大跨度曲線斜拉橋地震動最不利入射角度研究

王 瑩

(西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031)

大跨度曲線斜拉橋地震動最不利入射角度研究

王 瑩

(西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031)

曲線斜拉橋是主梁沿線路走向呈曲線型布置的斜拉橋，由于其具有曲線形的主梁，從而在彎扭耦合效應下表現出空間耦聯性。這使得斜拉索的空間布置和受力復雜化，塔、梁、索三者組成的整體結構在動力作用下的受力狀態變得十分復雜。鑒于曲線斜拉橋的空間耦聯特性，在進行地震響應分析時，需要確定水平方向地震動的最不利入射角度，以獲得曲線斜拉橋在地震動作用下的最大響應量。文章基于Bresler屈服面函數，利用水平雙向反應譜法考慮了水平方向內兩個正交方向的地震動，并且基于振型組合的CQC法，推導了曲線斜拉橋地震動的最不利入射角度。以某座主跨285m的混凝土Π型主梁雙塔雙索面曲線斜拉橋為工程背景，采用有限元方法通過改變地震動的入射角度來得到結構地震響應量隨地震動入射角度變化的情況，驗證了該方法的正確性。結果表明：該方法能較好地確定地震動最不利入射角度；地震動入射角度對曲線斜拉橋的地震響應量有很大的影響，不能只對曲線斜拉橋用單一方向的地震動進行地震響應分析。

曲線斜拉橋； 最不利入射角度； 屈服面函數； 地震響應分析

對于直線型的橋梁，可以按照主梁的軸向和與軸向正交的兩個方向作為地震動的最不利輸入方向，但對于曲線形的橋梁，水平方向上的地震動需要按照一定的水平角度輸入到曲線橋梁結構，而入射角度不同則會得到不同的結構地震響應量，只有在某一特定的入射方向下，結構中某一構件的某一方向的位移或內力響應量才會達到最大值。通常情況下，我們最為關心的是曲線斜拉橋結構在反應譜分析時所得響應量的最大值，因此，在進行計算分析之前，須要確定水平方向地震動的最不利入射角度。

國內外對于地震動最不利入射方向的研究主要是基于輸入能量法和反應譜法兩種。Wilson等人在研究結構多維地震分析時首先給出了一種最不利地震動方向的確定方法[1]，但是該方法僅僅對單一陣型有效；Lopez等人在Wilson的研究基礎上提出了利用反應譜形狀來確定最不利入射方向的方法[2]；國內學者馮云田等人引入結構抗震主軸的概念[3]，利用結構最大變形能來確定地震動的最不利入射方向；范立礎等人引入了一個安全系數來改進了基于Bresler屈服面函數的最不利入射方向確定方法[4]；何曉宇等基于小波能量原理[5]，利用地震動有效輸入能量的標準對海洋平臺多維地震動最不利輸入方向進行了研究。

目前，對于確定地震動最不利入射角度進行最多的研究，主要基于Bresler所提出的屈服面函數，利用反應譜法構造出莫爾圓來進行求解。

但是，在基于屈服面函數的反應譜法推導最不利入射方向時，現有的研究大多數局限在水平單方向的地震輸入，并且在反應譜中進行模態振型組合時普遍采用了平方和開平方(SRSS)的方法。這樣所求得的最不利輸入方向，對于曲線斜拉橋來說顯然是不能適用的。

本文考慮到曲線斜拉橋的空間耦聯性，因此在進行推導時采用水平雙向地震動輸入；并且考慮到曲線斜拉橋屬于密頻結構，各個振型之間具有相關性，所以在進行反應譜振型組合的時候采用了CQC法。這樣推導出的水平雙向地震動的最不利入射方向對曲線斜拉橋來說是比較合適的。

1 Bresler屈服面函數

假設正交的x軸和y軸為結構構件某一個截面的兩個主軸方向，結構在不同方向的地震動輸入下，在x軸方向和y軸方向都會產生彎矩Mx和My，這兩個彎矩并不獨立而是相互作用[6]，任何單方向的彎矩達到最大值都不能作為判別截面達到最不利狀態的標準。Bresler所采用的屈服面函數形式為[7]：

(1)

式中：Mx和My分別為在x軸方向和y軸方向產生的彎矩；Mxu和Myu分別為單獨在x軸方向和y軸方向產生的截面屈服彎矩；a和b為隨截面形狀變化的系數，對于橢圓形截面和矩形截面，通常取系數a=b=2。

當結構處于線彈性狀態下工作時，式(1)變成：

(2)

設地震動的輸入方向為角度θ，則當在入射角度θ下所得到的彎矩Mx和My帶入式(2)之后，如果能夠使α(θ)取得最大值，則此時的角度θ就是地震動的最不利輸入方向。

2 最不利入射角度的推導

圖1 水平雙向地震動入射角度定義

當發生標量結構反應時[8]，如果僅輸入單向地震動S，則當S入射方向與X軸重合，即入射角度θ=0時，定義此時的結構響應量為RS0；當S入射方向與Y軸重合，即入射角度θ=90°時，定義此時的結構響應量為RS90。然后根據疊加原理，當角度θ為一任意值時，結構的標量地震反應可以用式(3)的形式來表示：

(3)

但是實際上，結構的響應量是矢量的形式。因此，當地震動S入射方向與X軸重合，即入射角度θ=0時，定義此時沿x軸的結構響應量為Rx,S0，沿y軸的結構響應量為Ry,S0；當S入射方向與Y軸重合，即入射角度θ=90°時，定義此時沿x軸的結構響應量為Rx,S90，沿y軸的結構響應量為Rx,S90。當地震動T作用在x軸上時，沿x軸的結構響應量為Rx,T0，沿y軸的結構響應量為Ry,T0；地震動T作用在y軸上時，沿x軸的結構響應量為Rx,T90，沿y軸的結構響應量為Ry,T90。各個響應量的表示情況見圖2。

圖2 水平雙向地震動響應量分解

因此根據疊加原理，在第i階模態振型下，結構構件的彎矩可以表示為：

(4)

(5)

(6)

(7)

考慮到曲線斜拉橋的空間耦聯性效應，振型組合方法采用CQC法，不同方向上的空間地震動組合采用SRSS法。利用CQC法組合振型可得：

(8)

(9)

(10)

(11)

利用SRSS法組合空間地震動效應可得：

(12)

(13)

由此，將式(12)和式(13)代入到Bresler屈服面函數的變形式(2)中可以得到：

=Acos2θ+Bsin2θ+Csin2θ

(14)

其中，

(15)

(16)

(17)

仿照材料力學[9]中對平面應力狀態下莫爾應力圓公式的推導方法，利用三角變換公式對式(14)進行分解，得到類似的莫爾圓，則當θ使得α(θ)取最大值時：

(18)

(19)

3 計算模型及動力特性分析

本文將以已建成的剛果(布)布拉柴維爾濱河大道曲線斜拉橋作為工程案例，進行曲線斜拉橋地震響應分析。該橋是采用GPZ盆式支座的豎向支撐體系(即半漂浮體系)的曲線斜拉橋。該曲線斜拉橋的總體跨徑布置為49 m+81 m+285 m+81 m+49 m=545 m，總體跨徑布置示意見圖3。

圖3 曲線斜拉橋跨徑布置示意(單位：m)

主梁布設雙向四車道，曲線梁起始點為中跨跨中，曲率半徑為550 m。主梁采用混凝土Π型雙邊主梁,主梁中心梁高2.3 m，橋寬22.0 m，頂面設置雙向2.5 %橫坡。主梁斷面橫向左右側不對稱，河側布設有人行道，河側橋寬12.25 m，城市側橋寬9.75 m。主梁標準節段長9 m，邊跨加密段梁段長6 m。標準斷面邊主梁底寬1.7 m，在輔助墩和主塔附近根據受力需要加寬至2.9 m。標準梁段主梁頂板厚28 cm，在輔助跨加厚至40 cm。拉索錨固位置處橫隔板板厚35 cm，橫隔板縱向間距為6.0 m 和9.0 m。索塔處橫隔板厚2.0 m，過渡墩、輔助墩處橫隔板厚2.5 m。

斜拉索采用扇形式布置，雙索面，在外側錨固。全橋設置60對斜拉索，標準索距為9 m、6 m。

索塔采用鉆石造型，包括塔座、下塔柱、中塔柱、上塔柱、3道索塔橫梁。南塔總高122.2 m，北塔總高119.7 m；其中上塔柱高40 m，中塔柱高57.2 m，下塔柱高17.5 m，塔座高3.5 m(南塔)、1.0 m(北塔)；塔柱為鋼筋混凝土構件，橫梁為預應力混凝土構件。

主梁的曲率是曲線斜拉橋的一個重要的結構參數，因此研究分析主梁曲率的改變對曲線斜拉橋的動力特性所產生的影響是十分必要的。本文中建立了具有不同曲率主梁的曲線斜拉橋有限元模型，對這些模型進行動力特性分析。本文分別研究分析了圓心角為0.1rad、0.3 rad、0.5 rad、0.7 rad、0.9 rad、1.0 rad的總共6種不同的曲線斜拉橋有限元模型的動力特性。

不同主梁圓心角模型前十階自振頻率見表1。

由圖 4可以看出，主梁圓心角的改變對于曲線斜拉橋的模態振型并沒有太大的影響。而通過對比曲線斜拉橋和直線斜拉橋的自振特性可以發現，曲線斜拉橋的彎曲振型和扭轉振型總是伴隨出現，彎扭耦合的現象較為明顯，主梁圓心角為0的直線斜拉橋則不存在這樣的情況。

主梁圓心角的改變引起了斜拉橋自振頻率的變化，對于不同的振型階次，影響規律不同。一般情況下，在進行動力特性分析時，通常主要關注曲線斜拉橋的主梁縱飄、對稱豎彎、反對稱豎彎和扭轉振型。將以上振型的頻率進行對比分析，各主要振型頻率不同工況之間的對比見圖5。

表1 不同主梁圓心角模型前十階自振頻率 Hz

圖4 不同圓心角曲線斜拉橋自振頻率

通過比較各個不同主梁圓心角有限元模型的主要振型頻率，發現各個主要振型的頻率隨著主梁圓心角的變化而呈現出規律性：主梁縱飄頻率隨圓心角的增大而變大，說明主梁的縱橋向剛度隨著主梁圓心角的增大而變大；主梁正對稱豎彎頻率和主梁反對稱豎彎頻率隨主梁圓心角的增大而變小，說明主梁的豎向剛度隨著主梁圓心角的增大而變小；主梁的扭轉頻率隨著主梁圓心角的增大而變大，說明曲線斜拉橋在地震作用下，隨著主梁圓心角的增大，在主梁內會產生越來越大的扭矩，使曲線形主梁在地震作用下的受力變得非常復雜。

并且，主梁的側向彎曲頻率隨著主梁圓心角的增大而呈現出逐漸變大的趨勢，這說明隨著圓心角的增大，曲線斜拉橋主梁的徑向剛度也會隨之變大。

4 基于最不利入射角地震響應分析

4.1 最不利入射角度的確定

以直線段主梁的軸向為X軸，垂直方向為Y軸建立整體坐標系。水平雙向地震動輸入角度從沿逆時針繞X軸0°至180°，每隔10°進行一次計算分析，按入射角度不同總共劃分為19個工況。這樣就可以得到曲線斜拉橋結構地震響應量的最大值隨地震動輸入角度的改變而變化的規律，根據計算所得出的規律就可以確定地震動的最不利輸入方向，并且此時的結構響應量最大值就是曲線斜拉橋的最不利地震響應。

圖5 主梁圓心角對主要振型頻率的影響

曲線斜拉橋各構件的屈服面函數α(θ)，以及主要構件的內力，隨著地震動輸入角度的改變而變化的情況見圖6～圖8。

圖6為主梁內力響應的最大值隨著地震動輸入角度變化而變化的規律。由圖中可以看出，主梁的軸力、剪力、彎矩和扭矩隨著輸入角度的變化而呈現出正弦函數的變化規律，從0～180°的范圍內，處于波峰位置的橫坐標為50°和140°，這是因為所施加的水平地震動是處在兩個正交方向上，因此，50°和140°兩個作用方向可以視為相同，所以可以確定對主梁最不利的輸入方向為繞整體坐標系X軸逆時針50°的方向。

圖6 不同入射角主梁最大內力響應對比

圖7 不同入射角塔底及墩底最大彎矩

圖8 屈服面函數值

主塔、輔助墩和過渡墩的塔底和墩底彎矩的最大值以及屈服面函數值，隨著地震動輸入角度變化而變化的規律。由圖中可以看出，塔底和墩底的總彎矩值以及屈服面函數值均在地震動輸入方向為50°和140°的情況下，達到最大。這是因為所施加的水平地震動是處在兩個正交方向上，因此，50°和140°兩個作用方向可以視為相同，所以可以確定對主塔、輔助墩和過渡墩最不利的輸入方向為繞整體坐標系X軸逆時針50°的方向。

4.2 計算結果對比分析

本文以水平雙向地震動+0.65豎向地震動來進行地震動輸入，水平方向上分別按照整體坐標系X-Y兩個正交方向和按照最不利角度輸入進行響應結果的分析對比。

從圖 9和表2、表3可以看出，以最不利角度輸入地震動得到的結構響應量，會比簡單沿坐標軸輸入所得到的結構響應量增大百分之十幾到百分之四十幾不等。總體看來，直線段處的塔底和墩底彎矩無論是徑向彎矩還是切向彎矩的增大的百分率都要比曲線段處的主塔和輔助墩大。

圖9 塔底彎矩增大率

入射方向/°軸力/kN剪力/kN扭矩/(kN·m)彎矩/(kN·m)沿整體坐標軸13362.29741.28677282956.9717357992.295433沿最不利角度14243.2794.72613183202.8643858570.976951差值百分率/%6.597.218.327.24

5 結論

通過對曲線斜拉橋地震動最不利入射角度的推導，并建立有限元模型進行數值計算分析，可以得出以下結論：

(1)通過對比分析不同圓心角模型的動力特性發現：主梁的縱橋向剛度隨著主梁圓心角的增大而變大，豎向剛度隨著主梁圓心角的增大而變小。主梁的側向彎曲頻率隨著主梁圓心角的增大而呈現出逐漸變大的趨勢，這說明隨著圓心角的增大，曲線斜拉橋主梁的徑向剛度也會隨之變大。

(2)文中所提出的推到方法能夠比較準確地計算出曲線斜拉橋的地震動最不利入射方向。

(3)通過對比分析按照最不利入射角度輸入地震動分析和按照整體坐標軸方向輸入地震動所得到的結構響應量可以知道，按照最不利輸入角度輸入時，結構的響應量均比按照整體坐標軸方向輸入是的響應量要大。對于本文中所選擇的工程案例橋梁來說，主梁內力的差值百分率在10 %以內，主梁扭矩增大最多為8.32 %，軸力最小為6.59 %。塔底和墩底彎矩的差值百分率則要大得多，其中P5墩的墩底彎矩差值百分率達到了40.88 %。

(4)綜合全文的結果來看，對于曲線斜拉橋這種復雜結構來說，進行抗震分析和設計時，地震動的輸入方向要通過理論分析或者數值計算來進行確定，不能簡單地以坐標軸的方向進行輸入，以使結構達到最安全的設計。

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國家重點研發計劃(編號:2016YFC0802202);中國路橋集團重大科技項目(編號:2014C008)

王瑩(1990～)，男，碩士研究生，研究方向為現代橋式及橋梁結構設計理論、橋梁抗震。

U442.5+5

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[定稿日期]2017-03-29