撒克遜碗下沉時間的研究

鐘書河山，易榮彬，李金蚊，樊代和,b，劉其軍,b，賈欣燕,b，魏 云,b

(西南交通大學 a.物理科學與技術(shù)學院，四川 成都 610031；b.物理國家級實驗教學示范中心(西南交通大學)，四川 成都611756)

撒克遜人通常是指公元五世紀起到諾曼征服時止移居并統(tǒng)治英格蘭的日耳曼民族[1]. 在那個時代，計時工具是比較匱乏的，撒克遜人發(fā)明了計時裝置——撒克遜碗. 他們在碗底打開孔洞，將碗放在水中自然下沉，通過觀察碗在水中的下沉現(xiàn)象來計時. 事實上，在古代，也有很多種方法能夠?qū)崿F(xiàn)“計時”的功能. 例如，我國古代藏族人發(fā)明了“圭表”及“刻漏”測時裝置[2]. 李強等研究了“馬上刻漏”這種古代計時工具的特點[3],陳寧心等研究了古代的另一種計時器“水鐘”[4]. 在西方，“沙漏”也是計時裝置，最早于三世紀由亞歷山大發(fā)明[5].

由于撒克遜碗計時器具有制作方便、計時較為準確等特點，研究撒克遜碗下沉過程中的相關(guān)物理問題成為2020年國際青年物理學家錦標賽(IYPT)的競賽題目之一[6]. 本文分別從理論和實驗分析撒克遜碗計時裝置的下沉時間. 從理論上，建立了物理模型，得出了撒克遜碗下沉時間與相關(guān)物理參量的關(guān)系. 實驗上，制作了2種類型的撒克遜碗，并對相關(guān)物理參量進行了研究. 實驗結(jié)果與理論分析基本一致.

1 理論分析

假設(shè)將一質(zhì)量為m0、厚度為d0、高度為h0、底部具有橫截面積為S孔洞的碗，放入寬度無限大、密度為ρ的液體中. 碗在液體中的下沉過程如圖1所示.

1)在t=0時刻，碗底與液面相接觸[圖1(a)]. 此時，由于受到重力的作用，碗在液體中開始下沉.

2)在下沉過程的任一時刻t[圖1(b)]，碗的一部分沉入液體中. 此時，碗內(nèi)外液面有一定的高度差.

3)當t=tmax時刻[圖1(c)]，碗口與外液面齊平. 此時，碗處于臨界狀態(tài). 即當t>tmax后，碗外液體將從碗口進入碗內(nèi)(而非從碗底孔洞進入)，然后碗將按照常規(guī)的物理規(guī)律迅速沉入液體中.

本文將詳細分析撒克遜碗在0≤t≤tmax時間段內(nèi)下沉的物理過程.

如圖1(b)所示，以碗中心軸和碗底與液面的交點作為坐標原點，平行于液體平面方向作為x軸，建立直角坐標系.

(a)初始時刻

在撒克遜碗下沉過程的任一時刻t[圖2(a)]，假設(shè)碗內(nèi)液面高度為y(t)，碗內(nèi)液體體積為Vin(y)，碗內(nèi)液面處的橫截面積為Sin(y). 碗外液面高度為hout(y)，碗外排開液體的體積為Vout(hout)，碗外液面處的橫截面積為Sout(hout). 在隨后很短的時間dt內(nèi)，有dy高度的液體從碗底進入碗內(nèi)[圖2(b)]. 此時，碗外液面距離碗底的高度增加dhout.

從圖2(b)可以計算得出，在dt時間內(nèi)，碗內(nèi)液體增加的體積為

dVin(y)=Sin(y)dy,

(1)

相應(yīng)地，碗外增加的排開液體的體積為

dVout(hout)=Sout(hout)dhout(y).

(2)

事實上，碗內(nèi)增加的液體，都是由碗底的小孔流入. 因此，可以以碗底小孔作為研究對象，對該過程做進一步分析. 將圖1或圖2中碗底開口部分局部放大如圖3所示,其中rin為內(nèi)半徑，rout為外半徑，d0為碗壁厚度，碗底厚度近似為0.

(a)t時刻

圖3 圓柱形撒克遜碗示意圖

如圖2所示，在dt時間內(nèi)，從碗外經(jīng)孔洞流入碗內(nèi)的液體體積為

dVin=KSvb(t)dt,

(3)

其中，vb(t)表示t時刻液體流入小孔的流速.K為無量綱物理常量[7]，與孔洞的形狀以及液體黏度有關(guān)，可由具體實驗測得.

結(jié)合(1)式和(3)式可以得出：

(4)

通常，研究撒克遜碗下沉時間實驗，使用的液體為水，其黏度很小，因此將該過程中的液體近似當做理想流體來處理. 考慮a,b兩點之間部分的液體為一“流管”[圖2(a)]，則流管內(nèi)的液體應(yīng)滿足伯努利方程[7-8]，即

(5)

其中，va和vb分別表示a和b兩點液體的流速，ha和hb分別表示a和b兩點的高度，pa和pb分別表示流管外a點和b點的壓強.

通常情況下，撒克遜碗的厚度比較小，因此，可以近似認為d0≈0(即ha=hout,hb=0). 同時，由于碗放在無限大的液體中，因此可近似認為在撒克遜碗的下沉過程中，va≈0. 此時，a點處流體的壓強可近似用靜流體的壓強來描述(即pa=p0)，b點處的壓強可近似寫為pb=p0+ρgy. 在上述條件下，可將(5)式進一步化簡為

(6)

其中，定義hd≡hout-y，表示t時刻碗內(nèi)外液面高度差.

事實上，撒克遜碗在液體中緩慢下沉，因此可以將下沉過程當成準靜態(tài)過程處理. 即在很短的時間內(nèi)，碗受到的重力和浮力相等：

m0g=[Vout(hout)-Vin(y)]ρg.

(7)

化簡(7)式，可以得到：

(8)

其中Vout和Vin與碗的形狀有關(guān). 一旦碗的質(zhì)量、形狀及液體的密度確定，則(8)式中僅有hout和y變量. 這里，不妨假設(shè)hout與y的變化關(guān)系為

hout=f(y)，

(9)

此時，變化關(guān)系f由Vout,Vin,m0和ρ唯一確定. 將(9)式代入hd的定義式，即可得到：

hd≡hout-y=f(y)-y.

(10)

從(10)式可以看出，撒克遜碗在液體中的下沉過程，碗內(nèi)外液面高度差將僅與碗內(nèi)液面的高度值有關(guān).

將(6)式代入(4)式，得到：

(11)

對(11)式兩側(cè)求積分，得到當撒克遜碗內(nèi)液面高度為常數(shù)y0時，所用的時間為

(12)

其中，ymax為碗口與外液面齊平時(即hout=h0)碗內(nèi)液面的高度.

為了能夠定量分析(12)式的理論結(jié)果，以圖3所示的圓柱形撒克遜碗(即碗的形狀參量可寫出解析表達式)為例做進一步分析. 在這種情況下，碗內(nèi)液面處的橫截面積Sin(y)、碗外液面處的橫截面積Sout(hout)均與時間t無關(guān)，分別為

(13)

(14)

t時刻碗內(nèi)液體體積和碗外排開液體的體積為

(15)

(16)

分別將(15)和(16)式代入(8)式，可以得到：

(17)

結(jié)合hd的定義式，可以得到：

(18)

最終，將(13)和(18)式代入(12)式中，即可得到撒克遜碗在液體中的下沉時間為

(0≤y0≤ymax).

(19)

積分后可得：

(20)

從(20)式可以看出，撒克遜碗在液體中的下沉時間t與碗的質(zhì)量m0、碗的內(nèi)外半徑rin和rout、液體密度ρ、缺口面積S以及常量K有關(guān).

2 實驗研究

圖4 圓柱形碗實物圖

首先，以自來水(使用密度計測量其密度為ρ=1.01 g·cm-3)作為液體，研究撒克遜碗在液體中的下沉時間. 將14個配重小鋼球均勻粘貼在碗的底部，用精密電子秤測量出配重后碗的總質(zhì)量為m=70.16 g. 值得注意的是，由于配重鋼珠在液體中也會受到向上方向恒定的浮力，因此實驗中撒克遜碗的有效質(zhì)量m0可認為是配重后碗的總質(zhì)量扣除配重鋼珠所受浮力對應(yīng)的質(zhì)量(即：m0=m-nρVs，其中，n表示使用配重鋼珠的數(shù)量).

將上述撒克遜碗放入自來水中，使用手機拍攝下沉過程的視頻，利用Tracker軟件對視頻進行逐幀分析，即可得到碗內(nèi)液面高度和視頻幀數(shù)的變化關(guān)系. 最后結(jié)合每幀所需時間，得到撒克遜碗下沉時間與碗內(nèi)液面高度的關(guān)系，如圖5所示. 實驗中，由于n=14，粘合劑的質(zhì)量為4.6 g,因此碗的有效質(zhì)量為m0=58.16 g.

圖5 撒克遜碗下沉時間t與碗內(nèi)液面高度y0的關(guān)系

從圖5可以看出，撒克遜碗在水中下沉時，下沉時間與碗內(nèi)液面高度呈線性關(guān)系，因此撒克遜碗可以作為有效的計時工具.

圖5中的擬合曲線是將上述各測量得出的實驗參量代入(20)式后，擬合(僅有1個與孔洞的形狀以及液體黏度有關(guān)的常數(shù)K為待定系數(shù))實驗數(shù)據(jù)得出的. 擬合得到K=0.057.

為了驗證上述理論結(jié)果以及擬合K值的正確性，在其他條件不變的情況下，僅改變碗的質(zhì)量(即改變配重鋼珠的數(shù)量)，使用上述實驗方法，得到了在不同有效質(zhì)量下，撒克遜碗在水中下沉時間隨碗內(nèi)液面高度的變化，如圖6所示. 圖6中，所有理論曲線，均是將已知實驗參量，并將圖5擬合K=0.057代入(20)式得到的. 可以看出，理論曲線和實驗數(shù)據(jù)基本吻合，進一步證明了理論分析結(jié)果的正確性. 同時，從圖6還可以看出，在同等條件下，撒克遜碗的質(zhì)量越大，其在水中下沉時間將越短.

圖6 不同m0撒克遜碗下沉時間與碗內(nèi)液面高度的關(guān)系

進一步分析撒克遜下沉所用總時間隨撒克遜碗質(zhì)量之間的變化關(guān)系，如圖7所示. 從圖7可以看出，隨著撒克遜碗質(zhì)量的增加，其在水中下沉的總時間將非線性地減少.

圖7 撒克遜碗下沉總時間與碗質(zhì)量的關(guān)系

下面分析液體密度對撒克遜碗下沉時間造成的影響. 通過在自來水中加入一定量的鹽，即可改變液體的密度(利用密度計直接測量). 仍然使用圖5對應(yīng)的實驗參量及實驗方法，在不同液體密度下撒克遜碗下沉時間隨碗內(nèi)液面高度的變化，如圖8和圖9所示.

圖8 不同液體密度下，下沉時間與碗內(nèi)液面高度的關(guān)系

圖9 撒克遜碗下沉總時間與液體密度的關(guān)系

從圖8～9可以看出，液體密度越大，則撒克遜碗液面上升單位長度所用的時間將越長. 但是液體密度在小幅度變化時，對撒克遜碗下沉時間造成的影響不大. 值得注意的是，圖8～9中所用的理論曲線，均是將上述實驗參量代入(20)式后直接得出的. 可以看出，實驗結(jié)果和理論曲線吻合得較好，進一步證明了理論分析的正確性.

上述實驗研究所用的圓柱形碗為硬質(zhì)塑料碗，盡管其形狀參比量較容易寫出數(shù)學關(guān)系式，但是實驗過程中也發(fā)現(xiàn)，該類型碗由于材質(zhì)比較硬，不便于制作形狀、大小相同的孔洞. 為了分析撒克遜碗底缺口面積對下沉時間造成的影響，研究了如圖10所示的軟質(zhì)塑料碗. 這種材質(zhì)的塑料碗，可以方便地在其底部制作形狀以及大小一致的孔洞.

從理論分析結(jié)果(12)式可以看出，由于圖10所示碗形狀的數(shù)學解析表達式無法直接寫出，因此(12)式中的積分部分無法給出任意液面高度時的結(jié)果. 但是，一旦碗的形狀結(jié)構(gòu)以及碗的高度確定，則積分量應(yīng)為一常數(shù)值，即(12)式可改寫為

(21)

其中，C為常量. 可以看出，撒克遜碗下沉總時間應(yīng)與缺口面積呈反比例函數(shù)關(guān)系.

圖10 軟質(zhì)撒克遜碗實物圖

實際實驗中，可通過2種方式增大缺口面積：一種為直接增大缺口的面積，另一種為制作若干形狀結(jié)構(gòu)相同的孔洞(有利于定量分析). 值得注意的是，增加形狀結(jié)構(gòu)完全相同的孔洞數(shù)量后，可以分別對各個孔洞和液面處建立伯努利方程. 從式(3)的具體分析可以看出，通過增加孔洞的數(shù)量，與只增加1個孔洞的缺口面積，進而使撒克遜碗的缺口面積增大的分析結(jié)果是等效的.

為了驗證以上結(jié)果，將16顆鋼珠粘貼在撒克遜碗底部作為配重(圖10)，依次使用大頭釘、牙簽、直徑為0.225 cm的筆芯，由碗內(nèi)向碗外方向在碗底部同一位置鉆出孔洞(即每個孔洞的缺口面積為S0=3.98×10-2cm2). 鉆孔后，將筆芯固定在孔洞中24 h以上，即可避免開孔過程中軟質(zhì)塑料發(fā)生少量的彈性形變以及開孔后軟質(zhì)塑料回彈，造成孔洞縮小的后果. 通過改變孔洞的數(shù)量γ，改變?nèi)隹诉d碗的缺口總面積S=γS0.

仍然使用密度ρ=1.01 g·cm-3的自來水作為液體，實驗測量了圖10撒克遜碗下沉總時間隨孔洞數(shù)量(等同于缺口面積)的關(guān)系，如圖11所示. 從圖11可以看出，隨著孔洞數(shù)量(等效于缺口面積)增多，撒克遜碗下沉總時間將非線性地減小. 圖11的理論曲線是用(21)式擬合得出的，擬合結(jié)果C=465.8 s·cm2. 可以看出，實驗結(jié)果和理論預(yù)期基本一致.

圖11 下沉總時間隨缺口面積的變化關(guān)系

3 結(jié) 論

從理論和實驗對撒克遜碗計時裝置進行了研究，建立了較為簡單的物理模型，分析了撒克遜碗下沉時間與碗質(zhì)量、缺口面積、液體密度的關(guān)系. 理論分析表明：撒克遜碗底缺口面積越大，或撒克遜碗質(zhì)量越大，則其在液體中的下沉時間越短. 液體密度越大，下沉時間越長，但液體密度對下沉時間的影響并不明顯. 在理論分析的基礎(chǔ)上，制作了2種類型的撒克遜碗，利用Tracker軟件對其下沉時間進行了實驗驗證,實驗結(jié)果與理論分析基本一致.