對《六西格碼管理》響應曲面、混料設計實例分析的探討

◆ 俞鐘行 / 文

響應曲面與混料（也稱“配方”）設計，每一種都是在DOE（試驗設計）領域特色鮮明且重要的品類，在六西格瑪管理（第二版）[1]中基于“五步法”作了詳細介紹，所用軟件為Minitab。本文基于excel和因素趨勢圖的方法[2]來分析同例的數據，得到結果相同但在綜合成本上有明顯下降。

1 響應曲面法

1.1原例7-8“粘合劑生產條件優化問題”簡解：在粘合劑生產中，經過因子的篩選，得關鍵因子A(溫度、temp)，低水平200度、高水平300度；關鍵因子B（時間、time），低水平40秒、高水平70秒。為求最大（粘性、stick ）Y，做全因子試驗22，又在中心點250度、55秒也做了3次試驗，試驗結果見表1。

原例后來又補做4次星號試驗，構成11個點的CCC（中心復合序貫設計），最后得到回歸方程：y=-377.43+0.056A+0.109B-0.000002A2-0.000051B2，相關系數R=0.996，標準誤差s=1.269。最優解為：A(溫度)=2 6 0.5 6度、B（時間）=67.98秒時，粘性Y=50.68。

1.2用“因素趨勢法”求解：先做常規的極差分析，并畫因素趨勢圖，見表2、圖1。

表1 全因子試驗22+3次中心點試驗

表2 22+3試驗的極差分析

如果直接對表1用excel“數據分析”中“回歸”模塊分析，擬合效果很差，如復相關系數Multiple R= 0.563599、標準誤差s= 9.917526、方程p 值=0.465611等。但是圖1提示我們：兩個因子強度相當，且都呈現還算比較規范的“角”狀，根據經驗它們都是“二次項”。經操作，如果把A、B、A2和B2都用來做回歸擬合的話，由于總的試驗次數才7次，得不到正確結果。最后插入A2和B2，刪去B，按表3情況回歸，得回歸結果見圖2。

圖1 粘度Y的因素趨勢圖

表3 22+3試驗（回歸前變項）

圖2 經變項后所得的回歸結果

總的來說，這個回歸結果相當令人滿意，與原例（多做4次試驗）相比回歸系數基本相等，只標準差大了7%。圖2中最下表中各項的P-value也全都小于0.01。得到的回歸方程為：

現在用excel的“規劃求解”對方程選優（望大）。結果是，無論初始值設為0，還是設為表1中實測結果最好的A=250、B=55，最后得到的最優方案都是A=258.5276度、B=70秒、Y=53.36508。總的來看，這個結果至少不比原方案差，但在試驗次數及數據分析成本上都顯著降低了。

表4 四因子二階單純形格子點混料設計

2 混料設計（配方設計）

2.1原例7-11“新型高強度合金鋼配方設計問題”：在新型高強度合金冶煉技術中，關鍵是添加劑的配比問題。添加劑由A、B、C及D共4種成分構成。采用四因子二階單純形格子點設計，共進行10次試驗，其試驗方案和結果見表4。

原例用Minitab軟件，最后求得當A=0.6636、D=0.3364時，可得最大強度145.77。

2.2用“因素趨勢法”求解：先做常規的極差分析，并畫因素趨勢圖，見表5、圖3。

在因素趨勢圖的提示下挑選交互作用項時，宜優先考慮至少其中之一是最強因子。如這里A是最強因子，而且它的走勢也與B和D明顯交叉。當然這也是經excel“回歸”模塊的實際操作驗證的。最終插入3個交互作用項AB、AD和BC，如表6所示。

對表6用excel的“回歸”模塊分析，結果為圖4，各個指標都令人滿意，僅BC的P-value略大于0.05。

最后就是用excel的“規劃求解”對方案選優，但要注意“混料設計”的特殊性。假設在excel電子表格的A62：C67處設置好規劃求解區域的標識（參見表7，但目前應認為表7中的數字都是沒有的）。注意在C67處鍵入約束條件：“=SUM（C63:C66）”，然后在A63處輸入回歸方程：y=142.152A+136.3186 B+133.2402C+132.4069D+11.05 882AB+30.88235AD-7.11765BC（系數從圖4最下表的Coefficients列獲得，方程中的A～D就是電子表格的C63：C66）。在規劃求解的對話框里的設置見圖5，注意到約束條件里有個$C$67=1就是針對混料設計約束條件的。

表5 四因子二階單純形格子點混料設計極差分析

圖3 混料設計因素趨勢圖

無論是初始條件設為0，還是設為表6中實測最佳的第4次條件A=0.5、B=0、C=0和D=0.5，規劃求解后的結果都如表7所示。應當認為這與原例用Minitab所得結果是一樣的。

表6 插項后的excel電子表格界面

圖4 經插項后的回歸結果

圖5 規劃求解的設置

表7 規劃求解的界面