列車動力響應的平穩性和各態歷經性分析

吳夢雪，唐德發，李永樂，朱金

列車動力響應的平穩性和各態歷經性分析

吳夢雪1，唐德發1，李永樂2，朱金2

(1. 西南石油大學 土木工程與測繪學院，四川 成都 610500；2. 西南交通大學 土木工程學院，四川 成都 610031)

研究列車動力響應的平穩性和各態歷經性對尋求列車動力響應隨機過程的統計規律具有重要意義。基于多體動力學理論，采用多體動力學分析軟件Simpack建立國內某高速列車動車車輛的多體動力學模型。采用三角級數法模擬得到的軌道不平順作為隨機輸入激勵計算得到列車以不同速度行駛不同距離的動力響應時程樣本序列。進一步運用平穩性檢驗方法中的逆序數檢驗法和單位根檢驗法對列車動力響應隨機過程的平穩性進行檢驗。運用Monte-Carlo方法并結合隨機過程的相關理論，計算1 500個在隨機軌道不平順激勵下列車以200 km/h速度行駛1 km工況的動力響應時程樣本序列的集合均值和集合相關函數，時間均值和時間相關函數，對列車動力響應的平穩性和各態歷經性進行了證明。研究結果表明，列車以200 km/h的速度行駛1 km工況的動力響應可近似為具有各態歷經性的平穩隨機過程，即可采用一個時程響應樣本來反映列車動力響應總體的統計規律。隨著列車動力響應樣本個數的增加，列車動力響應的平穩性和各態歷經性都將更加穩定。

列車動力響應；隨機過程；平穩性；各態歷經性；多體動力學

列車的動力響應是典型的隨機過程，目前認為其隨機性主要來源于隨機的軌道不平順激勵和列車系統參數的隨機性[1]。針對列車動力響應的平穩性和各態歷經性開展研究對尋求列車動力響應隨機過程的統計規律具有極其重要的意義。列車動力響應的一個時程樣本僅是統計意義上隨機過程的一次實現，無法反映列車動力響應的概率統計特征，但如果列車的動力響應過程可以近似為平穩隨機過程和滿足各態歷經性，那么就可以采用一個時程樣本來反映列車通過線路時動力響應的統計規律，而無需計算大量的列車振動響應時程樣本。此外，列車動力響應的平穩性也會在列車動力響應頻譜分析方法的選擇上具有決定性的作用。經典的傅里葉變換方法適用于平穩隨機過程的頻譜分析，而非平穩隨機過程的時頻分析則更宜采用小波分析和希爾伯特—黃變換方法。因此，列車動力響應隨機過程平穩性和各態歷經性的檢驗是可靠地評判列車振動水平(安全性和平穩性)的基本條件。近幾十年來，高速鐵路建設的全面推進對列車—線路耦合振動理論的研究和發展起了巨大的推動作用，許多學者針對列車—線路的隨機耦合振動已開展了廣泛的研究。王偉等[2]將輪軌力預估格式的迭代求解方法與子集模擬法相結合，提出了一種考慮軌道不平順隨機性的車軌耦合系統動力可靠度評估的新方法。WEI等[3]研究了軌枕和一系橡膠彈簧的溫頻動態特性對列車—軌道耦合振動的影響規律。李雙等[4]研究了隨機的懸掛參數對列車運行舒適性指標的全局靈敏度。李永樂等[5?6]將側向風、高速列車、大跨度橋梁作為一個相互作用、協調工作的耦合系統，發展了一種較為完善的風—車—橋系統非線性空間耦合分析模型。XU等[7]提出了一種同時考慮時間和空間域的列車—軌道—橋梁隨機耦合振動分析模型。XIN等[8]利用三維空間列車—軌道—橋梁耦合模型從隨機不確定性的角度研究了車橋耦合系統的列車共振。TAN等[9]研究了列車運行速度和混凝土的彈性模量對列車—軌道—橋梁—橋墩耦合系統隨機動力響應的影響。上述大多數研究的主要目的是建立列車—線路隨機耦合振動的求解方法，或研究系統某些參數對列車—線路耦合系統動力響應的影響，從而對列車運行的安全性和旅客乘坐的舒適性加以評價，而對列車動力響應的隨機特性如平穩性和各態歷經性關注較少。本文采用多體動力學分析軟件Simpack建立國內某高速列車動車車輛的多體動力學模型，將隨機軌道不平順樣本作為輸入激勵，通過多體動力學仿真計算得到列車的動力響應時程樣本序列。基于隨機過程的相關理論，對列車動力響應隨機過程的平穩性和各態歷經性開展研究。本文的結論可為高速列車運行的安全性和平穩性評價以及列車動力響應頻譜分析方法的選擇提供參考。

1 建立模型

1.1 列車多體動力學模型

基于多體動力學理論，列車模型的各部件可通過剛體、力元和輪軌接觸來描述，并通過鉸、約束、力元等來定義車輛各部件之間及相對于慣性坐標系的運動關系，并最終形成動力學控制方程來描述車輛系統。以國內某高速列車動車車輛為原型，運用專業的多體動力學分析軟件Simpack建立了相應的多體動力學模型。模型中車體、轉向架、輪對、軸箱具有很大剛度，在分析中不考慮其彈性變形視為剛體。一、二系彈簧、減振器等采用彈簧—阻尼力元進行模擬，全車共計50個自由度。列車主要參數以及列車—軌道系統的空間耦合模型分別如表1和圖1所示。

模型中一、二系懸掛、扭桿彈簧和軸箱轉臂彈簧均采用線性5號力元進行模擬，而橫向止擋采用非線性5號力元進行模擬。一系垂向減振器、二系橫向減振器、抗蛇行減振器均采非線性6號力元進行模擬。扭桿彈簧采用13號力元進行模擬。充分考慮了模型中力元的非線性特性，限于篇幅各力元的力學模型詳見Simpack的幫助文檔。

根據文獻[10]車輛多體系統的運動方程可由下式表示：

模型的輪軌法向力采用Herz理論計算，蠕滑力采用FASTSIM算法求得。運用Simpack軟件建立的列車—軌道系統多體動力學模型如圖2所示。

表1 列車模型主要參數

(a) 側視圖；(b) 端視圖

圖2 列車—軌道系統多體動力學模型

1.2 軌道不平順

軌道不平順是由于在鐵路線路的平直段，鋼軌并不是呈理想的平直狀態，2根鋼軌在高低和左右方向相對于理想的平直軌道會存在偏差，這種幾何參數的偏差即為軌道不平順[11]。軌道不平順是列車—軌道系統的主要激振源，也是引發列車隨機振動的主要原因。因此，本文對列車動力響應隨機特性的研究僅把軌道不平順作為列車—軌道系統的輸入激勵。列車的軌道不平順主要分為垂向不平順、方向不平順、水平不平順、軌距不平順4種。本文的軌道不平順譜選用德國低干擾譜，可采用三角級數法對軌道不平順序列進行模擬。原理如式(2) 所示：

運用三角級數法模擬得到的軌道不平順的功率譜密度與目標譜的吻合情況如圖3所示，可見模擬的功率譜與目標譜吻合較好。

2 平穩性檢驗

數據的平穩性檢驗方法較多，常用的平穩性檢驗方法有逆序數檢驗法、輪次檢驗法、單位根(Augmented Dickey-Fuller test, ADF)檢驗法、KPSS (Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test)檢驗法等。目前一些學者還提出了一些平穩性檢驗的新方法，楊棟等[12]提出了一種基于遞歸分析的振動信號非平穩性評價方法，馬麟等[13]運用基于Hilbert-Huang變換的時頻分析方法來描述大跨度橋梁非線性抖振響應的非平穩性。為探究列車行駛不同里程長度動力響應的平穩性，本文以常見的2種平穩性檢驗方法逆序數檢驗法和單位根(ADF)檢驗法對列車以200 km/h速度行駛不同距離(100～1 000 m)時動力響應的平穩性進行檢驗，檢驗結果如表2所示。

圖3 模擬譜與目標譜的對比(垂向不平順)

逆序數檢驗法是一種非參數檢驗方法，其檢驗結果可能受到分段數的影響[14]。當列車行駛距離為100 m時，列車車輛的橫向加速度響應僅在分段數為20時檢驗結果為平穩，因此認為該檢驗結果可能受到分段數的影響而產生誤判。由表2平穩性的檢驗結果可以發現，逆序數檢驗法的檢驗結果可能受到分段數的影響，甚至產生誤判。而單位根檢驗法的檢驗結果不受分段數的影響，檢驗結果更穩定。因此，可以認為列車以200 km/h速度行駛100 m時的橫向加速度響應為非平穩的隨機過程。

上述檢驗結果表明，列車以200 km/h運行，橫向加速度響應在列車行駛距離小于200 m時為非平穩隨機過程，行駛距離大于200 m時為平穩隨機過程；列車的垂向加速度響應在列車行駛距離小于300 m時為非平穩隨機過程，行駛距離大于300 m時為平穩隨機過程。這主要是由于軌道不平順樣本只有在空間長度較長時才被認為是平穩的隨機過程。

3 理論證明

3.1 集合均值和集合相關函數

3.1.1 集合均值

根據式(3)可以求得任意位置處列車動力響應的集合均值，其表示列車動力響應在任意位置處的理論平均，所求得的列車動力響應集合均值的結果如圖4、圖5和表3所示。

表2 平穩性檢驗結果

3.1.2 集合相關函數

為具有代表性，對上述1 500個樣本，分別取距離間隔d為10，50，100和500 m求得其集合相關函數如圖6、圖7和表4所示。

圖5 列車垂向加速度集合均值

表3 列車加速度響應集合均值和時間均值統計

3.1.3 平穩性分析

根據隨機過程的相關理論，當隨機過程的集合均值是不隨位置變化的常數，而集合相關函數與所取的具體位置無關而僅與距離間隔相關時，則該隨機過程為平穩隨機過程[16]。

圖6 列車橫向加速度集合相關函數

圖7 列車垂向加速度集合相關函數

由圖4、圖5和表3可見，列車橫向加速度響應和垂向加速度響應的集合均值均圍繞一條直線波動，且標準差均小于9.9×10?3，說明集合均值僅微小波動。

圖8展示了列車垂向加速度的均值標準差與樣本個數之間的關系，并對集合均值和時間均值的標準差與樣本個數的關系做了曲線擬合。由圖8可以發現，集合均值的標準差隨著樣本個數的增加而逐漸減小，由此可以推斷，當數據的組數足夠多時，集合均值的標準差進一步減小，集合均值將為一個穩定的常數。

進一步的由圖6、圖7和表4可見，橫向加速度和垂向加速度響應的集合相關函數在取任意距離間隔時，集合相關函數的標準差均很小，說明集合相關函數也僅存在微小波動，故可以認為集合相關函數與列車所處的具體位置無關；而當取不同的距離間隔時，集合相關函數的波動中心不同，所以集合相關函數的取值與距離間隔相關。綜上所述，集合相關函數與列車所處的具體位置無關而僅與距離間隔相關。因此，結合平穩隨機過程的定義可以得到列車的動力響應可近似為平穩隨機過程。

圖8 均值標準差與樣本個數的關系

3.2 時間均值和時間相關函數

3.2.1 時間均值

由式(5)計算得到上述1 500個列車動力響應樣本的時間均值如圖9、圖10和表3所示。

圖10 列車垂向加速度時間均值

3.2.2 時間相關函數

為不失一般性，對上述1 500個樣本，依然分別取距離間隔d為10，50，100和500 m。由式(6)計算得到的時間相關函數如圖11、圖12和表4 所示。

3.2.3 各態歷經性分析

根據隨機過程的相關理論，當平穩隨機過程的時間均值以概率為1等于集合均值；時間相關函數也以概率為1等于集合相關函數時，則可認為該平穩隨機過程具有各態歷經性[16]。

圖12 列車垂向加速度時間相關函數

對比表3中集合均值和時間均值的計算結果可知集合均值和時間均值的平均值幾乎相等，而集合均值和時間均值的標準差均小于9.9×10?3，說明集合均值和時間均值均僅存在微小波動。且由圖8可見，列車動力響應集合均值的標準差隨著樣本個數的增加而逐漸減小，但時間均值的標準差幾乎不發生變化，由此可以推斷當數據的組數足夠多時，集合均值的標準差將逐漸逼近時間均值的標準差。因此，可以近似地認為集合均值和時間均值以概率為1相等。

圖13和圖14給出了相關函數部分距離間隔的對比情況，再結合表4可見，時間相關函數和集合相關函數的平均值相等，僅僅是標準差存在較小的差異。雖然時間相關函數的波動較集合相關函數略大，但兩者的波動范圍基本吻合。因此，可以近似認為時間相關函數以概率為1等于集合相關函數。

表4 列車加速度響應集合相關函數和時間相關函數統計

圖13 列車橫向加速度相關函數對比

圖14 列車垂向加速度相關函數對比

上述分析表明，列車以200 km/h的速度行駛1 km工況的動力響應可近似為具有各態歷經性的平穩隨機過程。

4 結論

1) 當列車以200 km/h速度行駛，列車橫向加速度響應在列車行駛距離小于200 m時為非平穩隨機過程，行駛距離大于200 m時為平穩隨機過程。列車垂向加速度響應在列車行駛距離小于300 m時為非平穩隨機過程，行駛距離大于300 m時為平穩隨機過程。

2) 逆序數檢驗法的檢驗結果可能受到分段數的影響，甚至產生誤判；而單位根檢驗法的檢驗結果不受分段數的影響，檢驗結果更穩定。

3) 列車以200 km/h的速度行駛1 km工況的動力響應可近似為具有各態歷經性的平穩隨機過程，即可采用一個時程響應樣本來反映列車動力響應總體的統計規律。

4) 隨著列車動力響應樣本個數的增加，列車動力響應集合均值的標準差在減小，且逐漸逼近時間均值的標準差，列車動力響應的平穩性和各態歷經性都將更加穩定。

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Analysis of stationarity and ergodicity of train dynamic response

WU Mengxue1, TANG Defa1, LI Yongle2, ZHU Jin2

(1. School of Civil Engineering and Geomatics, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500, China; 2. School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

It is of great significance to study the stationarity and ergodicity of train dynamic response, usually regarded as a stochastic process, in order to reveal the statistics of the train dynamic response. Firstly, a three-dimensional multi-body dynamics model of a high-speed passenger rail vehicle was established based on the multi-body dynamics theory in the multi-body dynamics analysis software Simpack. Secondly, the stochastic track irregularities were simulated using the trigonometric series method and used as the internal excitation for the established rail vehicle numerical model, with which the train dynamic responses under different running speeds and distances were obtained. Subsequently, the stationarity of the train dynamic responses was examined by both the Inverse Ordinal Number test and the Augmented Dickey-Fuller test. Finally, Monte-Carlo approach was employed to obtain 1 500 samples of train dynamic responses travelling over a distance of 1 km at a speed of 200km/h. In order to validate the stationarity and ergodicity of train dynamic responses, the statistics of the 1 500 samples, i.e., ensemble means, ensemble related functions, time-average values and time-related functions, were calculated based on the stochastic process theory. The statistical results show that the dynamic response of the train travelling over a distance of 1 km at a speed of 200 km/h can be regarded as a stationary and ergodic process. This suggests that the statistical information of one sample of the train dynamic response can be used to reflect the overall statistical law of the train dynamic response. It is also found that the stationarity and ergodicity of train dynamic response will be more stable with more samples.

train dynamic response; stochastic process; stationarity; ergodicity; multi-body dynamics

U270.11

A

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20200289

1672 ? 7029(2021)02 ? 0315 ? 10

2020?04?09

國家自然科學基金資助項目(51708470)；國家杰出青年科學基金資助項目(51525804)；國家重點研發計劃資助項目(2018YFC1507802)；西南石油大學科研“啟航計劃”資助項目(2017QHZ025)；西南石油大學橋梁安全評估青年科技創新團隊資助項目(2018CXTD07)

吳夢雪(1987?)，女，四川樂山人，副教授，博士，從事風—車—橋耦合振動研究；E?mail：mx_swpu@126.com

(編輯 蔣學東)