基于各向異性晶體的光學微分運算*

余晨 楊華 陳書圓

(湖南大學信息科學與工程學院, 長沙 410082)

光學微分運算是邊緣圖像的光學檢測核心原理, 與傳統的數字圖像處理方法相比, 具有效率高、結構簡單且無需考慮算法和功耗等優點.本文提出一種基于各向異性晶體的光學微分運算裝置, 用定制的晶體片實現光的空間分化, 從而實現多角譜分量下的全方位邊緣成像.本文中的方案需要將光束的左右旋圓偏振分量橫向分離, 再對中間部分的線偏振光進行濾波處理.該方案主要是基于各向異性晶體的雙折射效應, 整個裝置整合為一條筆直的光路, 與自旋霍爾效應和超表面相比, 具備原理簡單、成本較低且成像穩定的優點, 不過對晶體的厚度有較高的要求.實驗結果也較為理想地驗證了此方案, 未來可望在量子觀測、生物細胞和醫學等領域實現一定潛在應用.

1 引 言

光作為一種天然的模擬信號, 本身攜帶了大量信息, 在數據處理、相位挖掘以及精密測量等方面扮演了重要角色.數字電路與信號處理中, 為了達到相同的效果, 往往使用模擬信號更簡單[1,2], 而且模擬信號不存在量化誤差, 可以更好地還原自然物理量的真實值.所以與日益成熟的數字信號處理、數字電路技術相比較而言, 信息光學中的光學模擬計算有著巨大的發展潛力[3?5].

傳統的數字信號處理大量數據時會對功耗和復雜集成電路的設計提出較高的要求, 也存在著高頻工作狀態下的性能問題[6?8].近些年來隨著大數據和云計算的發展, 圖像的信息處理伴隨著對現實特征的還原和增強, 與人工智能的冗雜的算法和海量的數據吞吐不同, 基于光學的邊緣圖像處理方案失真度較低, 理論結構更簡潔, 并且更容易實現微型化制作和連續圖像的處理.

光學邊緣圖像處理的關鍵在于實現光的空間微分.近幾年, 超表面[9?13]和超材料廣受關注, 利用合適的結構設計得到具備先進整合能力的模擬空間微分器.有報道指出, 光自旋霍爾效應基于簡單純粹的左旋右旋圓偏振光的分化[14?19], 能直觀地實現光學全差分操作, 從而在可調入射偏振和角度的前提下進行不同程度不同方向的邊緣圖像處理.這里, 我們提出一種基于各向異性晶體雙折射實現光束位移的方法.利用各向異性晶體可實現光束的偏移如圖1(a)所示; 圖1(b)中的四分之一波片(quarter wave plate, QWP)實現線偏振光到不同旋向圓偏振光的過渡.光束分化器如圖1(c)所示, 將一個各向異性晶體和QWP 插入一對偏振鏡組[20,21].整個裝置呈一條直線擺放的方式, 是一個小型化的邊緣檢測平臺, 并且其中的器件具有可替代性, 但是相較于超表面和超材料[22], 各向異性晶體的成本更低, 制作更為簡單.

圖1 (a) 各向異性晶體的平行分束示意圖; (b) λ/4 波片將線偏振光轉換為圓偏振光; (c) 基于各向異性晶體雙折射的成像示意圖Fig.1.(a) Schematic diagram of parallel beam splitting of anisotropic crystals; (b) quarter wave plate converts linearly polarized light into circularly polarized light; (c) schematic diagram of imaging based on anisotropic crystal birefringence.

近年來, 光自旋霍爾效應為光學邊緣微分提供了廣泛的潛在應用.我們試圖探索一條無需反射的光路來實現圖像的邊緣處理, 并借鑒這種理論的實驗數據作為實驗驗證的指標.

在我們的工作中, 基于各向異性晶體的雙折射, 偏振光在晶體內部的電場分量是相互正交的.任意方向上分裂的光產生偏振相互正交的、具備微弱空間移位的兩道分裂, 被QWP 處理, 形成左旋圓偏振光(left circularly polarized light, LCP)或右旋圓偏振光(right circularly polarized light,RCP), 如果空間移位的距離相比較光束的束腰而言足夠小, 能達到光自旋霍爾效應邊緣成像的分化量級(300 nm 左右), 那么所呈現的邊緣均為LCP 或RCP分量, 這就是所謂的圖像邊緣信息.

2 理論模型

各向異性晶體是中級晶族和低級晶族礦物的統稱, 本文主要介紹石英晶體材料的單軸晶.當一束線偏振光從空氣入射到單軸晶體當中, 入射光的場分布為

其中 γi是第一個格蘭偏振器（Glan laser polarizer,GLP）的偏轉角.

入射光在各向異性晶體中產生雙折射現象, 分為遵循一般折射傳輸規律的o 光和不遵循一般規律的e 光(此命名僅限于在晶體內部).它們的分束距離受多種因素的影響, 包括晶體內部折射率和外部入射角度等.利用惠根斯原理可知單軸晶體光軸任意取向時非尋常光折射方向的普遍計算公式:

其中

φ1, φ2分別為入射面、折射面與主截面之間的夾角;θ , η 分別為入射角和折射率; β 表示兩道分束光在晶體內部的夾角.類比于光自旋霍爾效應[22]的分束距離Δ, 各向異性晶體的加工精度基本可以做到可觀的邊緣檢測效果.

對于一束垂直入射的平面波而言, 在晶體內的o 光和e 光的偏振方向相互正交, 出射之后已經實現了空間分離, 在x, y 軸方向的對應波函數為

分束光通過QWP, 波片的快軸方向與 Ex-img,Ey-img偏振方向的對應關系可選.λ/4 波片的瓊斯矩陣

給出為

γi取時, 通過的GLP2 之后得到:

所以, 當變量Δ 足夠小的時候, 場強分布與在空間分裂方向上的微分成正比:

圖2(b)是邊緣分化前后的實測圖像, 圖2(c)中傳遞函數 H (Kx) 為電場強度的比值:

其中 Ky=0 ; Ein和 Eout分別表示輸入和輸出電場強度, 其平方與光強成正比.利用圖2(b)測得的光強數據得到具備一定濾波效果的實驗結果(圖2(c)),結果表明邊緣檢測實驗上是可行的.

實驗中的激光源為高斯光束, 經過透鏡聚焦后入射晶面具備極小的入射角, 但只對空間分裂的距離產生影響, 若選取的各向異性晶體足夠薄, 那么空間分裂的距離仍能控制在納米級別, 邊緣成像依然可行.且(2)式中 φ1, φ2∈ [0,2π] , 所以圖像平面內均存在空間微分.從原理上來說, 當調整入射偏振時, 可以在其他任意方向進行空間微分, 實現強度的可調性邊緣檢測[23?25].

圖2 (a) 光的傳遞函數演示圖, 光源為氦氖激光器(波長 λ = 632.8 nm）, 半波片（half-wave plate, HWP), 控制光強使電荷耦合裝置(charge-coupled device, CCD)成像效果達到最佳, 雙折射晶體分束器(birefringent crystal beamsplitters, BCB)和QWP 放置在兩個GLP 之間, L1 (lens 1)和L2 (lens 2)組成4f 系統, f1 = 75 mm, f2 = 175 mm; (b) 光斑分裂對比圖; (c) 實測空間傳遞函數圖Fig.2.(a) Demonstration diagram of light transfer function.The light source is a He-Ne laser (λ=632.8 nm).Half-wave plate(HWP), controlling light intensity to achieve the best imaging effect of charge-coupled device (CCD).The birefringent crystal beamsplitter (BCB) and QWP are placed between GLP1 and GLP2.L1 (lens 1) and L2 (lens 2) form a 4f system, f1 = 75 mm, f2 =175 mm.(b) Spot split comparison chart; (c) The measured space transfer function graph.

本文所提出的邊緣檢測機制概括為: 一束兼具水平和垂直偏振分量的線偏振光入射基于各向異性晶體的平行分束器, 出射的兩束偏振正交的線性偏振光, 通過QWP 后分別轉換為左旋、右旋圓偏振光.類似于光自旋霍爾效應, 只要出射光束的空間分離足夠小, 即可保留邊緣上純粹的左旋右旋圓偏振分量, 大部分中間光場重新組合為線偏振光,之后被GLP2 過濾.

3 實驗結果

實驗中(圖3)選定的入射偏振角為 π /4 , 選用超薄的各向異性晶體來實現分裂效果.基于(2)式,當垂直入射時, 平面波主截面與入射面共面, 那么折射面也將與主截面共面, 在各向異性晶體中o 光振動方向沿y 方向、e 光振動方向沿x 方向且 φ1,φ2=0,

實驗中光軸方向與刻度線垂直, 且與晶體表面呈π/4 , 所以θ 取π/4

用 厚 度d=50 mm, no=1.54265, ne=1.55170的各向異性晶體可以實現Δ = 300 nm 左右的光束分離, 這樣的空間分離效果等同于光自旋霍爾效應.如果空間分裂遠小于圖像輪廓, 那么空間光微分器得以實現.

由于使用的各向異性晶體超薄, 聚焦后高斯增強光的角譜分量不足以影響分化距離, 因而對成像效果不會產生影響.出射線偏振光在λ/4 波片處理下產生左旋右旋圓偏振分量, 再使用GLP2 達到過濾線偏振光的目的.

圖3 邊緣檢測實驗示意圖.4f 系統中4 個鏡頭的焦距分別為 75, 75, 175, 125 mm.CCD 和L4 的距離等于 f4 , 待測物和L1 的距離為 f1.兩個4f 系統完成邊緣檢測Fig.3.Schematic illustration of the edge detection experiment.The focal lengths of the four lenses in the 4f system are 75, 75, 175,and 125 mm.The distance between the CCD and L4 is equal to f4 , and the distance between the test object and L1 is f1.Two 4f systems complete edge detection.

圖4 (a)?(d) 輸入的目標圖; (e)?(h) 輸出的邊緣微分圖Fig.4.(a)?(d) Input target graph; (e)?(h) output edge differential graph.

圖2 和圖3 中的整體裝置是一條4f 系統準直光路[26], 光源是Thorlab 公司的He-Ne 激光源（λ =632.8 nm）.兩透鏡之間的距離為其焦距之和.圖3中的Object 與L1 的距離為 f1, BCB 與λ/4 波片構成實驗裝置的核心.CCD 處于其前面透鏡的后焦面上.通過調整GLP1 和GLP2, 達到消除線偏振的效果.

基于圖3 的實驗裝置, 微調GLP2, 保持GLP1的軸方向與x 軸方向成 π /4 , 實驗結果如圖4 所示,圖像的邊緣得到了良好的呈現.

4 結 論

成熟的光自旋霍爾效應實現的圖像邊緣檢測方法, 是以各向異性晶體為材料的圖像處理方法的重要數據參考, 后者操作簡單且成像穩定.我們的實驗主要選取了特定入射偏振角的光束, 可調選項包括λ/4 波片的快軸、GLP 的后選角度, 不用調節特選入射、反射角, 也不用定制超表面, 基于較薄的各向異性晶體即可實現簡單的邊緣圖像捕捉, 為實時信息提取、微觀成像、海量圖像處理和攝像機成像等提供了潛在應用.盡管我們只提到了一個方向上的理論推導結果, 但基于高斯光束光強的高度對稱性, 各個方向的空間分裂都是存在的, 推廣到廣義上的2D 空間邊緣檢測沒有任何限制.這里的空間分裂都是通過各向異性晶體實現的, 我們完全可以設想通過更精密加工的各向異性晶體實現面積更大、更完美的邊緣成像系統, 并在現實中實現更廣闊的應用[27?29].