“失望”與“后悔”情緒下的投資組合選擇研究

王宗潤,何瑭瑭

(中南大學商學院,湖南長沙410083)

1 引言

在投資決策領域,投資組合選擇理論扮演著舉足輕重的角色,因其可提供合適的投資比例使得構建的最優組合能滿足投資者需求.其中,Markowitz[1]于1952年提出的均值方差模型帶來的影響最為廣泛和深遠,該方法基于投資者完全理性的假設,認為投資的目標是達到收益最大化及方差最小化的平衡.但實際上,投資者作為非完全理性的個體,投資時會產生各種情緒[2],諸如后悔、失望等,從而影響其對組合收益的判斷.因此,在構建投資組合模型時,將投資者的此類情緒加以考慮更符合投資心理,也更具實際意義.鑒于此,本文將后悔和失望引入投資組合選擇模型,為投資者提供參考.

同是獲得500 元,如果一個人的期望是200 元,那么此人感受表現為積極;反之,如果期望為1 000 元,那么此人感受表現為消極,該消極心理即稱作“失望”.失望理論最早由Bell[3]提出,以固定參考點為標準,當結果大于該標準時,決策者感到滿意,反之,產生失望的情緒.學者們在失望理論對決策行為影響方面的探索碩果累累.其中理論應用上,Cillo 等[4]將失望理論模型與精神病學的實證研究相結合,進一步闡明強迫癥患者在風險下的決策.結果表明強迫癥患者對風險的敏感度低于健康對照組,也更少出于避免失望的目的進行決策.Cheung 等[5]拓展了三個失望模型,在各種失望理論框架下研究最優保險問題,證明在涉及的失望模型下,雖然目標函數不同,但流行的單層保險賠償仍然最優.Cao 等[6]結合報童的參照依賴、失望厭惡、滿意尋求心理求解報童問題,提供了刻畫三種行為的效用函數.研究結果表明,訂單量隨參照依賴參數和失望厭惡參數的增加而減小.Graves 等[7]以失望理論為指標,測量過度自信對風險投資的影響.基于實證數據構造確定性和隨機性模型,發現大多數風險投資家會經歷巨大的失望.國內關于失望理論的應用較少.于超等[8]將其用于服務要素優化配置問題中的顧客感知效用描述,給出具體的效用優化模型和求解實例.李銘洋等[9,10]則將其用于雙邊匹配決策,借此建立穩定匹配約束,從而得到更符合實際的匹配結果.理論發展上:Gul[11]對阿萊悖論提供了直觀解釋,提出將彩票分解成關于確定等值的失望和滿意部分,并且分析了失望厭惡和風險厭惡的關系.Delqui′e 等[12]更新失望理論的參考點,考慮各個結果間的彼此偏差對決策者造成的心理影響,使每個可能結果都成為參照點.

雖然上述文獻對失望理論的發展已經起到了很大的推動作用,但很少有學者著重于分析其在投資組合方面的影響.借助失望理論的研究成果,考慮投資者在投資過程中的失望情緒,從而構造組合優化模型成為本文研究的重點之一.如上所述,隨著失望理論的發展,失望模型也在眾學者筆下呈現不同的姿態.因此,建立優化模型時,對于失望模型的選取就顯得尤為重要.

失望理論的一個關鍵點在于,以何為標準定義“失望”.在Delqui′e 等[12]以前,學者們大都采用單一的、預設的期望水平為衡量基準.當然,此預設水平可以用結果均值或主體目標表示.但值得思考的是,類似均值的指標難以被決策者準確感知,它只是抽象出的統計量.作為投資者失望情緒的觸發點,其表達過于“隱晦”.至于投資者的目標水平,只有在投資者對自身境況和需求十分明晰的前提下,它才能用以失望情緒的界定.事實上,風險選擇中的每個可能結果都會影響決策者對該選擇的判斷.Ord′o~nez 等[13]用薪資的滿意度和公平度評估實驗說明了這一點.因此,文獻[12]的失望模型相較其他失望模型在情緒判定標準上更具普適性,故本文將其作為模型構建的一部分.

失望模型中用以描述決策者主觀收益值的函數,學者們大多采用前景理論等[14]中的價值函數或簡單線性函數,林祥亮等[15]深入研究了前景理論中的投資組合選擇問題,本文則引入近來Schneider 等[16]提出的目標調整效用函數(target-adjusted utility function,TAU).TAU 在選擇集中各個選擇可能達到的最低收益里取最大值作為內生標準,以此衡量各收益結果的主觀價值.TAU 模型可以對累積前景理論(cumulative prospect theory,CPT)無法解釋的阿萊悖論尺度依賴性作出解釋.同時,Schneider 等整理以往文獻中的實驗數據發現,TAU 能正確預測一些CPT 無法吻合的實驗結果.因此,將TAU 函數融入失望模型,以求建立更貼切描述投資者行為的組合優化模型也成為本文的一種嘗試.

投資者會因風險資產的可能收益結果間的差異產生失望情緒,但另一方面,由于市場的不確定性或投資者對市場分析的時間周期差異,風險資產的收益在不同情境下具有不同的變化范圍.當面臨不確定性情境時,投資者會選擇一個穩妥的方案,該方案在諸情境下都有較優的表現.曹兵兵等[17]通過國泰君安大智慧軟件等分析工具,以不同的市場狀態作為不同的情境,預測出各情境下資產的期末價格.Xidonas 等[18]以不同的時間周期作為不同的情境,描述各資產的可能收益狀況.考慮到實際中,大多投資者會根據資產在一定時間內的變化情況來判斷該資產的表現,本文以不同的時間周期為不同的情境,表示投資者的長短期視角.

當某情境發生時,投資者之前如果沒有選擇該情境下的最優方案,就會因收益低于本可達到的最佳值而產生“后悔”情緒.后悔值指在某一特定發生情境下,所用方案得到的收益結果與最優方案得到的收益結果的差值.上文涉及的“穩妥方案”的實質就是最大程度避免后悔情緒的方案.在決策理論中,可以通過最小化最大后悔值的方法進行不確定性決策[12].運用最小最大后悔值準則進行決策的文獻層出不窮.Ma 等[20]分析安全博弈中局中人的后悔情緒與損失態度,借助最小最大后悔值準則得到安全資源分配方案.Moreira 等[21]將最小最大后悔值準則用于不確定性下柔性電網規劃模型的構建.動態定價領域也不乏學者對后悔情緒的重視[22].國內學者在應急救災網絡[23]、供應鏈網絡[24,25]等魯棒優化模型中考慮最小最大后悔值準則.但在投資組合選擇領域,對最小最大后悔值準則的研究還相對缺乏.本文在失望模型基礎上,將“后悔”同時納入組合優化模型,以此刻畫尋求穩妥方案的投資者的行為.

綜上所述,目前在投資組合選擇模型中有待開拓的方面有:1)用更貼切的價值函數描繪投資者感知收益.2)兼顧投資者的失望與后悔情緒,將二者統一到一個框架.3)針對該統一框架下的模型設計恰當的算法.因此,本文充分考慮投資者的失望與后悔情緒,基于失望理論與最小最大后悔值準則,建立組合選擇模型,并設計相應的算法求解.本文將TAU 模型用于投資組合優化問題的主體行為刻畫,在失望理論和最小最大后悔值準則的幫助下同時考慮投資決策中的失望和后悔情緒,針對本文建立的失望–后悔模型,設計了合理的粒子群算法.此外,通過實證研究,本文對所建模型與兩種經典模型的特點進行了比較分析.

2 投資組合模型構建

2.1 失望理論

最初的失望理論認為,決策者在決策前有一個預先的收益目標,當結果大于該標準時,決策者感到滿意,反之,產生失望的情緒.實際中,投資者會將每一項選擇的各個可能結果進行比較,從而形成多參照而非單一參照依賴.鑒于此,Delqui′e 等[12]將失望理論拓展,考慮各個結果間的彼此偏差對決策者造成的心理影響,使每個可能結果都成為參考點.設某風險選擇的可能收益結果為X=(x1,p1;x2,p2;...;xT,pT),其中xk為收益,pk為相應概率,滿足x1≥x2≥···≥xT.價值風險模型如下

簡記為V(X)=M(X)-Δ(X).H(·)為定義于非負區間的失望–滿意函數,刻畫決策者對可能結果彼此間偏差的認知情緒.

設投資者把財富投資于N個風險資產,投資比例向量為w=(w1,w2,...,wN),wi表示資產i的投資比例.資產i的歷史收益序列為{xij,j=1,2,...,T},以此作為各資產的眾多可能收益結果.當然,資產的收益序列也可通過模擬預測的方式獲得,但本文直接以歷史收益作為組合優化的數據對象[26].概率pj=pk=1/T.投資組合的價值函數M(·)與風險函數Δ(·)可表示如下

其中v(·)為增函數,描述決策者對收益結果的主觀價值.根據Cillo 等[27],本文使用H(z)=z+e-mz-1,0 ≤m≤1.對于v(·)函數的選取,本文采用Schneide 等[16]提出的TAU 函數形式如下,

TAU 模型將參照點r視為目標,因而α,β ＞1 表示回報與目標偏差越大,投資者心理感知程度越大;α ＜β表示對回報高于目標的感知程度小于對回報低于目標的感知程度.本文運用Schneide 等[16]的參數設置,k=1,α=1.3,β=1.75.TAU 模型確定參照點r的方法為:在選擇集中各個選擇可能達到的最低收益里取最大值.此內生參照點的好處在于可以隨選擇集自動調整.面對不同的選擇集,投資者的心理感受不同,從而造成參照點的動態變化,更符合實際.

在投資決策時,考慮投資者會因組合在不同可能結果間的差異而產生“失望”情緒.此外,實際問題中,投資者通常會給資產設定權重范圍,并且規定資產種類的上限.綜上,用TAU 函數刻畫投資者主觀收益,先借助失望理論構建投資組合模型

其中式(6)使各資產權重和為1,式(7)給出資產權重的取值范圍,式(8)限制投資資產種類,資產i被選中時,ξi為1,反之為0.

以上述失望理論為基本架構,構建最小最大后悔值的投資組合選擇模型.

2.2 最小最大后悔值準則

最小最大后悔值準則在決策領域發揮著舉足輕重的作用.旨在各方案面臨不同情境的最大損失中,選擇機會損失最小的方案.表1 列出各方案在各情境下的取值以及后悔值.如A 在各情境下的取值依次是2/4/6.情境S1 中,最優值是4,故A 的后悔值為2,同理,情境S2 下后悔值是3.各方案的最大后悔值依次是3/5/2.依據最小最大后悔值準則,最優方案為C.

表1 不同方案在不同情境下的收益及后悔值Table 1 Outcomes and regret values of different solutions under different situations

根據Kouvelis 等[28]給出的最小最大后悔值的數學規劃形式,將其變形得

其中y是表達相對后悔程度的變量,fs為情境s下優化問題的目標函數,θs為情境s下目標函數的最優值.若決策問題面臨4 種情境,則有4 個不等式約束條件.為保持風險與價值量綱的一致性,且fs始終為正值,引入價值權重a及風險權重b,式(5)中的目標函數變換為

其中a+b=1,0 ≤a,b≤1.mins(M),maxs(M)分別表示情境s下投資組合價值函數目標的最小、最大值,mins(Δ),maxs(Δ)分別表示情境s下投資組合風險函數目標的最小、最大值.Ms(w),Δs(w)分別表示情境s下投資組合的價值函數和風險函數.

結合失望情緒下的投資組合模型,考慮投資者在面臨不確定性情境時,選擇最穩定、相對折中的策略,減少自己因選擇失誤而產生的“后悔”,構建同時考慮“失望”與“后悔”情緒下的投資組合模型如下

3 粒子群算法

針對模型(13),設計一種改進的粒子群算法,提高求解質量和效率.粒子群算法[29]是一種模擬鳥群捕食過程的全局優化算法,算法本身簡潔易懂,但原始算法存在易早熟收斂的弊端.結合本文的具體問題,給出適當的變異操作.

粒子表示:將每個粒子的位置賦值為W=(w1,w2,...,wN,y),前N項為資產權重,第N+1 項為相對后悔程度.速度賦值為Q=(q1,q2,...,qN+1),以此表示粒子的更新距離.

約束控制:對于約束條件(6),考慮三種處理方法:1)直接丟棄不可行方案.2)將粒子的各資產權重求和,再用各資產權重除以該總和,即進行歸一化處理.3)各資產權重以依次加入的方式確定,設定權重和達到1的臨界資產A 的權重為,之后的資產權重為0.對于約束條件(8),有兩種可選方法:1)直接丟棄不可行方案.2)當非零資產種類超過K時,隨機選擇一定種類資產,令其權重為0,以將投資資產種類限定在K以內.由于本文同時考慮約束條件式(6)～式(8),故在約束操作時,先將資產數量控制在K以內,再將權重歸一化.如果有資產權重ws小于約束限制l,則將其權重設為0,并將ws均分給其它權重不小于l的資產;如果有資產權重wb大于約束限制u,則將其權重設為u,并將wb-u均分給其他權重小于u的非零資產.對于約束條件(11),采用罰函數法,將模型(13)中的目標變為

λ取足夠大的正數,選擇105,Ps為式(10)中不等式約束左項.

更新:每次迭代,粒子通過兩個標準實現更新:其一是粒子本身所找到的最優解;其二是粒子群中所有粒子在歷代搜索中尋覓的最優解.迭代過程中若粒子位置和速度超出范圍則取界限值.粒子位置和速度更新如下

變異:將每次迭代時各粒子的適應值排序,指定連續τ次適應值最低的個體,將該個體作為變異對象,根據更新粒子位置,表示服從標準正態分布的隨機變量.或者指定連續τ次適應值排序位于某個范圍的一個或多個個體作為變異對象.

給出算法的大致步驟如下:

步驟1初始化:設定粒子種群數量,隨機或直接給定各粒子的位置和速度,指定迭代次數.

步驟2約束控制:按上文方法對粒子實施操作.

步驟3方案評價:依據粒子的位置計算失望–后悔模型的目標值,即式(14),值越小粒子越優.

步驟4更新及變異:根據式(15)和式(16)改變粒子的速度和位置,檢查有無需要變異的個體,如有則進行變異,如無則照常更新.

步驟5算法終止:依據指定迭代次數判斷終止與否,是則輸出最優解,否則返回步驟2.

4 實證研究

本文的特點在于在采用TAU 函數的基礎上,同時考慮了投資者的失望情緒及后悔情緒.實證部分先研究納入失望理論后的組合特點,再討論綜合最小最大后悔值準則后模型的優越性.

4.1 數據選取

首先將滬深300 指數中的成分股代碼以向量的形式記錄,再利用MTLAB 中的Randi 函數產生偽隨機整數,并以此作為成分股位置索引.隨機得到滬深300 指數中來自各個行業的股票18 支,選取這18 支股票在2010年3月至2018年6月,共計100 個月的月度收益率.對于模型中的各情境收益選擇,一方面,如Zhou-Kangas 等[30]在投資組合優化中所描述,投資者計劃投資時可能考慮短、中、長期數據,因為著眼于長期投資的投資者可能在中途退出,而短期投資計劃也可能最終變更為長期.另一方面,就投資者本身而言,有的投資者習慣參考近期數據,有的投資者傾向于綜合考慮更早期的歷史.因此,本文依據時間長短設定不同情境,以此刻畫投資者的長短期視角.具體而言,從2018年6月起,分別以前10 個月(S1)、前40 個月(S2)、前70 個月(S3)和前100 個月(S4)的收益序列作為一個情境,共計4 個情境,表示風險資產在長期和短期的收益變化狀況.收益率描述性統計見表2.

表2 不同情境下各股收益率描述性統計Table 2 Descriptive statistics for 18 stocks’return rates under different situations

4.2 實證分析

均值方差模型作為十分經典的組合優化模型,具有普遍的適用性[31].而均值半方差模型由于只將低于預期收益的部分視作風險,更符合投資者心理[32].為比較這兩個模型與本文涉及的模型的區別,找出在運用TAU 函數描述主觀收益的前提下,均值半方差(MT-SV)模型、均值方差(MT-V)模型和均值失望(MT-Δ)模型所形成最優組合的特點差異.注意,為便于比較,在此并不限定投資資產種類數量上限K.

MT-V 模型

MT-SV 模型

MT-Δ 模型

模型(17)～模型(19)表示投資者在決策時的根本目標是,主觀價值一定時,最小化風險.σil表示資產i,l主觀收益的協方差,δil為資產的協半方差.H(·)函數中的參數m設為0.8.先根據式(20)和式(21)算出MT的取值范圍,再根據取值范圍選定區間[0.055,0.070],在此區間均勻選擇16 個MT 值,得到三種模型下的16個最優組合.采用S4,即2010年3月至2018年6月的數據,組合的分布特征如圖1 和圖2所示.

圖2 MT-V,MT-Δ 及MT-SV 模型下最優組合的TAU 偏度Fig.2 TAU value-skewness of the optimal portfolios with MT-V,MT-Δ and MT-SV

標準差反映了投資組合收益的波動大小,體現所建立組合的不穩定性.均值方差模型將此不穩定性作為投資風險的衡量指標,是投資者力圖減小的.前人的研究結果表明,均值方差模型的收益率–標準差曲線,也稱為有效前沿,居于均值半方差模型的左邊.從圖1 可知,與有效前沿概念類似,TAU 函數下的價值風險曲線也呈現相似形狀.表示在相同主觀價值下,MT-SV 模型決策者對風險更為敏感.MT-Δ 模型的標準差居于兩者中間,是因為該模型雖然也注重下側風險,但與MT-SV 模型以單一期望收益率為標準判定下側風險不同的是,MT-Δ 以可能的收益結果為參照點,將彼此偏差作為風險.

圖1 MT-V,MT-Δ 及MT-SV 模型下最優組合的TAU 標準差Fig.1 TAU value-standard deviation of the optimal portfolios with MT-V,MT-Δ and MT-SV

當組合收益大多數據處于均值左側,并且右側呈現長尾形態時,稱為右偏分布.偏度越大,說明投資組合越有能力獲得高收益.越來越多的文獻表明偏度在投資決策中扮演著重要的角色,并將其納入優化目標,構建組合模型[33-36].Mitton 等[37]發現投資者為更高的偏度而犧牲均值方差有效性.Jouini 等[38]指出更強烈的期待感會增多正偏資產的投入.鑒于此,繪出最優組合的TAU 價值–偏度曲線,體現投資組合給投資者帶來高價值感的能力的情況.如圖2所示,隨TAU 價值的增加,三種模型下的偏度都呈現先減小后增大的趨勢.當變換m值時,MT-Δ 曲線與圖1 和圖2 極相似,略向左移或右移,但仍居另兩條曲線之間.事實上,MT-V模型雖然控制標準差能力最好,但這種控制帶來的負面影響是扼殺了具有上行價值潛力的投資組合,因為它將資產價值的正偏移也視作風險.而MT-SV 模型雖然控制標準差的能力最弱,但其支持了具有上行價值潛力的組合,因為負偏移的資產價值才屬于它的控制范圍.相比兩者,由于本文提出的MT-Δ 模型不直接以資產收益本身的好壞為風險衡量標準,故而在上行價值潛力資產的參與上沒有二者極端.由此看來,基于失望理論的MT-Δ 模型在組合穩定性和組合潛力間能取得較好的平衡,不至于顧此失彼.

接下來,分析單獨考慮失望理論及同時考慮后悔情緒的最優組合特點.權重上下限u,l分別設為0.9 和0.05,資產數量限制K為10,變異參數τ定為5,迭代次數設為500,運行10 次,取其中的最優值.單獨考慮失望理論時,表3 列出不同組合價值權重a及不同H(·)參數m下,各情境最優組合的股票種類數量.

表3 不同m 及a 下,基于失望理論的各情境最優組合股票數量統計情況Table 3 Stock numbers of optimal portfolios based on disappointment theory under different situations with different m and a

表3 中0.4,0.5 與0.6 為a的取值,反映投資者對價值的偏好程度,越大則說明投資者越重視價值而不重視風險.m體現投資者對風險的敏感程度,越小越敏感.m相同時,股票數量隨a增大而減少,這是因為投資者更在意價值時,會將更多的權重放于具有更大價值的少量資產上,更少考慮風險分散問題.a相同時,股票數量隨m減小而增多,與上同理,投資者對風險越敏感,越持分散組合.

兼顧“失望”與“后悔”情緒,求得不同參數下最小最大后悔值最優組合,這種最優組合在面臨四種情境時都能表現出較好的價值風險,因而具有穩定性.股票數量統計見表4.

表4 不同m 及a 下,考慮失望及后悔情緒的最優組合股票數量統計情況Table 4 Stock numbers of optimal portfolios considering both“disappointment”and“regret”with different m and a

從表4 看來,與四個單獨情境相比,加入最小最大后悔值準則的最優組合的股票數量居中,反映出其風險分散性.目標函數值ΘRV體現了相對后悔程度,越小則說明方案越穩定.m相同時,ΘRV隨a減小而減小,說明減少對價值的追求會促進組合的穩定.a相同時,除個別值外,總體而言,ΘRV隨m減小而增大,意味著投資者對失望情緒越敏感,組合越不穩定.圖3 給出當m為0.2 時,不同a值下,算法迭代過程收斂圖.由圖3 可見,該算法能較好求解本文的模型,隨著迭代次數的增加,ΘRV逐漸減小并漸趨穩定,體現算法的有效性.

圖3 m=0.2 時,粒子群算法迭代曲線Fig.3 Iteration curves of particle swarm optimization algorithm with m=0.2

5 結束語

提出的均值方差模型在完全理性人的假設下為投資組合的選擇創造了規范且簡易的標準,而行為金融從實際出發,結合心理學的知識正在開辟一片屬于有限理性人的沃土.本文借助已有的行為理論工具,結合投資組合問題中的實際約束,建立了失望–后悔投資組合選擇模型,并設計了相應的算法求解.實證研究結果表明本文提出的模型相較均值方差及均值半方差模型而言,都有較為穩定的表現.此外,失望情緒會影響組合的穩定性,后悔情緒有助于調節組合的風險分散性.