連珠成線 連線成片

董衛鳳

當新課程不再“新”，解決問題也不再是“問題”，“解決問題”還是讓老師們感到困惑。

教師困惑之一， “解決問題”的信息呈現花花綠綠可以接受，一個例題出來后，并不像以往“應用題”那樣有“相似情境、相似結構、相似問題”的練習也接受，但是例題和練習不匹配，練習范圍廣、變化多，讓人難以捉摸，學生錯誤多。教師困惑之二，當教師引導學生關注怎么解決問題的過程和方法，卻發現教材不再提供數量關系的分析，數量關系到底怎么控制一個“度”，教材沒有“完整總結”，“解決問題”似乎變得教學結構不清，思路難定。

問題即挑戰，面對教師在解決問題教學中的困惑，我們確立校本教研以“解決問題教學”為研究主題，主要探求幾個問題：怎樣正確解讀解決問題教學的教材？怎樣定位解決問題教學中的學生難點？怎樣進行解決問題學法指導？筆者和同事們以《有余數除法解決問題》教學節為例，對以上問題進行探索和研究。

一、解讀教材文本

我們首先思考教材，教材是否存在問題？我們教師究竟怎樣解讀教材？

思考一：解決問題的教材，真的很凌亂嗎？

解決問題的教材，真的是零打碎敲嗎？真的沒有章法嗎？真的是例題一類練習一類嗎？教研組的老師對二年級下冊“有余數除法解決問題”的第67-71頁進行了分析，選擇典型分析列表如下

教材解讀分析：

根據上表所示，人教版二年級下冊《有余數除法解決問題》的教材編寫，應該說教材的編寫者確實有其獨到之處。

（1）仔細解讀文本，類型全面并不凌亂：人教版二年級下冊第67頁到第71頁的有余數除法15道解決問題，涵蓋了有余數除法的幾大類型。第一類，與有余數除法計算教學緊密結合的問題，類似“可以坐滿幾輛車，會有剩余的人嗎？”的“兩問式”典型問題;第二類“至少要租幾條船”的“求至少”的“進一類”問題，第三類“最多可以買幾瓶？”的“求最多”的“去尾類”;第四類 “再過多少天是星期幾？”的等余問題類;如練習十五第6題;第五類“這條彩帶有多長”，有余數除法的逆用類。第六類綜合應用，多種情境組合的有余數除法解決問題。

（2）通讀2-5年級教材，呼應緊密一脈相承：

本課教學，對于有余數除法的計算，包括口算、筆算，學生已有了能力上的儲備。有余數除法為三年級學習一位數除多位數打基礎，解決問題部分與五年級的用“去尾法”“進一法”“四舍五入法”求商的近似值一脈相承，余數在周期性問題中的運用是一二年級“找規律”從圖形到式題的一次思維提升。

（3）橫向比較6個版本教材，思路相似目標接近：

筆者查找了人教版、蘇教版、北師大版、現代小學數學等幾個版本的關于有余數除法解決問題的電子課本。蘇教版、北師大版的教材把“有余數的除法”放在二年級下冊，西南師大版安排在二年級下冊，現代小學數學比較側重有余數除法解決問題的意義理解，而北師大版的數學關于有余數除法解決問題中的《租船》更具典型性，特別是其中關于最多與最少的闡述最明確，最清楚，對有余數除法的余數進行合理取舍能有明確的認識，而人教版關于此節的編寫優點是起點低，但最后的提升深度綜合性特強，事實上各個版本的編寫形式不同，編排總體目標大略相同，各個側重點其實是一脈相承。

（4）再讀《課程標準》，更關注溝通思維聯系

為什么一個解決問題例題后面有這么多“看似不配套”的練習題，通過課程標準對解決問題的目標定位的再學習，解決問題的編排必然更具應用性，為構建良好的認知結構，溝通知識間的聯系，必然有相對豐富的編排形式，其目的是關注讓學生關注解決問題的過程，揭示思維的關鍵，溝通知識、方法之間的聯系。

教材解讀結論：

解決問題的教材并不凌亂，它對學生學習興趣激發、應用意識增強、創造意識提高方面的作用不容置疑，而且囊括各個類別，相對 “一個范例進行訓練” 要求更高，更注重內在數量關系的理解和聯系。

二、解讀學習難點

教師經常抱怨，學生對于解決問題的掌握得不好。那么解決問題的學生難點，難在何處？

思考二：解決問題的教材，學生學習的難點在哪？

分析人教版教材而下第六單元練習十五第8題（如圖），此題難度系數最大.

此題的題意為：

有康乃馨22枝、玫瑰16枝，蘭花10枝，請用7枝康乃馨、3枝玫瑰、2枝蘭花扎成一束。這些花最多可以扎成多少束這樣的花束？

22÷7=3（束）……1（枝）16÷3=5（束）……1（枝）10÷2=5（束）

結論：這些花最多可以扎成3束這樣的花束。

我們對此內容進行前測和后測。

前測：二年級未上過該內容的同學前測正確率為4%。

后測：二年級非實驗班和三年級同學已經學過該內容，后測正確率32%和37%。學生的錯誤樣式如下：

后測錯誤樣式

錯誤樣式一：

22÷7=3（束）……1（枝）16÷3=5（束）……1（枝）10÷2=5（束）

結論：最多可以扎成5束

分析原因：學生理解可能“最多”要找商中最大的那個數的。

錯誤樣式二：

22+16+10=48（枝） 7+3+2=12（枝） 4 8÷12=4（束）

結論：最多可以扎成4束

分析原因：可能，受有余數除法結構思維定勢影響，人為構造一個總數和一個每份數。

錯誤樣式三：

22÷7=3（束）……1（枝）16÷3=5（束）……1（枝）10÷2=5（束）

3+5+5=13（束）

結論：最多可以扎成13束

分析原因：學生理解幾個扎在一起，就是把幾個商合并起來。

老師們很困惑——（1）教材為什么編寫綜合性這么強的解決問題？（2）此題歸結到哪一種數學思想呢？（3）此題與前面所學的有余數除法到底是什么樣的關系呢？

教師關于解決問題的抱怨，其實并不僅僅因為解決問題的練習數量少范圍廣，更在于教材關于解決問題凸顯“數學思考”的發展，綜合性較原來要強多了，而我們的學生探究和分析能力彰顯薄弱。

老師們很期待——（1）有什么辦法讓學生比較順暢地理解類似題目的題意？（2）可以建構怎樣的模型讓突破學生認知難點？（3）怎樣讓學生的模糊識記變成意義理解，形成分析理解探究能力？

結論：既然是難點，就有必要把此類題目進行研究，在學生感覺困惑之處加以點撥，幫助學生突破難點。

三、關于解決問題學法指導

鑒于以上對課程標準及教材的解讀和對學生認知發展水平的分析，教研組的成員認為：學生解決問題的難點已經明確，解決問題的目標已可以準確定位，由此歸結為學法指導方面的問題：解決問題如何使教學“形神均不散”，有效突破教學難點，從而構建良好的認知結構（知識同化），提升數學思考的能力？

策略一：抓內核主干，殊途同歸體現“神不散”

著名數學家華羅庚曾有句名言：讀書要從薄到厚，再從厚到薄。數學學習更是如此。人教版教材，有余數除法解決的問題，共編排六種類型，屬于“大而全”，而一個例題是無論如何無法囊括所有類型的，那這些類型必然有一個核心主干。

分析有余數除法解決問題的類型，盡管千變萬化，但都可以歸結到運算意義——有余數除法的意義、商和余數的意義。而抓住這一點，等于抓住了解決問題的主干。

比如《有余數除法解決問題》的導入部分，筆者安排了一組辨析題：

①扇子隊有25人，演出時隊形變換，每個圓圈站4人，可以站成幾個圈，還剩幾人？

②扇子隊有25人，演出時隊形變換，站成4個圓圈，每個圓圈幾人，還剩幾人？

解題1：25÷4=6（圈）……1（人）

解題2：25÷4=6（人）……1（人）

這一組題，從外在形式上看，是結果單位名稱的不同，但是從數學角度看，當學生解決問題后，最后歸結到對除法意義的理解上，實際是映射了數學課程標準的這句話：解決問題教學必須讓學生經歷從現實背景中感受和體驗數學，發展學生根據運算意義解決問題的能力。

“這一組題非常有意思”，有位特級教師這樣評價，“解答后，讓孩子們辨析這組題的題目和答案的異同，那就會真正去想商和余數的意義。”

思考：課程標準指出，將小學應用題教學與運算教學緊密結合，讓學生在建立數學概念、原理和方法的過程中理解和解答應用題，發展學生根據實際情況和運算意義解決問題的能力。

凸顯概念意義，挖掘運算意義，溝通內在聯系，正確理解商和余數的意義，理解除法的意義，可以溝通六大類問題之間的內在聯系，萬變不離其宗，使解決問題從“大而全”到“少而精”，從而使學生的數學學習有完整而系統的建構，書由此從厚而薄。

策略二：揭思維關鍵，溝通知識方法聯系

學生解決問題，因為個體生活背景和認知水平的差異，會出現各種各樣的解題策略與思考，這其實是很好的教學資源，通過典型題例辨析，可以促感性認知升華，去除表象抽取特征，實現數學模型的意義建構。

例：二年級34位師生去參加跨湖橋美食節，每張桌子限坐4人，至少需要幾張桌子？

跨湖橋美食節，洪七公叫化雞每份8元，20元錢最多可以買幾份？

解決這個問題，我們讓學生進行“三辨”。

第一辨：商加1與商不加1的辨析

對于第一問，學生有兩種解法。

解法1：34÷4=8（張）……2（人）;……………………（×）

解法2：34÷4=8（張）……2（人）8+1=9（張）。…… ? ?（√）

兩種解法的區別，第一種是兩問式典型有余數除法解題思維定勢，第二種是商和余數進行合理取舍。通過兩種方法的辨析，歸結到商和余數的意義，強調余下2人必須要給他們安排座位，去掉余數，所以商8必須加上1。

第二辨：“至少需要幾張桌子？”與典型“兩問式”問題的差異

孩子們解決問題時其實已經明白了余數要合理的取舍。重點引導對“至少”認識，明確“至少”在保證人人有座位的情況下的“至少”，這樣讓孩子們在理解商為什么要加1時，不僅僅是一種直覺和感性認識，而是學會了對題目信息的剖析，使自己的解答顯得有理有據，在感性認識的基礎上升華。

第三辨：“至少”與“最多”辨析

至少需要幾張桌子？最多可以買幾份？

最多與至少，是一組很值得回味的概念情境，通過組題辨析，學生能從實際問題的解決中理解有余數除法的應用，而且引導孩子們關注題中信息的剖析，能豐富孩子們對有余數除法解決問題不同的表達形式。

結論：“第一辨”實質是學生解決問題的原點，從實際生活中理解有余數除法的意義，關注學生剖析、梳理、提煉、處理數學信息的能力，讓他們根據信息提出數學問題。“第二辨”是觸發學生對不同問題情境不同目標指向的思考，讓學生明確“問題不同”導致解決問題的答案和思考不同，讓學生們理解小學數學學習不是也不可能所有問題都是典型的“問題”和“解決問題”，它必然需要有意義的接受——思維的訓練。“第三辨”是解決問題后的思路整理和回顧，從前面兩個梯度的問題對比，引發學生對于“至少”與“最多”的理解，讓學生自主探索、合作交流中分析。這樣的“三辨”，由低到高，揭示了數學思考的思維本質，溝通了知識方法的聯系，實現解決問題的意義建構。

策略四：情境串接，一線串珠 “形不散”？

由于解決問題類型各不相同，如果老師只是照本宣科地按照順序一題一題呈現，學生一則興趣不大，二則目標定位較高，學習效果肯定不會很理想。所以考慮創設數學情境，就像主題圖一樣，把每部分的題材串起來，既凸顯數學性，又照顧學生的生活和年齡實際，讓課堂“形神都不散”

為此，一線串珠，把不同目標取向的數學素材用適當的情境有效串接。在教學預案設計時，我們充分利用了“跨湖橋美食節”這個實實在在的地方資源，有機容納四個類別問題（如下表），達到形不散。

本課的教學，教師選取的是“跨湖橋文化節”的主題情境，但在教學中每一個環節教師都盡量少說“廢話”，關于生活主題情境的闡述，除了課前談話1分鐘左右以外，其它各個環節連結語總時間不超過1分鐘。

“我覺得整體的課結構很好。能夠緊密結合當地的文化進行教育。不過請注意，課的引入過程中，介紹當地的一些活動，要快一些不要化時間太多。這些事學生是相對比較熟悉的，所以不必太詳細。”（特級教師指導。）

結論：教學情境既激發興趣，又始終明確數學教學的目標要求，達到形神都不散。

策略五：化靜為動，直觀表象構建思維支撐點

人教版練習十五的第8題，無論前測還是后測，都顯示一個事實，學生獨立解決這個問題有難度。下面是根據教材改編的教學素材：跨湖橋文化節十大名菜展評中推出一道“孔雀開屏”。

癥狀：根據前測和后測，學生近50%的學生能得到三個算式，

14÷3=4（盤）……2（個）7÷1=7（盤）19÷2=9（盤）……1（個）

但是得到正確答案“4 ”很難

難點分析：為什么此題對學生而言很難，綜合性體現在哪？

設計這道題目的編寫者的意圖，除了讓學生鞏固理解“最多”的余數取舍方法，此題蘊含的數學思想是什么？筆者感覺此題設計是兩次“最多”的綜合運用，第一次是余數的取舍，“蘋果多余的只數”要去掉，“菠蘿多余的只數”要去掉;第二次是組合事物商的取舍，“橙子多余的盤數”要去掉，“菠蘿多余的盤數”要去掉，蘊含的數學思想的根據是“包含與排除”的初步理解，7、4、9只能共同擁有4，所以最多只能做4盤“孔雀開屏”。

難點根源：多樣物體進行“兩次取舍”，其中蘊含的數學思想，學生缺乏感性經驗支撐

采取對策：抽象的“數學思想”，用具體直觀演示做支撐。第一層面讓學生從數學數量和數學思想方法的角度尋找解決問題的策略，第二層面借助課件直觀地演示，用動態的形式，讓學生在感性認知的基礎上理解剛才的知識，形成同化。

課堂片段：同學們有很多答案，咱們用課件幫助我們證明一下。（先放菠蘿，再放蘋果，最后放橘子。）（生隨著課件演示，說出每次變化。）

動態演示—————————————————————

逐步演示后提問：最多能放幾盤？為什么？

學生思考后回答：4盤。此時有學生已經能表達自己的思維：因為4是三個商中最小的，大家都包含有的量，所以當幾樣東西組合在一起，要選擇商最少的，咱們把這句話讀一讀。我們發現：幾類事物組合在一起，取商最小的。這是數學思考的飛躍。

結論收獲：現行小學數學教材為教師提供了豐富的教學資源，教材例題和習題內容也比較貼近學生的生活實際，符合學生的年齡特點，但這些畢竟是靜止的東西，要引起學生的注意和興趣還有很大的欠缺，而學生往往對活動的事物更感興趣。如果遭遇思維過程相對復雜、學生理解有一定的困難的內容，適當改變習題呈現方式，把這些靜止的資源活動化，可以增加直觀性、趣味性，更利于突破難點。

上例中抽象的“數學思想”，用具體直觀演示做支撐，化靜為動，在學生有了直觀感受以后，再留時間讓學生自查、內化，并有提升和總結性的語言，幫助學生表達自己的認識，這樣他們對這類問題的解決就會比較到位。

綜上所述，解決問題在內容上，并不局限典型例題，關注解決問題的思維過程;在形式上，突破了例題和練習“單打一”形式，更豐富更廣闊，感覺上給教師帶來很多困難。實質上，解決問題這樣的編排更關注原先“應用題”編排的目標的落實——重視思維方法的訓練（分析思維、綜合思維）和思維品質的培養;

所以，突破“解決問題”教學疑難，對教師而言，必須對教材深入剖析，包括挖掘教材每道題的編排意圖和代表類型，包括數學知識和生活情境之間的生長點聯結點，包括眾多版本的的教材的比較分析，這需要創新和探索;必須對學生進行深入分析，包括剖析學生已有生活經驗和認知起點，包括剖析學生思維困惑的成因和對策，這需要創新和探索;必須對學生進行適恰的學法指導，重視算式意義的理解、思路的表述和思維關鍵的揭示，重視分析方法的討論和數量關系的提煉，任何數學問題的解決都不能直接依賴已有的知識和方法，只有通過對已掌握的知識和方法的重新組合并生成新的策略和方法，才能實現問題的解決，這也需要創新和探索。

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