基于核心素養(yǎng)的一道新高考試題的分析及備考啟示

張?zhí)於?劉連杭 吳燕春 張曉斌

摘 ?要：通過分析2021年高考數(shù)學全國新高考Ⅱ卷第21題解答中體現(xiàn)的思維靈活性和方法綜合性，探索試題的內(nèi)涵與外延，給出相應備考建議.

關鍵詞：概率與統(tǒng)計;試題分析;備考啟示

一、試題再現(xiàn)

2021年高考數(shù)學全國新高考Ⅱ卷第21題如下.

假設開始時有一個微生物個體（稱為第0代），該個體繁殖的若干個個體，形成第1代，第1代的每個個體繁殖的若干個個體，形成第2代，……. 假設每個個體繁殖的個體數(shù)相互獨立且分布列相同，記第1代微生物的個體總數(shù)為[X]，[X]的分布列為[PX=i=pi>0]，[i=0]，[1，2，3].

（1）若[p0=0.4]，[p1=0.3]，[p2=0.2]，[p3=0.1]，求[EX];

（2）以[p]表示這種微生物最終消亡的概率. 已知[p]是關于[x]的方程[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]的最小正根. 證明：當[EX≤1]時，[p=1];當[EX>1]時，[p<1];

（3）說明（2）的結(jié)論的意義.

二、試題分析

1. 考查目標分析

該題以生命科學中的微生物繁殖問題為背景，著重考查學生對統(tǒng)計概率概念本質(zhì)的理解，試題與函數(shù)、導數(shù)、不等式等知識相結(jié)合，創(chuàng)新性和開放性較強，考查學生的綜合應用能力和思維創(chuàng)新意識. 試題設置三道小題，由淺入深，層層遞進，問題之間聯(lián)系緊密，在解答問題的過程中展現(xiàn)了思維的連續(xù)性與縝密性. 第（1）小題屬于常規(guī)問法，求數(shù)學期望，體現(xiàn)了基礎性;第（2）小題證明結(jié)論，將概率、方程、函數(shù)、導數(shù)等知識與思想方法綜合起來，考查學生解決實際問題的能力，體現(xiàn)了綜合性;第（3）小題則是開放性、創(chuàng)新性的問法，要求學生結(jié)合數(shù)學問題的本質(zhì)，從數(shù)學概率評估與決策的角度解釋第（2）小題中結(jié)論的意義，具有一定的探究味道，也更好地考查了學生的數(shù)學抽象能力和轉(zhuǎn)化表達能力，體現(xiàn)了新課程倡導的研究型學習理念.

2. 解答思路分析

第（1）小題根據(jù)分布列，可以直接求出數(shù)學期望[EX];第（2）小題由分布列的性質(zhì)，結(jié)合“[p]是關于[x]的方程[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]的最小正根”，將[EX]與方程對比，類似于二項式定理通過賦值求系數(shù)和的原理，注意到系數(shù)與多項式的次數(shù)有關，從而聯(lián)想到求導，建立新的函數(shù)利用導數(shù)解決問題;第（3）小題概率評估與決策，屬于開放性問題，要求學生具有較強的解決問題的能力，從第（2）小題的結(jié)論中反映出該生物多代繁殖后，期望值越小，臨近滅絕的概率越大;期望值越大，臨近滅絕的概率越小.

3. 試題解答

解：（1）[EX=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.]

（2）（方法1）設函數(shù)求導.

令[fx=p0+p1x+p2x2+p3x3-x]，

則[f0=p0，f1=0].

對函數(shù)求導，得[fx=p1+2p2x+3p3x2-1].

當[EX≤1]時，對[x∈0，1]有[fx<p1+2p2+3p3-][1=EX-1≤0].

所以[fx]在[0，1]上單調(diào)遞減.

從而[fx]在[0，1]上只有一個零點[x0=1].

故[p=1.]

當[EX>1]時，[f0=p1-1<0]，[f1=EX-1>0].

因為[fx=2p2+6p3x]在[0，1]上恒大于0，

所以[fx]在[0，1]上單調(diào)遞增.

因此[fx]在[0，1]上有唯一零點[x1].

故當[x∈0，x1]時，[fx<0];當[x∈x1，1]時，[fx>0].

所以當[x∈0，1]時，[fx]在[x=x1]處取得最小值.

故[fx1<f1=0.]

因為[f0=p0>0]，

所以[fx]在[0，x1]上存在零點.

故[p<1.]

（方法2）因式分解.

由題意，知

[p0+p1+p2+p3=1，EX=p1+2p2+3p3]，

由[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]，得

[p0+p2x2+p3x3-1-p1x=0].

所以[p0+p2x2+p3x3-p0+p2+p3x=0].

所以[p01-x+p2xx-1+p3xx-1x+1=0].

所以[x-1p3x2+p2+p3x-p0=0].

令[fx=p3x2+p2+p3x-p0]，

則[fx]的對稱軸為[x=-p2+p32p3<0].

注意到[f0=-p0<0]，[f1=2p3+p2-p0=p1+2p2+][3p3-1=EX-1].

當[EX≤1]時，[f1≤0].

所以[fx]的正實根[x0≥1].

則原方程的最小正實根[p=1].

當[EX>1]時，[f1>0]，

所以[fx]的正實根[x0<1].

則原方程的最小正實根[p=x0<1].

（3）當個體平均繁殖的后代數(shù)不超過1時，這種微生物將最終消亡;當個體平均繁殖的后代數(shù)大于1時，這種微生物長期存在的概率大于0.

三、試題背景與出處

1. 社會背景

該題屬于概率與統(tǒng)計綜合題，以生命科學中真實的問題為背景，不僅體現(xiàn)了數(shù)學與實際生活的緊密聯(lián)系，也暗合當今社會背景下人類的繁殖現(xiàn)象. 我國在1982年至2011年人口過多的情況下，推行計劃生育，相當于該題中的[p1]較大，[p2，p3]非常小，這樣獨生子女越來越多，同時[EX≤1]，新出生的人數(shù)不斷變少，在短期內(nèi)對于控制人口數(shù)量十分有效. 但是長期下去，人口老齡化將越來越嚴重，人類的繁殖期望值也會越來越小，可能會面臨最終消亡的風險，所以最近十年來國家和政府大力提倡開放二胎甚至三胎政策，相當于將該題中的[p2，p3]適當提高，這樣可以保證[EX>1]，從而避免最終消亡的風險. 這個政策也能夠有效緩解中國人口老齡化，緩解獨生子女的養(yǎng)老壓力，對于中國人口能持續(xù)繁殖具有重要意義.

2. 數(shù)學背景

事實上，該題也是大學高等數(shù)學知識的初等化. 下面介紹該題的高等數(shù)學背景：設[ξni]是獨立同分布的非負隨機變量，其中[i，n]是正整數(shù). 定義一個序列[Zn]為：[Z0=1]，[Zn+1=ξn+11+ξn+12+…+ξn+1Zn，Zn>0，0，Zn=0，] 則[Zn]稱為Galton-Watson過程.

事實上，我們可以看出，[Zn]可以看作第[n]次繁殖的個體數(shù)目，而且第[n]代的每個個體繁殖后的個數(shù)都是獨立的，并且分布列相同（也就是所謂的“獨立同分布”）. 我們把[pk=Pξni=k]稱為后代分布，記均值[μ=Eξmi∈0，+∞].

下面介紹幾個定理.（證明要用到條件期望與鞅的性質(zhì)，此處不再證明.）

定理1：如果[μ<1]，則當[n]充分大時，必有[Zn=0]，從而[limn→+∞Znμn=0].

注：該定理表明如果每個個體生育的后代平均個數(shù)小于1，那么這個物種最終就會滅絕.

定理2：如果[μ=1]，且[Pξmi=1<1]，則當[n]充分大時，必有[Zn=0].

注：這里的[Pξmi=1<1]是為了排除每個個體恰好生育1個后代的情況. 而如果排除了這個情況后，也能得到[Zn=0]（[n]充分大時），進而[limn→+∞Znμn=0]，即這個物種最終會滅絕.

下面我們定義這個分布列[k，pk]的生成函數(shù)為[φs=k=0+∞pksk]. 其中，[s∈0，1，pk=Pξmi=k].

定理3：如果存在[ρ∈0，1]為[φ]的一個不動點，則[P存在n，使得Zn=0=ρ].

證明這個定理可以分為下面三個步驟.

（1）令[θm=PZm=0]，則[θm=k=0+∞pkθm-1k];

（2）若[φ1=μ>1]，則存在唯一的[ρ<1]，使得[φρ=ρ];

（3）[θm]單調(diào)遞增且趨于[ρ].

注意到這里的（2）恰好就是上述試題的（2）小題，只不過是作為條件給出.

分析近幾年部分高考數(shù)學試題的命題背景，不難發(fā)現(xiàn)其中一個趨勢就是將大學的高等數(shù)學知識內(nèi)容初等化. 高等數(shù)學內(nèi)容的下放不僅能夠展示新穎的數(shù)學背景，強化中學數(shù)學與高等數(shù)學知識之間的銜接，豐富試題的內(nèi)涵，也能夠考查學生的數(shù)學思維品質(zhì)、數(shù)學素養(yǎng)、創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識，甄別學生進一步學習的潛質(zhì).

四、思維障礙

1. 學生解答第（2）小題時的思維障礙

第（2）小題考查學生解決問題的綜合能力. 解答時，學生可能會出現(xiàn)求導方法、因式分解方法、分離函數(shù)方法. 對于每種方法，學生可能會出現(xiàn)一些思維障礙和誤區(qū).

對于求導方法：① 對構造的函數(shù)[fx=p0+p1x+][p2x2+p3x3-x]進行求導，得[fx=p1+2p2x+3p3x2-1]，學生對于求導之后的函數(shù)零點問題的常規(guī)處理方法掌握不牢，不清楚求導之后應該朝著哪個方向進行下去. 同時，由于求導之后字母太多，且無具體數(shù)據(jù)，導致學生不敢繼續(xù)做下去.

② 求導之后得到[fx=p1+2p2x+3p3x2-1]. 由于[fx]在[0，1]單調(diào)遞增，則[fx=p1+2p2x+3p3x2-1≤][f1=3p3+2p2+p1-1=EX-1]. 但部分學生會得到[fx=f1=3p3+2p2+p1≤1]，在處理這些不等關系時，邏輯思維混亂.

③ 在研究函數(shù)[fx]時，學生容易忽略自變量的取值范圍. 該題中，因為[p∈0，1]，所以[fx]的定義域為[x∈0，1]，而很多學生在研究函數(shù)[fx]時，都將其看成是[R]上的函數(shù)，在[R]上研究函數(shù)[fx]的圖象和性質(zhì)，從而做了無用功.

對于因式分解方法，學生在解題時也存在著一些思維上的障礙. 例如，分解因式之后，得到[x-1 · ][p3x2+p2+p3x-p0=0]，其中，令[gx=p3x2+p2+p3x-p0]. 而這個函數(shù)就是二次函數(shù)，此方法的本質(zhì)就是研究二次函數(shù)的零點問題. 然而，學生在解題時并沒有發(fā)現(xiàn)這一本質(zhì)，都是利用不等關系進行放縮，思路混亂不清晰.

對于分離函數(shù)方法，部分學生同樣也存在思維邏輯混亂的問題，將原方程分為兩個函數(shù)[fx=p3x3+][p2x2+p1x+p0]與[gx=x]，而對于兩個函數(shù)的基本要素尋找定位不準確，只是憑自己的直觀感覺畫出函數(shù)[fx]與函數(shù)[gx]的交點，最后不了了之.

2. 學生解答第（3）小題時的思維障礙

第（3）小題屬于開放性決策問題，解答時學生站在不同角度可能會有不同的理解與回答.

（1）能夠預測這種生物是否消亡，并在消亡之前采取保護措施，保護微生物，避免滅絕，維持微生物的多樣性.

（2）當[EX≤1]時，[p=1];當[EX>1]時，[p<1]. 對研究這種微生物的存活概率和狀況及周圍的環(huán)境具有重要作用. 當微生物某一代個體總數(shù)控制在某一范圍內(nèi)時，該微生物才能更好地繁殖下一代，有利于微生物的繁殖與生存.

（3）第（2）小題結(jié)論的意義在于可以根據(jù)該種生物最終消亡的概率[p]來控制該生物繁殖的平均情況. 如果有利，可以加大繁殖;如果不利，則可以根據(jù)概率促使其消亡.

（4）該結(jié)論說明單個生物繁殖數(shù)的期望不到[1]時，該生物一定會滅絕，我們應該把人口繁殖率提高到[1]以上，每對夫妻至少生育兩個孩子……

分析這些可能出現(xiàn)的解答，主要反映出學生回答問題不務實，甚至有一些“廢話”，沒有抓住數(shù)學的本質(zhì)，沒有站在數(shù)學概率評估與決策的角度準確地理解和翻譯第（2）小題結(jié)論的意義，答不到關鍵點上. 然而，如果換一種角度，結(jié)合其他學科的相關知識來看，如生物學、社會學等，這些回答也具有一定的道理. 實際答題中，學生要綜合考慮題目與本學科之間的聯(lián)系，慎重思考，理性回答.

五、相關試題

該題的設計思路：一方面，結(jié)合高等數(shù)學中的具體背景，將其改編延伸;另一方面，其本質(zhì)上還是將概率統(tǒng)計與函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列相結(jié)合，綜合性、創(chuàng)新性較強. 我們整理了近幾年的高考數(shù)學試題，發(fā)現(xiàn)諸多類似試題.

題目1 （2018年全國Ⅰ卷·理20）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品進行檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品. 檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件進行檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品進行檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為[p 0<p<1]，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為[fp]，求[fp]的最大值點[p0];

（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的[p0]作為[p]的值. 已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

① 若不對該箱余下的產(chǎn)品進行檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為[X]，求[EX];

② 以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品進行檢驗？

該題的命題立意是用實際問題引領學生體會統(tǒng)計思想. 第（1）小題考查學生將概率、統(tǒng)計知識與導數(shù)結(jié)合求最值的綜合運用能力，第（2）小題涉及統(tǒng)計決策，要求學生能夠結(jié)合數(shù)學知識和相關背景做出分析和決策.

題目2 （2019年全國Ⅰ卷·理21）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗. 試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗. 對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥. 一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗. 當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效. 為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得[-1]分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得[-1]分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分. 甲、乙兩種藥的治愈率分別記為[α]和[β]，一輪試驗中甲藥的得分記為[X].

（1）求[X]的分布列;

（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，[pi i=0，1，…，8]表示“甲藥的累計得分為[i]時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則[p0=0，p8=1，][pi=api-1+bpi+cpi+1 i=1，2，…，7]，其中[a=PX=-1]，[b=PX=0，c=PX=1]. 假設[α=0.5，β=0.8].

① 證明：[pi+1-pi i=0，1，2，…，7]為等比數(shù)列;

② 求[p4]，并根據(jù)[p4]的值解釋這種試驗方案的合理性.

該題是以大學數(shù)學概率論中馬爾科夫鏈這一描述離散隨機過程的模型為背景，給出具體的遞推公式，合理地將大學數(shù)學知識下放，同時將概率、統(tǒng)計問題與遞推數(shù)列相結(jié)合，考查學生的抽象思維、理解分析和綜合運用能力，最后的分析決策具有開放性和創(chuàng)新性.

題目3 （2020年全國新高考Ⅰ卷·12）信息熵是信息論中的一個重要概念，設隨機變量[X]所有可能的值為[1，2，…，n]，且[PX=i=pi>0 i=1，2，…，n]，[i=1npi=1]，定義[X]的信息熵[Hx=-i=1npilog2pi]，則（ ? ?）.

（A）若[n=1]，則[Hx=0]

（B）若[n=2]，則[Hx]隨著[pi]的增大而增大

（C）若[pi=1n][i=1，2，…，n]，則[Hx]隨著[n]的增大而增大

（D）若[n=2m]，隨機變量[Y]所有可能的取值為[1，2，…，m]，且[PY=j=pj+p2m+1-j j=1 ， 2 ， … ， m]，則[Hx≤HY]

該題以信息論中的重要概念信息熵為背景，結(jié)合中學所學的數(shù)學知識，編制了信息熵數(shù)學性質(zhì)的四個命題，主要考查對新定義“信息熵”的理解和運用，涉及離散型隨機變量，以及對數(shù)運算、對數(shù)函數(shù)和不等式的基本性質(zhì)的運用，考查學生獲取新知識的能力和對新問題的理解探究能力，體現(xiàn)了對學生的數(shù)學閱讀與理解能力的考查.

六、備考啟示

從近幾年的高考數(shù)學試題來看，高考命題正從能力立意向素養(yǎng)導向轉(zhuǎn)變. 同時，壓軸題不再拘泥于傳統(tǒng)的數(shù)列、導數(shù)等問題，概率與統(tǒng)計題目也逐漸走向壓軸題的位置. 從2021年全國新高考Ⅱ卷的概率與統(tǒng)計壓軸題來看，這道題的思維角度比較寬，涉及的知識和方法比較常規(guī)，但是學生仍然感覺束手無策，解題過程漏洞百出. 這引發(fā)了我們對日常教學的思考.

1. 指導學生學習的建議

（1）要加強對學生閱讀理解能力的培養(yǎng)，特別注重對試題中的文字、符號、圖形、數(shù)據(jù)（量）及數(shù)式關系等的意義的理解與翻譯. 近幾年的概率與統(tǒng)計試題對學生的數(shù)學閱讀能力要求較高，學生要抓住題目中的數(shù)學核心，理解數(shù)學問題的本質(zhì)，答題時注重語言的規(guī)范性.

（2）要夯實學生的數(shù)學基礎，熟知整個概率與統(tǒng)計知識的脈絡結(jié)構，新高考數(shù)學不分文、理科，考查更具基礎性，不刻意追求知識點的全面覆蓋，注重回歸到概率與統(tǒng)計的本質(zhì).

（3）在日常學習過程中，培養(yǎng)創(chuàng)新意識、創(chuàng)新思維，不要受思維定勢的影響，尤其是概率與統(tǒng)計的學習，內(nèi)容具有不確定性，有更高的創(chuàng)新性和開放性，對學生的思維培養(yǎng)尤為重要.

2. 提升教師素養(yǎng)的建議

作為一線中學數(shù)學教師，需要深入分析高考命題的設計意圖，加強對高考試題的研究，抓住命題脈搏，把握住高考方向. 教師自身也需要一直苦練內(nèi)功，更新教學觀念，加強對概率與統(tǒng)計內(nèi)容的學習，重視對概率論與數(shù)理統(tǒng)計等基本原理的研究，用更高的觀點、站在更高的角度分析、看待問題，理解問題的內(nèi)涵和本質(zhì)，更好地開展中學數(shù)學概率與統(tǒng)計的教學.

3. 強化數(shù)學教學的建議

（1）教學中注重概率、統(tǒng)計與其他知識的綜合性練習，考查方式力求新穎，數(shù)學知識之間的深度融合對學生提出了更高的要求，這也就要求教師在教學中精選素材與練習題，以達到學生熟練綜合運用各個知識點的考查要求.

（2）教學過程中重視數(shù)學思維方法的滲透，發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng). 在復習概率與統(tǒng)計知識時，教師要充分利用相應教學內(nèi)容滲透數(shù)學思想與方法，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

（3）教學中加強概率與統(tǒng)計知識的實踐應用，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和發(fā)展意識，讓學生在解決實際問題的過程中體會概率與統(tǒng)計的應用價值. 同時，利用各種情境及信息技術工具豐富教學模式，引導學生用創(chuàng)新的視角應用知識，擴展思維.

（4）強化對數(shù)學建模活動和數(shù)學探究活動的教學，切實重視日常教學內(nèi)容的教學，注重數(shù)學實踐活動的體驗與積累，培養(yǎng)學生的應用意識和創(chuàng)新意識，努力提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平.

參考文獻：

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