor output with control in frequency domain

5 結 論

1）從系統辨識的角度研究了壓電柔性臂的建模問題，采用實驗辨識方法對壓電柔性臂系統的傳遞函數進行辨識。為了定量對比辨識的結果和實際輸出的匹配程度，引入了模型匹配度指標函數。結果表明，辨識得到的系統傳遞函數輸出結果與實際結構響應的匹配度為95.22%。

2）基于控制理論和優化算法，引入線性二次型最優控制，將最優控制與遺傳算法結合，針對加權矩陣難以解析的關鍵問題，將遺傳算法應用于控制器的設計中，實施了加權矩陣的優化設計。為了對比優化參數下控制器的有效性，設計了模糊邏輯控制器。

3）開展了壓電柔性臂在自由衰減和持續激勵情況下的振動主動控制實驗研究。實驗結果表明，2 種控制算法對柔性臂的振動均有較好的抑制效果，且基于遺傳算法的線性二次型最優控制效果更好。該方法可應用于其他柔性構件，對于柔性構件的系統辨識和振動抑制提供了一些借鑒和嘗試。