RR-P5R型全球面工作空間解耦并聯機構誤差分析

于珊珊，李為民，楊先海

(1. 河北工業大學機械工程學院，天津300130； 2. 山東理工大學機械工程學院，山東淄博255000)

球面并聯機構是一種具有重要應用價值的并聯機構[1-3]。與傳統的串聯機構相比較，球面并聯機構的結構通常比較復雜，工作空間相對較小，且存在諸多不易計算的奇異位姿，對此，國內外學者展開了一系列的研究[4-6]。Tao等[7]開發了一種系統設計方法——最小干涉法(LIDeM)，可以減少機構鏈接之間的干涉，增大機構的工作空間。李寒冰等[8]設計了一種新型2PUS-2PRU并聯機構，可用于太陽追蹤裝置，并采用遺傳算法對工作空間和靈巧度進行綜合優化，優化后的工作空間在各方向上均明顯增大。趙瑞杰等[9]提出一種新型3-PPR球面并聯機構，得出了機構產生奇異位形的條件和奇異位形的類型，驗證了3-PPR機構不存在奇異位置，機構的工作空間無空洞，是完整的少半球面。王超群等[10]針對三自由度3-RRR球面并聯機構，基于四元數建立運動學模型，找到了機構碰撞干涉的條件，依據該條件對3-RRR機構進行優化設計，實現了完整的球面工作空間。

當前球面并聯機構工作空間的研究主要集中在對現有機構的優化分析，但針對球面解耦并聯機構工作空間最大化的研究仍比較少。面對當前科技發展對機構大工作空間的要求，如空間360°測量、空間定位定向、未知環境探測等，現有的球面解耦并聯機構已無法滿足大角域工作范圍的需求，因此對全球面工作空間并聯機構的研究顯得尤為重要。

針對現有二自由度球面解耦并聯機構工作空間不足的問題，本文中提出一種新型二自由度RR-P5R型球面解耦并聯機構，以實現完整的球面工作空間，對該機構進行誤差分析，為RR-P5R型機構的參數設計、控制以及誤差補償提供參考數據。

1 新型運動支鏈

圖1所示為RR-PRR型球面解耦并聯機構[11]，動平臺通過轉動支鏈和直線輸入支鏈與靜平臺相連。轉動支鏈由轉動副R1、R2組成，轉動副R1的軸線為Y軸，轉動副R2的軸線為X軸，軸線Y軸與X軸是正交的；直線輸入支鏈由移動副P和轉動副R3、R4組成。只有當直線輸入支鏈中移動副P的輸入方向平行于轉動支鏈中轉動副R1的軸線時才能實現機構的運動解耦。

RR-PRR型球面解耦并聯機構轉動支鏈輸出角θ1的范圍為[0°,360°]； 但是，由于摩擦圓的原因，直線輸入支鏈控制的輸出角θ2的范圍區間總是包含于[0°,180°]，通過運動耦合后，機構的工作空間并不是完整的球面，因此，如何使直線輸入支鏈控制的輸出角θ2的范圍區間包含[0°,180°]，成為全球面工作空間解耦并聯機構構型研究需要解決的關鍵技術問題。

雙搖桿機構的輸入與輸出具有以下特點：如果主動搖桿為最長桿件，則從動桿件的極限擺角大于主動搖桿的；如果從動搖桿為最長桿件，則主動桿件的極限擺角大于從動搖桿的。

結合雙搖桿機構輸入與輸出之間存在差異化的特性，找到了使直線輸入支鏈控制的輸出角能夠達到180°的解決方法。以雙搖桿機構的長桿作為直線輸入支鏈的輸入，雙搖桿機構的短桿作為直線輸入支鏈的輸出，使輸出角極限大于180°，而輸入角極限小于180°。根據二自由度球面解耦并聯機構直線輸入支鏈的構型要求，輸入形式必須為直線輸入，輸出形式必須為轉動輸出，因此，可將雙搖桿機構進行變型，得到P5R型運動支鏈，如圖2所示。

R1、R2、R3、R4、R5、R6、R7—轉動副; P—移動副; e—偏置距離; Y、Z—坐標軸。圖2 P5R型運動支鏈

2 RR-P5R全球面解耦并聯機構

基于P5R型直線輸入支鏈，所設計的二自由度RR-P5R型全球面工作空間解耦并聯機構的三維模型如圖3所示。動平臺通過轉動支鏈和直線輸入支鏈與靜平臺相連，即：轉動支鏈由轉動副R1和轉動副R2組成，其旋轉軸線相互正交，根據組成該支鏈稱為RR運動支鏈；直線輸入支鏈由移動副P和轉動副R3、R4、R5、R6、R7組成，根據組成該支鏈稱為P5R型運動支鏈。兩者組成了RR-P5R型全球面工作空間解耦并聯機構。

R1、R2、R3、R4、R5、R6、R7—轉動副; θ1、θ2—輸出量。圖3 RR-P5R型全球面解耦并聯機構

轉動副R1由轉動電機驅動，移動副P由直線電機驅動。移動副P的移動軸線與轉動副R1的旋轉軸線重合，且移動副P通過結構設計可以實現與轉動副R1一同轉動，而直線電機不會與轉動副R1一同轉動，可以有效減小轉動電機的載荷。該機構的轉動支鏈的輸出角θ1的范圍為[0°,360°]，由直線輸入支鏈控制的輸出角θ2的范圍為[0°,180°]。RR-P5R型球面解耦并聯機構能夠實現完整的球面工作空間。

3 機構相鄰桿件間的變換矩陣

應用Denavit-Hartenberg(D-H)方法建立各構件的坐標系，如圖4所示。轉動副R1R2、R6R7、R3R4、R4R5之間的桿件依次標記為Link1、Link3、Link4、Link5。Link2為特殊形狀桿件，其余均為直連桿。Link1的長度為L6，高度為L0，Link2的偏置距離為e，Link3的長度為L5，Link4的長度為L3，Link5的長度為L2，動平臺的長度為L1，移動副P的位移量為P，θi(i=1,3,4,5,6,7,8)為繞Zi軸的相對轉角。

設定坐標系XYZ固定于靜平臺，原點位于靜平臺與轉動副R1的交點處； 坐標系XiYiZi(i=1,2,…,9)位于連桿上，各坐標系原點位于相應轉動副的軸心，桿長方向設定為X軸，轉動副軸線方向設定為Z軸，則根據右手螺旋準則可確定Y軸方向。

XiYiZi(i=1,2,…,9)—位于各轉動副的坐標系; θi(i=1,3,4,5,6,7,8)—繞Zi軸的相對轉角; Linki(i=1,2,…,5)—桿件。圖4 RR-P5R型機構坐標系

設空間中任意一點在X1Y1Z1中的坐標為U1=(x1,y1,z1)T，在XYZ中的坐標為U=[x,y,z]T，則

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Trans(0,-L0,0)Rot(z,θ8) ；

(9)

(10)

4 位姿誤差分析

機構精度是機構性能的重要指標。實際機構從動件的位置、速度、加速度與理想機構從動件對應運動參數之間的誤差，被稱為機械誤差[12-14]。雖然誤差不可避免，但可以無限縮小，誤差越小，機構的精度也就越高。研究機構精度，實際上就是研究機械誤差。

4.1 位姿誤差模型

結合上述桿件變化矩陣，采用環路增量法建立機構位姿誤差模型。為了簡化方程，c代表cos，s代表sin，c1表示cosθ1，s1表示sinθ1,以此類推。

(11)

(12)

δZ=dθ1+{dθ6c1[c5(c3c4s1+s1s3s4)-s5(c3s1s4-

(13)

dX=dL3(c1c3s4-c1c4s3)+dL2[c5(c1c3s4-c1c4s3)+

s5(c1s3s4+c1c3c4)]+dec1+L6dθ3c1+Pdθ3c1+c1c3

[(dL3s4)/2-L5dθ4+L3dθ4c4]-L3dθ5(c1s3s4+

c1c3c4)-c1s3[dL5-(dL3c4)/2+L3dθ4s4]-dL2dθ6·

[c5(c1s3s4+c1c3c4)-s5(c1c3s4-c1c4s3)]-

(14)

dY=dL3(c3s1s4-c4s1s3)+dL2[c5(c3s1s4-c4s1s3)+

s5(c3c4s1+s1s3s4)]+des1-L2dθ6[c5(c3c4s1+

s1s3s4)-s5(c3s1s4-c4s1s3)]+L6dθ3s1+dθ3Ps1+

c3s1[(dL3s4)/2-L5dθ4+L3dθ4c4]-L3dθ5(c3c4s1+

s1s3s4)-s1s3[dL5-(dL3c4)/2+L3dθ4s4]-

(15)

dZ=dL6+dP+dL2[c5(c3c4+s3s4)-s5(c3s4-c4s3)]-

dθ3e+dL3(c3c4+s3s4)+s3[(dL3s4)/2-L5dθ4+

L3dθ4c4]+c3[dL5-(dL3c4)/2+L3dθ4s4]+

L2dθ6[c5(c3s4-c4s3)+s5(c3c4+s3s4)]+

L3dθ5(c3s4-c4s3)+[dθ4c3(ec3+L6s3+Ps3)]/

(16)

式中δX、δY、δZ、dX、dY、dZ即為RR&P5R型全球面工作空間解耦并聯機構的位姿誤差模型。

4.2 速度誤差模型

RR-P5R型全球面工作空間解耦并聯機構桿件之間的變化矩陣Ai對時間t求導后為

(17)

(18)

令

(19)

式(18)可化簡為

(20)

已知

dAi=i-1ΔiAi，

(21)

式中i-1Δi為Linki在坐標系Xi-1、Yi-1、Zi-1中的誤差，則

(22)

同理，有

(23)

式中：Ti=A1,A2,…,Ai,i=1,2,…,6；Δ為位姿誤差。

因此

(24)

所以

(25)

化簡得

(26)

應用

(27)

4.3 加速度誤差模型

機構運動過程中末端產生的實際加速度與理想加速度之間的誤差，即為加速度誤差。

基于微分方程

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

以及

(34)

對式(22)求導，得

(35)

再對式(23)求導，得

(36)

則

(37)

5 結語

1)本文中針對現有二自由度球面解耦并聯機構在大角域球面工作空間需求中存在工作空間不足的問題，基于雙搖桿機構輸入輸出差異化特性，提出了一種新型P5R運動支鏈，該支鏈可用于構建二自由度全球面工作空間解耦并聯機構。

2)基于新型P5R運動支鏈，設計了一種二自由度RR-P5R型全球面工作空間解耦并聯機構。采用環路增量法對RR-P5R型球面解耦并聯機構進行了誤差分析，建立了機構相鄰桿件間的變換矩陣，建立了機構的位置、速度、加速度誤差模型。RR-P5R型機構的誤差分析為機構的參數設計、控制以及誤差補償提供了理論基礎。