以最大slice態為信道的受控量子遠程控制

彭家寅

內江師范學院 數學與信息科學學院，四川 內江641199

量子糾纏是量子計算和量子信息理論的核心，它被用作執行諸如量子安全直接通信[1-2]、量子密鑰分配[3]、量子對話[4]、量子簽名[5]、量子隱形傳態[6-7]、量子態分享[8]、量子信息集中[9-10]和遠程態制備[11-12]等量子任務的物理資源。在這些量子任務中，糾纏的一個引人注目的應用是由Bennett 等于1993 年提出的量子隱形傳態[13]，它允許以Einstein-Podolsky-Rosen對為量子信道來實現任意單量子態的隱形傳輸。除量子隱形傳態外，量子糾纏還允許人們將任意的酉算子從發送者Alice 傳送給遙遠的接受者Bob，以操控某些量子態。稱這種量子算子的傳輸為量子算子的遠程實現（有時也稱它為量子遠程控制），它將在分布式量子計算、大規模量子模擬、量子程序或其他遠程量子信息處理任務中發揮重要作用。Huelga等[14]提出的第一個量子遠程控制方案，探索了在遙遠的量子系統上傳輸任意酉算子的方法。即Alice可以對位于遠處的Bob 所持有的量子態實施任意酉運算U，這個任務通過雙向量子態隱形傳態來完成。隨后，一些量子遠程控制的理論方案被提出[15-20]，并且用線性光學元件也證明了單光子的遠程旋轉可以實驗實現[21]。值得指出的是，當酉算子是完全未知的時候，才需要雙向隱形傳態來實現量子遠程控制；而當酉算子取自某些限制集時，則需要較少糾纏資源且無需雙向隱形傳態就能實現量子控制[15-16,19-21]。為了提高量子遠程控制協議的安全性，Wang于2007年率先提出了一個關于部分未知酉算子的受控遠程執行方案[22]。此后，利用不同量子糾纏資源的酉算子的受控傳輸協議被報道[19,23-26]。

近年來，人們對一類特殊的部分糾纏態——最大slice（MS）態——進行了研究[27]。2008年，Gao等[28]利用三量子MS態

的受控聯合遠程態制備協議。

Zhou 等[31]討論了基于MS 態信道的受控遠程實系數多量子態的制備。本文以三粒子MS態為信道，研究任意單量子酉算子的遠程執行問題。僅當與控制者合作，一個任意單量子酉算子才能在接受者的量子系統上被遠程地執行。此外，還討論取自限制集的部分未知酉算子的受控遠程執行問題。

1 任意單量子酉算子的受控遠程實現

其中，a和b是實數，且滿足歸一化條件a2+b2=1。該態中量子C與量子B、A之間的糾纏度由參數b確定。如果b=0，則：

其中，s,t=0,1，⊕表示模2 的加法。常用的Pauli 算子可寫成：

其中，k,l=0,1。

本章的量子任務是在監控者Charlie 的控制下，發送者Alice 把一個任意未知單量子酉算子Uτ應用到遙遠的接受者Bob 的量子系統上。具體地，假設Bob有處于如下量子態的量子B′：

其中，j=1,2，量子A1和A2屬于發送者Alice，量子B1和B2屬于接受者Bob，而量子C1和C2屬于控制者Charlie。

為完成量子任務，本協議設計成如下連續6步來完成。

這表明通過上述6步后，單量子遠程控制任務就完成了，并且成功的概率為100%。

2 部分未知單量子酉算子的受控遠程實現

眾所周知，在量子信息處理中，所需的量子糾纏和經典通信耗費扮演著十分重要的角色。在量子遠程控制中，如果被執行的量子算子是部分未知酉算子，那么經典通信和量子糾纏耗費是可以減少的。本章考慮利用三量子MS態為信道，取自兩個限制集的部分未知酉算子的受控遠程執行問題。

文獻[15]給出了取自限制集的部分未知酉算子Ud(d=0,1)為：

其中，θ是任意實數。換言之，矩陣中非零元素的值是未知的，而矩陣的結構——非零元素的位置——是已知的。

對于酉算子Ud的受控遠程執行，Alice、Bob 和Charlie 如第1 章那樣預先分享一個三量子MS 態（1），即量子A屬于發送者Alice，量子B屬于接受者Bob，而量子C屬于控制者Charlie。此外，Bob 有處于態（3）所示的量子B′。由量子A、B、C和B′構成的初始系統總態為：

其中，k,l=0,1。然后，Alice 對量子A執行如式（4）所示的部分未知酉算子Ud(d=0,1)，則式（6）所示態變成：

3 結論

本文研究了基于三量子最大slice態為量子信道的單量子態之遠程控制問題，提出了酉算子的受控遠程執行的兩個協議。在第一個協議中，通過非最大糾纏量子信道以及所有參與者的合作，任意單量子酉算子能夠在遙遠接受者的量子系統上被遠程地執行。當發送者和控制者對各自量子施行適當的投影測量時，該受控量子遠程控制方案的成功概率達到1。在第二個協議中，利用非最大糾纏態作為量子信道，提出了確定性的部分未知單量子酉算子之受控遠程執行方案。結果表明，如果被遠程執行單量子酉算子取自于兩個限制集，那么量子糾纏和經典通信耗費都能減少。

在本文所提出的兩個方案中，盡管量子信道是非最大糾纏的，但單量子酉算子的受控遠程執行協議的成功概率仍然達到了1，它等于以最大糾纏態為信道的受控量子遠程控制協議[32]的概率。不同于基于非最大糾纏信道的方案[33]，本文方案不需要引入輔助量子去改變信道為目標信道。產生上述兩個結果的原因是作為量子信道的MS態：

去測量自己的量子C，則發送者和接受者的量子的態總是塌陷成兩個最大糾纏的Bell態

之一。當控制者通過經典信道公布自己的測量結果時，發送者和接受者就會知道他們分享的具體Bell態，并且用它就可以進行標準的量子遠程控制。因此，這樣的方案不需引入輔助量子，且成功的概率和保真度都為1，而與量子信道的糾纏度無關。