2-范數線性空間的嚴格凸與一致凸性

李珊珊 崔云安

摘 要：2-范數線性空間是賦范線性空間的推廣，它定義了更為廣泛地范數。首先證明了2-范數線性空間中的壓縮映像原理是成立的，以及嚴格凸的2-范數線性空間中的非擴張映射的不動點集是凸集;得到了有限維嚴格凸的2-范數線性空間是一致凸的，并證明了由向量積誘導的2-范數線性空間是一致凸的。

關鍵詞：2-范數線性空間;壓縮映像原理;不動點;嚴格凸;一致凸

DOI：10.15938/j.jhust.2021.06.021

中圖分類號： O177.3

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2021）06-0153-04

Strict Convexity and Uniform Convexity in Linear 2-normed Spaces

LI Shan-shan， CUI Yun-an

（School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：Linear 2-normed space is a generalization of linear normed space， which defines a more extensive norm. In this paper， we get contraction mapping theorem in linear 2-normed space holds， and the set of fixed points for nonexpansive mapping is convex when linear 2-normed space is strictly convex. We obtain that the strictly convex linear 2-normed space with finite dimension is uniformly convex. Thus we get the corollary that the linear 2-normed space induced by the vector product is uniformly convex.

Keywords：linear 2-normed space; contraction mapping theorem; fixed point; strict convexity; uniform convexity

0 引 言

1965年，蓋勒（Gahler）引入了2-范數線性空間，這是賦范線性空間的推廣，從那時起，許多學者就對其進行了深入地研究和探討。1974年Charles Diminnie，Siegfried Gahler和Albert White給出了2-范數線性空間嚴格凸的定義，并給出了2-范數線性空間嚴格凸的4個充要條件。本文驗證了2-范數線性空間中的壓縮映像原理是成立的，以及嚴格凸的2-范數線性空間中的非擴張映射的不動點集是凸集;討論了有限維嚴格凸的2-范數線性空間的一致凸性，證明了由向量積定義的2-范數空間是一致凸的。

1 預備知識

定義1[1] 設X是一個維數大于1的線性空間，稱‖·，·‖：X×X→R+為2-范數，如果滿足以下條件：

①‖x，y‖=0x，y是線性相關的（x，y∈X）;

②‖x，y‖=‖y，x‖（x，y∈X）;

③‖αx，y‖=|α|‖x，y‖（x，y∈X，α∈R）;

④‖x+y，z‖≤‖x，z‖+‖y，z‖（x，y，z∈X），

此時稱（X×X，‖·，·‖）為一個2-范數線性空間。

定義2[2] 稱{xn}X收斂于x∈X是指

limn→SymboleB@‖xn-x，y‖=0 （y∈X）。

定義3[3] 稱2-范數線性空間（X×X，‖·，·‖）是嚴格凸的，若任意的x，y∈X，zV（x，y），

‖x，z‖=‖y，z‖=x+y2，z=1，有x=y。

定義4[4] 稱2-范數線性空間（X×X，‖·，·‖）是一致凸的，若{xn}X，{yn}X，z≠0∈X，使得‖xn，z‖→1，‖yn，z‖→1，zV（xn，yn），xn+yn2，z→1，有‖xn-yn，z‖→0。

其等價于下述定義：若對ε∈（0，2]，任意的x，y∈X，z≠0∈X，δ>0使得‖x，z‖≤1，‖y，z‖≤1，zV（x，y），且x+y2，z>1-δ，有‖x-y，z‖<ε。

定義5[5] 設（X×X，‖·，·‖）是一個2-范數線性空間，T∶X→X是一個線性算子，稱x是T關于z的一個不動點，若滿足：

‖（Tx，z）-（x，z）‖=0。

定義6[6] 設（X×X，‖·，·‖）是一個2-范數線性空間，T∶X→X是一個線性算子，{xn}X，x0∈X，稱T關于z是連續的，若

limxn→x0‖（Txn，z）-（Tx0，z）‖=0。

2 主要結果及證明

定理1 設（X×X，‖·，·‖）是一個2-范數線性空間，z∈X，C是X的一個閉子空間且C∩{z}=，設T∶C→C滿足：對x，y∈C，有

‖（Tx，z）-（Ty，z）‖≤α‖（x，z）-（y，z）‖，

其中α∈（0，1），則T在C上有唯一的不動點。

證明：設x0∈C，（x1，z）=（Tx0，z），（x2，z）=（Tx1，z），…，（xn，z）=（Txn-1，z），

則（xn，z）=（Tnx0，z）。

設m，n>0且m>n，取m=n+p，

從而

‖（xn，z）-（xm，z）‖=

‖（xn，z）-（xn+p，z）‖=

‖（xn，z）-（xn+1，z）+（xn+1，z）-（xn+2，z）+

（xn+2，z）+…+（xn+p-1，z）-（xn+p，z）‖≤

‖（xn，z）-（xn+1，z）‖+‖（xn+1，z）-（xn+2，z）‖ +…+

‖（xn+p-1，z）-（xn+p，z）‖=

‖（Tnx0，z）-（Tnx1，z）‖+

‖（Tn+1x0，z）-（Tn+1x1，z）‖+…+

‖（Tn+p-1x0，z）-（Tn+p-1x1，z）‖≤

αn-1‖（Tx0，z）-（Tx1，z）‖ +

αn‖（Tx0，z）-（Tx1，z）‖+…+

αn+p-2‖（Tx0，z）-（Tx1，z）‖=

αn-1（1-αp）1-α‖（Tx0，z）-（Tx1，z）‖≤

αn-11-α‖（Tx0，z）-（Tx1，z）‖≤

αn1-α‖（x0，z）-（x1，z）‖

即

‖（xn，z）-（xm，z）‖≤αn1-α‖（x0，z）-（x1，z）‖，

從而

‖（xn，z）-（xm，z）‖→0，

故{（xn，z）}是柯西列，因此

（xn，z）→（x0，z）∈C×{z}。

又因為T是連續的，

所以

‖（Tx0，z）-（x0，z）‖=

‖limn→SymboleB@（Txn，z）-（x0，z）‖=

‖limn→SymboleB@（xn+1，z）-（x0，z）‖=

‖（x0，z）-（x0，z）‖=0。

下證不動點是唯一的。

設x′∈C且x′≠x0，

但 ‖（Tx′，z）-（x′，z）‖=0。

由于C是X的一個閉子空間，所以x′-x0∈C，且x′-x0≠0。因此由2-范數的定義有‖x′-x0，z‖≠0。

又因為

‖（x′，z）-（x0，z）‖=

‖（Tx′，z）-（Tx0，z）‖≤

α‖（x′，z）-（x0，z）‖。

但α∈（0，1），產生矛盾，從而有x′=x0，即不動點是唯一的。

定理2 設（X×X，‖·，·‖）是一個嚴格凸的2-范數線性空間，z∈X，C是X的一個凸子集且C∩{z}=，設T∶C→C滿足：對x，y∈C，有

‖（Tx，z）-（Ty，z）‖≤‖（x，z）-（y，z）‖，

則T關于z的不動點集F（T）為凸集。

證明：顯然F（T）是空集結論成立。

設F（T）≠，要證

（x1，z），（x2，z）∈F（T），x2≠x1，對t∈（0，1），（tx1+（1-t）x2，z）仍是T的不動點，即

‖（T（tx1+（1-t）x2），z）-（tx1+（1-t）x2，z）‖=0，

由題意得

‖（T（tx1+（1-t）x2），z）-（x1，z）‖ =‖（T（tx1+（1-t）x2），z）-（Tx1，z）‖≤

‖（tx1+（1-t）x2，z）-（x1，z）‖ =

‖tx1+（1-t）x2-x1，z‖=

‖（1-t）（x2-x1），z‖=

（1-t）‖（x2，z）-（x1，z）‖。

同理有

‖（T（tx1+（1-t）x2），z）-（x2，z）‖≤

t‖（x2，z）-（x1，z）‖，

記 u1=（T（tx1+（1-t）x2），z）-（x1，z），

u2=（-T（tx1+（1-t）x2），z）+（x2，z），

則

‖u1‖≤（1-t）‖（x2，z）-（x1，z）‖，

‖u2‖≤t‖（x2，z）-（x1，z）‖，

從而

‖（x2，z）-（x1，z）‖=

‖u2+u1‖≤

‖u2‖+‖u1‖≤

t‖（x2，z）-（x1，z）‖ +（1-t）‖（x2，z）-（x1，z）‖=

‖（x2，z）-（x1，z）‖，

從而

‖u1‖=（1-t）‖（x2，z）-（x1，z）‖，

‖u2‖=t‖（x2，z）-（x1，z）‖，

進而

‖u1+u2‖=‖u1‖+‖u2‖，

因此

1=‖u1+u2‖‖u1‖+‖u2‖=

‖u1‖‖u1‖+‖u2‖u1‖u1‖+‖u2‖‖u1‖+‖u2‖u2‖u2‖，

又因為（X×X，‖·，·‖）是嚴格凸的，有

u1‖u1‖=1，u2‖u2‖=1，

故

u1‖u1‖=u2‖u2‖，

進而u1‖u1‖-u2‖u2‖=0，即

（T（tx1+（1-t）x2），z）-（x1，z）（1-t）‖（x2，z）-（x1，z）‖-

（x2，z）-（T（tx1+（1-t）x2），z）t‖（x2，z）-（x1，z）‖=0

‖t（T（tx1+（1-t）x2），z）-t（x1，z）-（1-t）（x2，z）+

（1-t）（T（tx1+（1-t）x2），z）‖=0

‖（T（tx1+（1-t）x2），z）-（tx1+（1-t）x2，z）‖=0，

從而T關于z的不動點集F（T）為凸集。

定理3 設（X×X，‖·，·‖）是有限維的嚴格凸的2-范數線性空間，則它是一致凸的。

證明：設{xn}X，{yn}X，z∈X，使得

‖xn，z‖→1，‖yn，z‖→1，xn+yn2，z→1，

往證‖xn-yn，z‖→0。

若不成立，則ε0>0，使得‖xn-yn，z‖≥ε0。

因為（X×X，‖·，·‖）是有限維的，所以存在{xni}{xn}及x∈X，使得

‖（xni，z）-（x，z）‖→0，

同理，{yni}也是有界的，所以存在{yni}的子列{yn′i}{yn}及y∈X，使得

‖（yn′i，z）-（y，z）‖→0，

由于

{xn′i}{xni}，‖（xni，z）-（x，z）‖→0，

所以‖（xn′i，z）-（x，z）‖→0，從而

xn′i+yn′i2，z-x+y2，z→0。

又

xn′i+yn′i2，z→1，

所以

x+y2，z→1。

因為‖xn，z‖→1，所以‖xni，z‖→1，進而‖x，z‖=1。

同理‖y，z‖=1。

因為（X×X，‖·，·‖）是嚴格凸的，所以x=y，但是

ε0≤‖xn′i-yn′i，z‖→‖x-y，z‖=0，

產生矛盾，從而（X×X，‖·，·‖）是一致凸的。

定理4 設X為一個n維歐式空間，若定義

‖x，y‖=|x×y|，

其中（x，y）∈X×X，x×y表示向量x與y的向量積，則（X×X，‖·，·‖）是嚴格凸的，也是一致凸的。

證明：首先證明‖x，y‖=|x×y|是一個2-范數。

‖x，y‖=0x，y是線性相關的，顯然成立，這是由于

‖x，y‖=0sin〈x，y〉=0。

對稱性：

‖x，y‖=‖y，x‖=|x×y|。

正齊次性：

‖αx，y‖=|αx×y|=|α||x×y|=|α|‖x，y‖。

三角不等式：

‖x+y，z‖=|（x+y）×z|=|x×z+y×z|≤

|x×z|+|y×z|=‖x，z‖+‖y，z‖。

下證（X×X，‖·，·‖）是嚴格凸的。

對于任意的x，y∈X，zV（x，y），有

〈x，z〉=〈y，z〉=〈x+y，z〉=〈x-y，z〉

（即z與值x，y生成的空間中每個元素的夾角相同）。

又可知

‖x+y，z‖2=‖x+y‖2‖z‖2sin2〈x+y，z〉=

‖x+y‖2‖z‖2sin2〈x，z〉

‖x-y，z‖2=‖x-y‖2‖z‖2sin2〈x-y，z〉=

‖x-y‖2‖z‖2sin2〈x，z〉

所以

‖x+y‖2‖z‖2+‖x-y‖2‖z‖2=

（‖x+y‖2‖z‖2+‖x-y‖2‖z‖2）sin2〈x，z〉=

（‖x+y‖2+‖x-y‖2）‖z‖2sin2〈x，z〉=

2（‖x‖2+‖y‖2）‖z‖2sin2〈x，z〉=

2（‖x‖2‖z‖2sin2〈x，z〉+‖y‖2‖z‖2sin2〈y，z〉）=

2（‖x，z‖2+‖y，z‖2）（1）

由于x≠y，zV（x，y），則x-y2，z>0，從而由式（1），x+y2，z<1，即（X×X，‖·，·‖）是嚴格凸的。

由定理3，知（X×X，‖·，·‖）是一致凸的。

參 考 文 獻：

[1] DIMINNIE C G， WHITE A， GAHLER S. Remarks on Strictly Convex and Strictly 2-convex 2-normed Spaces[J]. Mathematische Nachrichten， 1979， 88：363.

[2] WHITE A G. 2-Banach Spaces[J]. Mathematische Nachrichten， 1969， 42（1）： 43.

[3] DIMINNIE C G， GAHLER S， WHITE A. Strictly Convex Linear 2-normed Spaces[J]. Mathematische Nachrichten， 1974， 59：319.

[4] DOMINIC Y， ARUDAI M. Best Approximation in Uniformly Convex 2-normed Space[J]. International Journal of Mathematical Analysis， 2012， （6）： 1015.

[5] LIM T C. A Fixed Point Theorem for Multivalued Nonexpansive Mappings in a Uniformly Convex Banach Space[J]. Bulletin of the American Mathematical Society， 1974， 80： 1123.

[6] MANI T， KRISHNAKUMAR R. A Generalized Common Fixed Point Theorem in Linear 2-normed Space[J]. A Journal of Composition Theory， 2019（7）： 1124.

[7] WHITE A， CHO Y J. Linear Mappings on Linear 2-normed Spaces[J]. Bulletin Korean Math Society， 1984， 21 （1）： 1.

[8] HARIKRISHNAN P K， RAVINDRAN K T. Some Properties of Accretive Operators in Linear 2-normed Spaces[J]. International Mathematical Forum， 2017， 6（59）： 2941.

[9] CHU H Y ， PARK C G ， PARK W G. The Aleksandrov Problem in Linear 2-normed Spaces[J]. Journal of Mathematical Analysis & Applications， 2004， 289（2）： 666.

[10]KUNDA A， BAG T， NAZMUL S. A Mew Generalization of Normed Linear Space[J]. Topology and Its Applications， 2019， 256（1）： 159.

[11]RIYAS P， RAVINDRAN.K T. Topological Structure of 2-normed Space and Some Results in Linear 2-normed Spaces Analogous to Baire’s Theorem and Banach Steinhaus Theorem[J]. Journal of Prime Research in Mathematics， 2015， 10： 92.

[12]KIRK W A. A Fixed Point Theorem for Mappings Which Do Not Increase Distances[J]. American Mathematical Monthly， 1965， 72（9）： 1004.

[13]李威， 楊顯. Hahn-Banach定理的形成 [J]. 西北大學學報（自然科學版）， 2013， 43（5）： 847.

LI Wei， YANG Xian. Formation of Hahn-Banach Theorem[J]. Journal of Northwestern University（Natural Science Edition）， 2013， 43（5）： 847.

[14]RIYAS P， RAVINDRAN K T. A New Approach to Baire′s Theorem and Banach Steinhaus Theorem in Linear 2-normed Spaces[J]. Journal of Advances in Mathematics， 2016， 9（1）： 1891.

[15]FREESE R W， CHO Y J .Geometry of Linear 2-normed Spaces[J]. Nova Science， 2001.

[16]REZAPOUR S. Proximinal Subspaces of 2-normed Spaces[J]. Analysis Theory and Application， 2006， 22（2）： 114.

[17]高金梅. 賦2-范空間中的Mazur-Ulam定理和最佳逼近性質 [J]. 數學學報， 2010， 53（6）： 1201.

GAO Jinmei. Mazur-Ulam Theorem and Best Approximation Property in Linear 2-normed Spaces[J]. 數學學報， 2010， 53（6）： 1201.

[18]ISEKI K. On Non-expansive Mapping in Strictly Convex Linear 2-normed Spaces[J].Math Seminar Notes Kobe Univ， 1975， 3（1）： 125.

[19]CHU H Y， KU S H， KANG D S. Characterizations on 2-isometries[J]. Journal of Mathematical Analysis & Applications， 2008， 340（1）： 621.

[20]GHOSH P， ROY S， SAMANTA T K. Uniform Boundedness Principle and Hahn-Banach Theorem for b-linear Functional Related to Linear 2-normed Space[J]. Mathematics Subject Classification， 2021， 46（22）： 1.

[21]RIZVI S M. Uniformly Convex Linear 2-normed Spaces[J]. Bulletin Calcutta Math Society， 1998， 90（5）： 343.

（編輯：溫澤宇）

收稿日期： 2020-09-23

基金項目： 國家自然科學基金（11871181）.

作者簡介：

李珊珊（1997—），女，碩士研究生.

通訊作者：

崔云安（1961—），男，博士，教授，博士研究生導師，E-mail： cuiya@hrbust.edu.cn.

3340501908214