如何確定機械做功時的總功和有用功

王博

機械效率是衡量機械性能的重要指標，也是學習其他效率的基礎，具有十分重要的現實意義。有用功、額外功和總功是學習機械效率的關鍵概念，讓學生分析一個物理情境中具體的做功情況，認識有用功、額外功和總功是教學中的一個難點。在實際教學中，我們往往以教材中利用滑輪組提升重物的實驗為基礎，通過數據分析，引導學生從做功的目的出發，使學生對這幾個功的含義有了比較明確的認識。但在解決實際問題時，學生卻往往不能正確書寫有用功和總功的表達式，或者不明確是哪個力做了有用功，哪個力做了總功。因此，在概念認識完畢之后，為幫助學生快速明確有用功和總功，筆者對幾種常見情形中如何求解有用功和總功做了以下歸納：

總功：借助機械時，完成全部任務的那個力所做的功。

有用功：不借助任何機械，用手直接完成任務，手對物體的作用力所做的功。

在書寫總功和有用功的表達式時，務必注意“功等于力乘以物體在這個力的方向上移動的距離”，故該距離應該是受力物體在這個力的方向上移動的距離。以下是利用該方法對幾個典型模型的具體分析：

類型一：利用滑輪組在空氣中沿豎直方向提升重物

（1）總功：如圖1甲所示，繩子自由端的拉力F完成了全部任務（提起了重物、動滑輪，克服了繩重和摩擦），則拉力F做的是總功。由于拉力F作用在繩子上，繩子在拉力F的方向上移動的距離為s，故總功書寫為W總=Fs。

（2）有用功：如圖1乙所示，不借助滑輪組，直接用手將物體提升高度h，手對物體的作用力F手的大小等于物體所受重力G的大小，物體在F手的方向上移動的距離為h，故有用功書寫為W有=F手h=Gh。

例題分析：如圖2所示，用滑輪組把質量為80 kg的物體勻速提升3 m，若拉力F=500 N，該滑輪組的有用功和總功是多少？

解析：人對繩子的拉力F完成了所有任務，做的是總功，W總=Fs。不借助滑輪組，直接用手將物體提升高度h，手對物體的作用力等于物體的重力，故有用功的大小等于克服物體重力所做的功。

解：

類型二：利用滑輪組在水中沿豎直方向提升重物

（1）總功：如圖3甲所示，繩子自由端的拉力F完成了全部任務，則拉力F做的是總功。該力作用在繩子上，繩子在拉力F的方向上移動的距離為s，故總功書寫為W總=Fs。

（2）有用功：如圖3乙所示，不借助滑輪組，直接用手將物體提升高度h，對物體進行受力分析，可知手對物體的作用力大小為F手=G-F浮，物體在F手的方向上移動的距離為h，故有用功書寫為W有=F手h=（G-F浮）h。

例題分析：如圖4是工人在岸邊打撈水中金屬塊的示意圖，每個滑輪重100 N，金屬塊的體積為0.01m3，重為800N。不計繩重和摩擦，忽略水對金屬塊的阻力，金屬塊一直勻速上升。求金屬塊在水中上升2 m，且未露出水面的過程中人所做的有用功和總功。（ρ水=1.0×103 kg/m3，g取10 N/kg）

解析：不借助滑輪組，用手將物體提升，手對物體作用力的大小為G-F浮，有用功為W有=（G-F浮）h。對整個裝置進行受力分析，有2F+F浮= G物+G動，則拉力F=（G物+G動-F浮）。拉力F完成了全部任務，做的是總功，W總=Fs=Fnh。

解：因為金屬塊浸沒在水中，所以V排=V金=0.01 m3

F浮=ρ水gV排=1.0×103 kg/m3×10 N/kg×0.01 m3=100 N

W有=（G物-F浮）h=（800 N-100 N）×2 m=1400 J

繩子自由端的拉力：F=（G物+G動-F浮）=×（800 N+100 N-100 N）=400 N

W總=Fs=Fnh=400 N×2×2 m=1600 J

類型三：利用滑輪組沿水平方向拉著物體做勻速直線運動

（1）總功：如圖5甲所示，繩子自由端的拉力F完成了全部任務，則拉力F做的是總功。該力作用在繩子上，繩子在拉力F的方向上移動的距離為s繩，故總功為W總=Fs繩。

（2）有用功：如圖5乙所示，不借助滑輪組，直接用手拉著物體沿水平方向移動距離s物，根據二力平衡知識，手對物體的作用力大小等于物體受到水平面摩擦力f的大小，物體在F手的方向上移動的距離為s物，故有用功書寫為W有=F手s物=fs物。

例題分析：如圖6所示，用F=50 N的拉力通過滑輪組拉重為300 N的物體，使其向左勻速運動，在這個過程中拉力F做功為40 J，已知物體受到水平地面的摩擦力為60 N，則（1）物體運動的距離為多少m？（2）該滑輪組的機械效率為多少？（忽略繩子和動滑輪的重力）

解析：拉力F完成了全部任務，做的是總功，由W總=Fs繩可求出繩子移動的距離，進而求出物體移動的距離。不借助滑輪組，直接用手拉著物體沿水平方向移動距離s物，手對物體的作用力大小等于物體受到水平面摩擦力f，有用功書寫為W有=fs物，利用η=W有/W總可求出機械效率。

類型四：利用斜面提升重物

（1）總功：如圖7甲所示，沿斜面向上的拉力F完成了全部任務，則拉力F做的是總功。該力作用在物體上，物體在F的方向上移動的距離為s，故總功書寫為W總=Fs。

（2）有用功：如圖7乙所示，不借助斜面，直接用手將物體提升高度h，無論物體的運動路徑如何，手對物體的作用力大小等于物體的重力，方向始終豎直向上，物體在F手的方向上移動的距離為h，故有用功書寫為W有=F手h=Gh。

例題分析：利用如圖8所示的裝置將重為100N的物體勻速從斜面底端拉到頂端，已知斜面長5m，高2m，拉力為F=50N，則該裝置的機械效率為多少？

解析：拉力F完成了所有任務，F做的功是總功。注意力F是作用在繩子上，故受力物體在力F的作用下移動的距離為繩子自由端移動的距離， S繩=2S物=2×5m=10m。直接用手將物體提升高度h=2m，手對物體的作用力等于物體的重力，故有用功的大小等于克服物體重力所做的功。