旋轉機器人手臂奇異位形分析

費 雄，張 宇，孫偉棟

（昆明理工大學機電工程學院，云南昆明 650500）

0 引言

近年來，機器人技術發展日新月異，在工業等許多領域都發揮著不可替代的作用，人們對機器人機構問題的研究也越來越深入。對于任何機器人機構而言，都會存在一種非常特殊的位姿形態，即機構的奇異位形。從機構發明之初，奇異性問題就已隨之而來。機械臂可能會發生奇異位形的情況大致可分為以下兩種：機械臂工作空間內部奇異位形與機械臂工作空間邊界奇異位形［1］。當工作空間內部發生奇異位形時，會導致機器人靈活性變差，瞬時喪失應有的自由度，無法進行運動，引起機構鎖死，可能導致失控的問題，這種情形一般是由兩個或兩個以上關節軸線共線引起的；當工作空間邊界發生奇異位形時，機械臂、機械手各個關節一般都處于完全伸展開來的形態，或處于與先前相反，即完全收回的形態，這兩種形態都會使機械臂末端執行器處在一個十分接近機械臂工作空間邊界的極限位置形態。針對這種情況，通常只需機構在運動過程中，盡量避免接近該工作空間的極限位置，即可規避此類奇異位形的發生。因此，針對機器人機構奇異性問題開展相關研究是非常必要的，對于提升機器人工作性能以及規避故障可提供重要的理論根據。

對于機械臂而言，奇異位形是機械臂一種十分特殊的運動特性［2］。針對機器人機械臂的奇異性問題，國內外學者進行了許多理論研究。現階段關于機械臂奇異性問題的相關研究理論主要有以下幾種：線幾何理論［3-4］、旋量理論［5］以及代數理論［6］。劉滿德等［7］最早對機器人奇異性問題展開研究，并引進雅克比矩陣的奇異魯棒逆在奇異點周圍提供可行、連續的解；胡準慶等［8］針對機器人奇異問題，對形態各異、類別不同的幾種機器人進行對比研究，從而獲得更精確的數據結果；李誠等［9］運用微分變換方法，以某款膠裝機器人為研究對象，分析求解該機器人對應的雅克比矩陣，并以此數學矩陣為基礎對該機器人進行對應的奇異性分析，從而獲得該膠裝機器人在工作過程中所有可能會出現奇異位形的情況；張新等［10］以一款反恐排爆功能機器人的5 自由度機械臂作為研究對象，分析獲取該機械臂對應的雅克比矩陣，并對該機械臂奇異問題進行分析；CHENG 等［11］則對一款具有6 個自由度的PUMA 類型機器人進行奇異性問題研究，并求得該機器人的奇異構型情況；NOKLEBY［12］針對某款具有7 個自由度的加拿大臂進行奇異問題分析，同樣也獲得了該機械臂的所有奇異構型情況；史士財等［13］以某款具有7 自由度的機械手臂作為研究對象，采用旋量抑制方法對該機械手臂進行分析，進而求出與該機械手臂相關的幾何特征及可能出現的奇異形態；BOHIGAS 等［14］提出一種基于數值計算的分析方法對并聯機構及平面連桿進行奇異問題分析。

本文首先對傳統機構運動模型創建方法進行分析研究，然后對傳統四元素D-H 參數通用法進行改進，運用改良后的五參數D-H 方法［15-16］針對旋轉機器人機械臂建立對應的連桿坐標系，以及相應的運動學模型，從而求得對應的正逆解，并進行仿真與驗證工作。在雅克比矩陣求解方面，本文在傳統矢量積分法基礎上同時運用微分變換法，兩種方法相輔相成，大大節省了計算時間，十分方便、快捷。

1 運動建模與分析

本文主要以項目小組自行生產的某一款旋轉機器人的機械手臂作為研究對象。該旋轉機器人機械手臂整體工作結構以及工作平臺如圖1 所示。

Fig.1 Rotating robot arm圖1 旋轉機器人機械手臂

根據機器人機械手臂所對應的D-H 參數，可建立與該機械臂對應的坐標系圖，如圖2 所示。

Fig.2 Rotating robot arm coordinate distribution圖2 旋轉機械臂坐標分布

旋轉機器人機械手臂各連桿幾何參數，以及各個關節之間對應角度等相關數據如表1 所示。

Table 1 Rotating robot manipulator related D-H parameters表1 旋轉機器人機械手臂相關D-H 參數

根據上述機械手臂相關參數，可求得旋轉機械臂各連桿變換矩陣如下：

由于機械臂末端執行器相對第i 連桿的位姿矩陣是已知的，如式（1）所示。

根據上述公式，可求得旋轉機械臂末端執行器的位姿矩陣，如式（2）所示。

在機械手臂正運動學分析研究中，只需知道各個關節角度，再根據上述D-H 參數表中的相關參數，即可求出機械手臂末端位置及姿態。而且，對于同一個末端姿態點，也許是由不同關節組合而成的，具有多對單的映射關系，因此對機械臂進行正運動學分析會相對容易。因此，可利用MATLAB 分析軟件的輔助模塊ROBOT TOOLBOX，針對該旋轉機器人機械手臂樣機搭建數學模型［17］，并以該模型為基礎進行正運動學模擬仿真。該旋轉機器人機械手臂仿真模型如圖3 所示。

Fig.3 Robotic arm simulation model圖3 機械手臂仿真模型

運用MATLAB 仿真軟件對旋轉機器人機械手臂進行模型搭建，并對模型進行仿真分析，以及進行相應的正運動學求解［18］。仿真分析結果如圖4 所示。

Fig.4 Simulation analysis results圖4 仿真分析結果

其中，JOINT_B 表示各關節初始值，而P 表示初始JOINT_B 對應的機械臂末端位姿，以便于后續分析工作。

2 機械臂雅克比矩陣求取

對于旋轉機器人機械手臂雅克比矩陣的求解，可選擇簡潔明了的矢量積法［20］，具體計算方式如式（3）所示。

根據以上關系式，可變換解析得到機械手臂的雅可比矩陣表示式，如式（5）所示。

若想運用以上公式求取雅可比矩陣，需依次求出Zi、。矢量積法分別從角速度與平移速度兩方面進行求解，其在表達方面非常清晰明了，且通俗易懂，便于后續求解。

機械臂的雅克比矩陣是機械臂關節速度與末端笛卡爾速度微分運動之間關系的一種數學表達，若更深入研究，則可解釋為機械手關節基坐標系與尾端坐標系兩者之間的微小動作關系，故可利用微分變換法［21-22］解析其之間的運動關系。基坐標系的細微運動引起末端位姿變化dT，即：

上述公式可通過數學變換，變形如式（7）所示。

式中，dx、dy、dz 分別表示沿各坐標軸的平移量，dθ表示旋轉角度，f 表示旋轉軸矢量，然后將其代入相關公式中，可得：

其中，有：

假如機械臂末端坐標系有微小變化，可設機械臂末端位姿變化為TdT，即：

可將以上公式整理變換得到式（11）。

根據式（8）與式（11）可知同一位姿變化，則機械臂對應基坐標與末端坐標兩者之間的微分運動是等價的，因此有對應關系式dT=TdT。代入相關公式，可得式（12）。

在運用D-H 法搭建的對應坐標系中，Z 軸方向表示關節軸線f 的方向。因此，對于機械臂的轉動關節i，有旋轉量δi=[0 0 1]Tdθi，平移量Td=[0 0 0]T。對于平移關節j，有δi=[0 0 1]Tdθi，δj=[0 0 0 ]。代入式（12）即可得連桿到末端坐標平移變換與末端坐標旋轉的雅克比矩陣列矢量表達公式：

利用式（11）可求出最后一個關節的雅克比列矢量，與之對應的變換矩陣為：

然后分別將對應參數n、o、a、p 代入關系式，即可解析出相應的雅克比矩陣列矢量：J6=[0 0 0 0 0 -1]T。

對于5 號關節，可在A6基礎上求得其對應變換矩陣表示式為：

由于格式限制，機械手臂1 號關節與2 號關節的列矢量結果不便于在文中展示，其求取方法同上，故也可求出其雅克比矩陣表達式為：

3 奇異位形識別及仿真

雖然各類機器人與機械手臂的形態構型各異，但機械手臂每一個關節都有其對應運動區間，以及有效的工作邊界與范圍。因此，在這些極限邊界范圍處即可能產生關節的運動極限位姿，即奇異位形。此次試驗的旋轉機器人各個關節有效運動范圍如表1 所示。

因此，當機械臂對應關節處于θ1=±170°、θ2=180°/65°、θ3=-170°/190°、θ4=±180°、θ5=±135°、θ6=±360°這些極限角度時，此時對應點應為極限位置奇異點。對于每一個奇異點，可利用MATLAB 并采用ROBOT TOOLBOX工具箱進行機械臂的三維圖形仿真分析。各關節在極限位置的三維仿真圖如圖5-圖10 所示。

Fig.5 No.1 joint limit position圖5 關節1 極限位置

Fig.6 No.2 joint limit position圖6 關節2 極限位置

Fig.7 No.3 joint limit position圖7 關節3 極限位置

Fig.8 No.4 joint limit position圖8 關節4 極限位置

對于第二種奇異位形情況，即工作空間內部奇異，由于奇異點根據雅克比矩陣的逆運動學求解會出現失效情況，因此可根據雅克比矩陣對內部奇異進行分析求解。由先前求得的雅克比矩陣表達式對旋轉機器人可能存在的內部奇異位姿進行求解，最后運用MATLAB 對相應奇異位姿進行仿真得出三維圖形。

Fig.9 No.5 joint limit position圖9 關節5 極限位置

Fig.10 No.6 joint limit position圖10 關節6 極限位置

由所得的雅克比矩陣關系式計算該矩陣行列式det(J(θ))，如式（19）所示。

對公式進行行列式化簡，并令行列式等于零，變換結果如下：

因為L2、L3、L4為機器人機械手臂機構所給定的連桿長度，或連桿偏移量不為零，所以假如需要上式等于零的條件成立，則可能有以下3 類情形，具體如下：

（1）當S5=0，也即sinθ5=0，此時θ5=kπ，則可知在5 號關節角度等于0 時，該機械臂機構會出現腕部的奇異情形(-2.356 2 ≤θ5≤2.356 2)。此時，可運用MATLAB 的機器人工具箱對該位置進行仿真分析，如圖11 所示。

當5 號關節角為0 時，4、6 號關節軸線共線奇異如圖12 所示。

（2）當L4C3+L3S3=0 時，在這種情形下，可對該公式進 行 變 換 得sin(θ3+β)=0，求 出θ3=arctan(L4L3)，其中L3不為零。由于L3=130，L4=638.7，代入公式可得θ3=1.370 0。將相關參數代入雅可比矩陣，利用SDV 算法對矩陣進行奇異值分解（采樣點為60 個點），最后求出3 號關節角與雅可比矩陣最小奇異值的關系，如圖13 所示。運用MATLAB 的機器人工具箱對該處的奇異形態進行模擬分析，如圖14、圖15 所示。

Fig.11 No.4，6 joints axis collinear singular simulation effect圖11 4、6 關節軸線共線奇異仿真效果

Fig.12 When the angle of No.5 joint is 0,the axis of No.4 and No.6 joints are collinear and strange圖12 5 號關節角為0 時，4、6 號關節軸線共線奇異

Fig.13 The relationship between the No.3 joint and the smallest singular value of the Jacobian matrix圖13 3 號關節與雅可比矩陣最小奇異值關系圖譜

Fig.14 Simulation effect of singularity of No.3 joint圖14 3 號關節奇異位形仿真效果

Fig.15 Simulation effect of singularity of No.3 joint and wrist圖15 3 號關節與腕部組合奇異位形仿真效果

此時過機械手臂腕部的3 個關節分別為4 號、5 號、6號，腕部交點與2、3 號關節軸線處于同一直線上，如圖16所示。

Fig.16 The intersection point of the wrist is on the same line as the axis of No.2 and No.3 joints圖16 腕部交點與2、3 號關節軸線處于同一直線上

（3）當L1+L2C2+L3C(2+3) -L4S(2+3)=0 時，假如需要2 號關節與3 號關節滿足該關系式，將會使對應雅克比矩陣行列式的值為0，從而導致機械手臂奇異位姿的產生。由于2 號關節與3 號關節兩者關節軸線互相平行，因此對旋轉機器人機械臂2 號關節、3 號關節角的限制條件簡化如下：

由上述關系式可知，2 號、3 號兩關節角度之間會形成一個奇異曲面，可運用MATLAB 對該曲面進行仿真。取滿足上式關系的2 號、3 號關節值36.26、168.5，關節2、關節3 產生的內部奇異與腕部奇異組合仿真效果如圖17 所示，而與上述情形（2）的奇異組合仿真效果如圖18 所示。

Fig.17 The combined simulation effect of internal singularity and wrist singularity produced by No.2 and No.3 joints圖17 關節2、關節3 產生的內部奇異與腕部奇異組合仿真效果

Fig.18 Simulation effect of singular combination between No.2 and No.3 joints wrist and situation (2)圖18 關節2、關節3、腕部與情形（2）之間奇異組合仿真效果

綜上可知，六關節旋轉機械手臂主要可能存在3 種奇異位形（即腕部的4 號與6 號關節共線、3 號關節出現某個極限邊界值、關節2 與關節3 在一定條件下發生內部奇異的情況），以及這3 種奇異情形之間的組合情況。

4 結語

本文以某款旋轉機器人的串聯機械手臂作為研究對象，首先采用D-H 參數法搭建該機械手臂的運動學模型，進而求得其正運動方程，同時根據機械手臂各關節對應參數值求解出該旋轉機器人手臂基坐標系及機械手臂尾端位置信息；然后根據機械臂正運動方程構造與之對應的雅可比矩陣，進而求解出該機械手臂可能會發生奇異位形的所有情形；最后運用MATLAB 軟件的機器人工具箱，對求解出的奇異位形情況進行模擬仿真分析，從而驗證理論求解結果的正確性。

通過分析得到該旋轉機器人機械手臂所有可能發生奇異位形的情形，主要存在3 種奇異位形，以及3 種奇異情形之間的組合情況。本文研究可幫助該旋轉機器人機械手臂在執行工作任務過程中規避特殊的運動形態以避免出現奇異位姿，提供十分重要的理論分析數據，對機械臂后續研發工作具有一定的實際意義。