結構化教學觀點下的數學問題探究教學

李志 王浩

摘 ?要：先界定好的數學問題，再以2020年高考數學全國Ⅰ卷理科第20題為例，研討結構化教學觀點下的數學問題探究教學，形成了教學范式——探究教學的五個基本環節，最后進行了問題探究教學的優越性分析.

關鍵詞：數學問題;結構化;問題探究

數學教學的寬度容易實現，而數學教學的深度很難實施，這需要學生具有一定的認知和理解能力，教師要有數學專業上的真功夫和學科教學上的真水平，三者缺一不可. 這里我們說的深度，不是說學習那些偏、難、怪題，而是指對數學核心思想方法的綜合運用，對數學核心問題的深刻思考. 我們知道，數學學科擔負著對學生思維能力培養的使命，沒有經歷過深刻的思考，沒有思考的深度，就很難突破思維的上限，也就難以達到思維的高度.

數學教學的深度對于啟發學生思考數學本質、培養學生的創新精神、孕育創新人才來說非常重要. 那么，怎樣才能使我們的教學有深度？怎樣才能讓學生經歷有深度的思考？在學生深刻思考后，怎樣才能使他們在數學學科核心素養方面得到提升？

經過多年一線教學實踐和相關理論學習，筆者發現好的數學問題能夠引發學生深入思考. 如果教師能有效運用，對學生數學學科核心素養的提升和思維品質的培養可以起到事半功倍的效果.

一、 好的數學問題的界定

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）強調數學建模和數學探究的落實，建議主題教學和深度學習，整體把握學科課程，抓住學科本質，促進學生學科核心素養的提升、發展. 無獨有偶，單墫教授在《數學學習&數學解題》中所附的解題12條原則中有這樣一條：要做100道有質量的題目. 這里所說的有質量的題目也許正是好的數學問題，好的數學問題可以成為主題教學和深度學習的載體. 那么，什么樣的問題才是好的數學問題呢？

1. 好的數學問題不是題目，可以承載思維的厚度

現在的學生把做題說成“刷題”，作為教師，每當聽到這兩個字，筆者會深感不安. 因為“刷題”一般只是對數學知識和方法的掌握有好處，是淺層次的思考. 做一些題就可以了，過度“刷題”容易形成慣性思維、模式思維. 長此以往，思維容易僵化、固化，必將降低學生的創新思維能力. 這與數學學科的意義和價值是相悖的. 好的數學問題不同于一般的題目，一定要能引起學生的深刻思考，要能夠承載思維的厚度. 筆者認為，數學學科的最終育人價值就是提升人的思維能力.

2. 好的數學問題要有背景，能夠激發探究的欲望

好的數學問題應該有一定的數學背景，可以引起學生的學習興趣，激發學生的探究欲望. 學生做的題目雖然繁多，但是有意義的、好的數學問題偏少. 這些數學題目一般沒有什么數學背景，大致只有數學知識或數學方法的訓練價值，不能引起學生的深入思考，不能激發學生的探究欲望，不能促進學生思維的發展. 好的數學問題應該有比較深刻的數學背景，能引起學生不同角度、不同層次的深入思考. 只要教師適時地啟發和引導，學生就會經歷由淺入深、深入淺出的探究過程，其分析問題和解決問題的能力必將得到大幅度提升. 久而久之，學生就會掌握探究問題的一般過程和基本方法，或許有一天也能嘗試發現和提出好的數學問題.

3. 好的數學問題可以拓展，是智力發展的平臺

波利亞指出，高中數學首先和主要的教學目標是教會年輕人思考. 那么，怎樣才能教會學生思考？好的數學問題是數學教學的靈魂，可以承載學生的智力發展，是發展學生數學學科核心素養的媒介. 因此，數學教學應該始于學生感興趣、能探究和能拓展的問題. 好的數學問題應該具有拓展探究的可能，也有拓展探究的價值，應該能進行探究性延伸教學. 好的數學問題可以為學生的智力發展提供廣闊的舞臺，能讓學生經歷思考問題的過程，并在分析問題和解決問題的過程中，積累探究的經驗，形成探究的能力，發展數學思維品質. 在探究問題的過程中，我們期望學生的數學情感、品性和價值觀受到良好的熏陶.

二、問題探究教學

“基于結構化教學觀點的課堂教學”是上海市第四期“雙名工程”攻關計劃虞濤數學基地的研究課題. 該課題以《標準》和教材為基礎，用聯系的、整體的和發展的觀點分析數學知識結構和學生的認知結構，希望構建中學數學課堂教學設計的基本框架體系，分析和開發豐富的教學案例，在此基礎上研究教學實踐的范式，促進數學課堂教學的改革.

本文希望在結構化教學觀點下研究問題探究教學的基本結構，探索構建問題探究教學的范式. 我們希望的教學范式要求在教學上容易操作，具有可行性，在學習上可以實施，要有有效性.

1. 提出問題，引發探討

當找到了好的數學問題，怎么讓這些問題最大程度地發揮出其教學價值呢？這是教師要認真思考的問題. 2020年高考數學全國Ⅰ卷理科第20題第（2）小題就是一個很好的數學問題. 下面以它為例，在“結構化教學”觀點下摸索“問題探究教學”的范式.

已知[A，B]為橢圓[E： x29+y2=1]的左、右頂點，[P]是直線[l：x=6]上的動點，[PA]與[E]的另一個交點為[C]，[PB]與[E]的另一個交點為[D]. 證明：直線[CD]過定點.

教學的確需要解題，但絕不只是解題. 教學更重要的是啟發學生思考，幫助學生打開思路，給予學生適當的指引，鼓勵學生探究下去，勇敢地去發現. 怎樣證明直線過定點？把這個問題交給學生探討. 下面是探究的過程.

2. 思維碰撞，共享智慧

證明：設[P6，m]，則[A-3，0，B3，0]，直線[PA]與直線[PB]的方程分別為[y=m9x+3]和[y=][m3x-3].

聯立直線[PA]和橢圓的方程，得[y=m9x+3，x29+y2=1.]

所以[m2+9x2+6m2x+9m2-81=0].

所以[-3xC=9m2-81m2+9]，解得[xC=-3m2+27m2+9].

從而[C-3m2+27m2+9， 6mm2+9].

同理，聯立直線[PB]和橢圓的方程，可以得到[D3m2-3m2+1， -2mm2+1].

教師設問1：用參數[m]表示出點[C]和點[D]的坐標后，發現直線[CD]的方程很難表示. 采用哪種形式的直線方程好呢？

大部分學生認為，不管哪種形式的方程，計算量都比較大，運算過程都比較麻煩. 那么，就只好直接計算. 因為[CD=2m2+3m2+1m2+93m2-9，-4m]，所以法向量[n=4m，3m2-9]. 從而直線[CD]的點法式方程為[4mx-3m2-3m2+1+3m2-3y--2mm2+1=0]. 化簡，可得[4mx-32+3m2-3y=0]. 所以直線[CD]恒過定點[32，0].

生1：我采取行列式的形式表示，計算量會小一些，可操作性強. 其他形式方程計算量都很大，甚至會由于計算太煩瑣而沒辦法進行下去.

生1用行列式形式表示的計算過程如下.

根據題意，得直線[CD]的直線方程可以表示為[xy13m2-3m2+1-2mm2+11-3m2+27m2+96mm2+91=0]，即[xy13m2-3-2mm2+1-3m2+276mm2+9=0]. 按第一行展開這個三階行列式，得[x-2mm2+16mm2+9-][y3m2-3m2+1-3m2+27m2+9+3m2-3-2m-3m2+276m=0]. 化簡，可以得到[4mx-32+3m2-3y=0]. 所以直線[CD]恒過定點[32，0].

教師設問2：這個解法容易想到，找個合適的參數，按部就班寫出直線方程，整理化簡后，就可以看到過哪個定點了. 缺點是計算量大，有沒有簡單些的方法呢？

探討后征詢學生的想法.

生2：我們可以先找到這個定點，再證明直線[CD]恒過這個點.

生2的證明過程如下.

因為橢圓和直線[x=6]都是關于[x]軸對稱的，

所以直線[CD]恒過的定點在[x]軸上，即定點的縱坐標為[0].

取[P6，3]，聯立直線[PA]和橢圓的方程，可以得到[C0，1].

同理，可得[D125，-35].

由此可得直線[CD]的方程為[y=-23x+1].

所以定點的坐標應該是[T32，0].

教師設問3：下面，再來證明所有直線[CD]都經過點[T32，0]，怎么證明呢？這是一個需要思考也值得思考的問題.

生3：好像還是要回到上面的過程引入參數表示出點[C]和點[D]的坐標，只要證明[TD∥TC]就可以了.

生3的證明過程如下.

設[P6，m]，聯立方程，得

[C-3m2+27m2+9， 6mm2+9]，[D3m2-3m2+1， -2mm2+1].

從而[TC=-32m2+93m2-9，-4m]，

[TD=12m2+13m2-9，-4m].

所以[TD∥TC].

所以直線[CD]恒過定點[32，0].

師：生2的想法是我們證明恒過定點問題的一般方法，也是通法. 先用特例找到定點，再進行一般性證明. 證明的運算過程在生3的方法的處理下得到了簡化. 他們的想法都非常寶貴.

教師設問4：上面兩種解決問題的辦法運算量還是有點大，同學們想想還有什么好的辦法嗎？

生4：由于這個問題僅僅涉及“點在直線上”這一仿射性質，而不涉及長度、夾角、面積等度量性質，從而進行仿射變換將會保持“過定點”的性質.

由于當時與學生探究了仿射變換在解析幾何中的應用，所以生4突發奇想，想到用仿射變換來解決這個問題.

生4的證明過程如下.

先研究單位圓過定點的問題（因為比較簡單，所以研究一般情況）.

已知[A，B]為圓[x2+y2=1]和[x]軸的兩個交點，[P]是直線[x=x0 x0≠0]上的動點，[PA]與圓的另一個交點為[C]，[PB]與圓的另一個交點為[D]. 證明：直線[CD]過定點.

設[Px0，m]，則[A-1，0，B1，0].

所以直線[PA]的方程為[y=mx0+1x+1 x0≠±1]，直線[PB]的方程為[y=mx0-1x-1 x0≠±1].

聯立直線[PA]與圓的方程，得

[C-1+2x0+12x0+12+m2， 2mx0+1x0+12+m2].

聯立直線[PB]與圓的方程，得

[D1+-2x0-12x0-12+m2， -2mx0-1x0-12+m2].

故線段[CD]的中點的坐標為

[M4m2x0x20+1+m22-4x20， 2mm2+1-x02x20+1+m22-4x20].

直線[CD]的點法式方程為[2mx0x-4m2x0x20+1+m22-4x20+][m2+1-x02y-2mm2+1-x02x20+1+m22-4x20=0].

化簡，得[2mx0x-1x0+m2+1-x02y=0].

所以恒過點[Q1x0，0].

當[x0=±1]時，結論仍然成立.

通過上面的探究發現：[x0xQ=1].

下面我們利用仿射變換解決原題目.

作仿射變換[x=3x，y=y，]

則橢圓[E： x29+y2=1]變為單位圓[x2+y2=1]，直線[x=6]變為直線[x=2].

按照單位圓的情形下得出的結論，直線[CD]過定點[Q12，0].

因此點[Q12，0]對應直線[CD]過的定點[Q32，0].

生4：應用仿射變換，我們還可以簡單地得到下面的一般化結論，否則很難得到.

已知[A，B]為橢圓[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的左、右頂點，[P]是直線[l：x=x0]上的動點，[PA]與[E]的另一個交點為[C]，[PB]與[E]的另一個交點為[D]. 則直線[CD]過定點[a2x0，0].

師：生4的證明方法打開了探究這個問題的全新的思路. 通過仿射變換，把橢圓的問題轉化成單位圓的問題，使得運算變得簡單可行，而且得到了較一般的結論. 生4的這個想法非常奇妙，具有開創意義.

3. 激發潛能，拓展探究

教師設問5：我們知道，在平面幾何中，一些橢圓有的性質，一般情況下雙曲線也有. 由于可以進行仿射變換，為了計算簡單，我們選取等軸雙曲線，大家可以嘗試探究下面的問題.

拓展探究1：已知[A，B]為雙曲線[E：x2-y2=1]的左、右頂點，[P]是直線[l：x=x0 x0≠±1]上的動點，[PA]與[E]的另一個交點為[C]，[PB]與[E]的另一個交點為[D]. 證明：直線[CD]過定點.

證明：設[Px0，m]，

則[A-1，0，B1，0].

所以直線[PA]的方程為[y=mx0+1x+1 x0≠±1]，直線[PB]的方程為[y=mx0-1x-1 x0≠±1].

聯立直線[PA]與雙曲線的方程，得

[C-1+2x0+12x0+12-m2， 2mx0+1x0+12-m2].

聯立直線[PB]與圓的方程，得

[D1+-2x0-12x0-12-m2， -2mx0-1x0-12-m2].

故線段[CD]的中點為

[M-4m2x0x20+1-m22-4x20， -2mx02+m2-1x20+1-m22-4x20].

則[CD=2x20+1-m22-4x20m4-x20-12，-2mx0x02-m2-1].

所以法向量[n=2mx0x02-m2-1，m4-x20-12].

則直線[CD]的點法式方程為[2mx0x02-m2-1 · ][x+4m2x0x20+1-m22-4x20+m4-x20-12y+2mx02+m2-1x20+1-m22-4x20=0].

化簡，得

[2mx0x02-m2-1x-1x0+m4-x20-12y=0].

所以直線[CD]恒過定點[1x0，0].

教師設問6：橢圓和雙曲線都至少有兩個定點，類似問題容易提出. 而對于拋物線，類似的問題是什么呢？

拋物線是無心二次曲線，根據射影幾何學的觀點，另一個頂點在無窮遠處，兩條平行線相交于無窮遠點. 因此，我們提出下面的問題，證明比較簡單，就留給讀者.

拓展探究2：已知拋物線[Γ：y2=2px p>0]，[P]是直線[x=x0 x0≠0]上的動點，過點[P]作[y]軸的垂線，交拋物線[Γ]于點[C]，[OP]與拋物線[Γ]的交點為[D]. 證明：直線[CD]過定點.

4. 深度研究，揭示背景

為了揭示問題的本質，我們引入高等幾何中的一個定義. 這個定義給出了極線和極點的代數關系. 而下面的兩個定理揭示了它們的幾何意義.

定義：已知圓錐曲線[Γ：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+][F=0]，點[Px0，y0]（非中心）和直線[l：Ax0x+By0x+x0y2+][Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0]. 我們稱點[Px0，y0]是直線[l]關于圓錐曲線[Γ]的極點，直線[l]是點[Px0，y0]關于圓錐曲線[Γ]的極線.

特別地，給定橢圓[Γ： x2a2+y2b2=1 a>b>0]，以及不同于橢圓中心的任意一點[Px0，y0]，則點[Px0，y0]關于橢圓[Γ]的極線是[xx0a2+yy0b2=1]. 如果點[Px0，y0]在橢圓[Γ]上，它的極線就是經過點[P]的橢圓[Γ]的切線.

定理1：若一個四邊形的四個頂點在一條二次曲線上，則這個四邊形的對邊延長線的交點（假設四邊形對邊不平行）及其對角線的交點組成的三角形叫自極三角形，即每個頂點和對邊所在直線是極點和極線的關系.

定理2：若點[S]和直線[lS]是關于圓錐曲線[Γ]的極點和極線，[AB]是[Γ]的一條弦，[CD]是[Γ]的另一條弦，直線[AC]與[BD]的交點為[P]. 則點[P]在[lS]上的充要條件是[CD]經過點[S].

定理1的證明可以參看文[3]中的“6.4 關于二次曲線的極點和極限”. 定理2的證明可以參看文[4]. 前面的定義和定理揭示了2020年高考數學全國Ⅰ卷理科第20題第（2）小題的本質.

本質：直線[l：x=6]關于橢圓[E： x29+y2=1]的極點是[32，0]. 因為直線[AB]經過極點[32，0]，點[P]是極線[l：x=6]上任意一點，所以直線[CD]一定恒過點[32，0].

5. 總結反思，提升素養

好的數學問題的解決一定有總結提升的價值. 這里探討了三種方法：方法1，選取合適的參數，寫出關于參數的直線方程，整理化簡后可以求得定點，應用了直線方程的概念;方法2，先用特殊的兩條直線求出定點，再證明一般直線都經過這個點，運用了特殊與一般的辯證關系;方法3，通過仿射變換，把橢圓的問題轉化為單位圓的問題，先解決單位圓過定點的問題，再解決橢圓的相應問題. 方法1和方法2是解決過定點問題的基本思路，屬于通法;方法3運用了轉化與化歸的思想.

圓、橢圓、雙曲線和拋物線統稱為圓錐曲線. 一般情況下其中之一有某些性質，其他幾個也可能有，我們可以進行類比拓展探究. 在發現和提出相應問題、分析和解決問題的過程中培養學生的數學能力，深化數學思維的發展.

分別解決了以上問題之后，自然會問：對于一般的二次曲線，這個問題會是什么樣的呢？可以統一解決嗎？不管有沒有能力解決，問題能不能解決，都要有這樣的問題意識. 因為發現和提出問題，相對于分析和解決問題，有時更困難，也更有意義. 這個問題必將揭示原來問題的背景，定會抓住問題的本源，研究的價值更大.

三、問題探究教學結構

數學探究活動是圍繞某個數學問題，展開自主探究、合作研究并最終解決問題的過程. 我們知道，一般的數學探究活動不適合集體課堂教學，而問題探究教學是想把數學問題探究活動應用于數學課堂教學，我們希望探討問題探究教學的基本結構.

1. 結構化教學觀點下，探究的五個基本環節

在2020年高考數學全國Ⅰ卷理科第20題的探討和研究過程中，我們運用了聯系的觀點、整體的觀點和發展的觀點，這就是結構化的教學觀. 在結構化教學觀的指導下，形成了問題探究教學的基本范式和實施途徑.

實現問題探究教學，分為五個環節：提出問題，引發探討;思維碰撞，共享智慧;激發潛能，拓展探究;深度研究，揭示背景;總結反思，提升素養.

為了達到教學效果，教師可以通過有質量的層層遞進的設問，以問題串的形式啟發學生思考，鼓勵他們探究下去，繼而發現問題的本源.

2. 五個環節相互聯系，思維層次不斷深化發展

上面的五個教學環節相互聯系、相互影響，問題的質量會決定探究的深度，探討的過程會展現問題教學的效果，從而也反映了教師選題的能力.

（1）第一個環節要能提出有質量的好問題，學習用聯系的觀點辯證地發現問題.

好的問題不需要看起來就很難，拒人于千里之外，可以是一些看起來樸素但又有內涵的問題. 首先，不管是問題本身，還是解決問題的方法，最好都有探究的價值. 其次，提出的問題要能引起學生探究的興趣，因為感興趣就是探究下去最好的動力. 最后，經歷了問題的鉆研和探討后，學生要有學識和思維的提升. 因此，在第一個環節，教師要學習用聯系的觀點，辯證地審視數學問題，要提出有質量的好問題，因為這是后繼探究的基礎和前提.

（2）第二個環節和第三個環節要激發出學生的潛在想法，引導學生學習運用發展的觀點探討和研究.

第一個環節選的問題到底好不好，需要第二個環節和第三個環節來證明. 也可能問題的確是個好問題，但是由于教師的專業能力或者教學水平有限，學生探討的積極性和主動性沒能調動起來，沒能激發出學生鉆研的興趣. 因此，在這個環節教師要運用自己的教學能力，把握好教學的節奏，充分運用好第一個環節找到的好的數學問題. 可以通過設問不斷把探討推向高潮，要學會運用發展的觀點提出和研討問題.

（3）第四個環節和第五個環節要善于引導學生去發現，使學生學會運用統一的觀點整體看問題.

第四個環節和第五個環節難度比較大，需要鼓勵學生探究下去，教師要給予學生必要的幫助和指引，提供必需的探究途徑和研究材料. 第四個環節將揭示問題的背景，要求第一個環節選取的問題要有背景，否則就成了無米之炊，無源之水. 在這里，要學會運用統一的觀點整體看問題. 第五個環節是總結反思，是收獲的時候，希望學生有方法、思想和意識形態上的獲得感. 這兩個環節將實現探究的目標，也是第二個環節和第三個環節發展的必然，是第一個環節價值的實現.

3. 由淺入深，深入淺出，洗禮思維，感悟創新

完整地經歷了結構化教學觀點下的數學問題探究教學過程，由淺入深、深入淺出地探討和鉆研，一定會經受思維的洗禮，在創新思維方面也會有所提升. 這里的問題不要太難，可以由淺入深，否則學生將無從下手. 當然，問題難與不難要考慮學生的思維能力，這是相對而言的. 通過五個環節的深入探討，分析了問題的背景后，希望能得出統一的、淺顯明了的結論，從而體現數學的統一美和簡潔美.

教學研究的最終目的是培養人，而數學教學的核心任務就是培養人的思維能力，讓人更聰慧. 讓學生經歷探究的歷程，必將開啟智慧、激發潛能、洗滌思維，從而達到感悟創新的目的.

四、問題探究教學的優越性

問題探究教學有哪些優點？下面我們從對問題的解決、對思維的養成和對人的培養三個方面來分析.

1. 引導學生發現問題背景，有利于問題的徹底解決

一個數學問題如果沒有得到自然、徹底、簡單的解決，那它就沒有得到真正的解決. 從解決問題的方法和過程來講，就無法讓學生感悟到數學的和諧美、統一美、簡潔美. 但是，如何才能完善地解決一個數學問題呢？怎樣才能讓人感受到思維的洗禮呢？實踐表明，在解決問題的過程中引導學生了解問題的背景，發現問題的本源，激勵學生探究問題的解決辦法，有助于學生徹底解決問題.

2. 啟發學生的高階深度思考，有利于思維的提升和突破

布魯納指出，教授一門學科不是要在學生頭腦中建立一個小型圖書館，而是要讓他們參與知識的構建，掌握該學科的思維方式. 問題探究教學就是在學生探究的過程，啟發學生進行深度思考，提升學生數學思維能力的上限，不斷突破思維的極限. 問題探究教學的目標就是讓學生掌握數學學科的思維方式，養成良好的數學學科核心素養.

3. 落實新課程的精神，有利于創新人才的孕育

從問題探究教學的五個基本環節來看，在問題探究的過程中，我們要注重有策略地持續提升學生的“四能”. 在探索研究的實踐過程中，的確提高了學生數學學習的興趣，發展了學生自主學習和探究的能力，樹立了學生敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神，提升了學生的創新意識.

要實現人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展. 在課堂上，怎樣才能讓所有學生都有收獲？如何解決“吃不飽”的問題？這些都是問題探究教學想要解決的教學難題.

參考文獻：

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[5]李志，王浩. 關于圓錐曲線伴隨直線幾何意義的實驗性探索：應用GeoGebra軟件的數學實驗案例研究[J]. 中國數學教育（高中版），2020（3）：59-64.

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