一種應用于SAR-ADC的前臺數字校準算法

劉 偉，郭尚尚，王 逍，商世廣

(西安郵電大學 電子工程學院,陜西 西安 710121)

模數轉換器(Analog to Digital Converter,ADC)負責將模擬信號轉換成數字信號，是連接模擬系統和數字信號處理系統的關鍵模塊之一[1]，被廣泛應用于醫療、通信和測控等領域的電子器件中。低功耗和小面積是對ADC的基本要求。逐次逼近型模數轉換器(Successive Approximation Register Analog-To-Digital Converter,SAR-ADC)正是因其具有功耗較低、面積較小等特點，已經成為ADC領域的關注熱點[1-2]。

相關研究發現，在SAR-ADC中普遍存在寄生效應和制造工藝導致的電容權重失配問題，從而致使ADC的分辨率被限制在10 bit以下[3-4]，利用版圖匹配技術消除電容失配的方法已經接近瓶頸[5]。

為了滿足更高分辨率的需求，一種思路是通過增大電容尺寸來提高匹配性，但是，這種做法會增大芯片的面積和功耗，并且降低SAR-ADC的轉換速率[4,6]；另一種思路是采用校準技術對電容權重進行校準[7-9]，從而消除半導體制造誤差的影響。校準技術分為模擬校準和數字校準，模擬校準技術采用附加的模擬電路對電容失配進行校準[10-11]，會增大芯片的功耗和面積，從而增大整個系統設計的復雜度。

相對于模擬校準技術，數字校準技術的精度更高、速度更快，已經成為目前SAR-ADC校準的主流方法[4,8-9,12]。例如，文獻[12]基于最小均方(Least Mean Square,LMS)算法，提出了一種內部冗余擾動(Internal Redundancy Dithering,IRD)的數字校準方法，利用亞二進制電容陣列產生內部冗余，對電容失配進行校準；文獻[13]在比較器出現亞穩態時，利用偽隨機PN碼(Pseudo-Noise Code)作為比較器的輸出，對SAR-ADC失配誤差進行校準。但是，文獻[12]和文獻[13]提出的數字校準方法均屬于后臺校準，其不足之處在于，當SAR-ADC正常工作時，校準算法會進行大量的重復性迭代，致使數據傳輸的實時性不強，進而影響SAR-ADC的轉換速率。文獻[14]利用電容失配誤差的反對稱性提出了一種數字前臺校準方法，但該方法需要復雜的DAC開關方案，這無疑增加了模擬電路時序的復雜度。

為了減小電容失配對SAR-ADC轉換精度的影響，擬基于亞二進制技術和擾動技術，提出一種應用于SAR-ADC的LMS前臺數字校準算法。通過將后臺校準轉移到前臺，減小校準算法對ADC轉換速率的影響。在電路剛上電時，整個系統即處于校準模式，利用LMS自適應濾波算法對權重值進行校準；在經過一定次數的迭代訓練之后，使SAR-ADC處于正常工作模式，電路根據已經校準的權重值輸出正確的數字碼。

1 電容失配及校準基本原理

1.1 電容權重失配

SAR-ADC電路的基本結構如圖1所示。SAR-ADC電路由二進制電容陣列(CC,C0,C1,…,CN-1)、開關陣列(SC,S0,S1,…,SN-1)、SAR控制邏輯和比較器構成。

圖1 SAR-ADC結構示意圖

在理想條件下，若電容權重不存在失配，則輸入電壓Vin可表示為

(1)

其中：Vref表示基準電壓；N為SAR-ADC的分辨率；C0表示單位電容值；CC表示冗余補償電容值；Di表示第i位數字碼所對應的0、1值；Ctot表示所有電容的加權和，即

(2)

由于半導體制造工藝原因，往往會引起電容權重的制造誤差，假定第i位電容與單位電容C0之間的失配率為ei，則可以將實際的輸入電壓Vin,real定義為

(3)

其中：δ表示最大失配率；冗余補償電容Cc值為單位電容C0值。

定義誤差電壓ΔV為實際輸入電壓Vin,real與理想輸入電壓Vin的差值，則誤差電壓的最大值ΔVmax的計算表達式為

(4)

一般情況下，為了保證SAR-ADC的轉換精度，由電容失配引入的最大誤差電壓ΔVmax需要小于0.5倍的最低有效位(Least Significant Bit,LSB)BLS[15]，即需要滿足

ΔVmax<0.5BLS

(5)

其中，BLS表示最低有效位數，其值可以定義為1BLS=Vref/2N。

由式(4)和式(5)化簡得到失配率δ與分辨率N的關系式為

(6)

由式(6)可知，SAR-ADC所允許的失配率δ隨分辨率N的提高呈指數下降，當分辨率N達到14 bit時，所允許的最大電容失配率δ僅為0.006 1%。在現有的制造工藝條件下，生產如此低失配率的電容較為困難，為了滿足高分辨率的需求，就需要采用校準技術。

1.2 校準算法基本原理

采用數字校準技術需要保證模擬輸入信號的信息不丟失，即要保證SAR-ADC的第i位電容小于前i-1位電容的總和，這是采用數字校準的充要條件[9]。為滿足該條件，將電容權重的比值設計為略小于2，即采用亞二進制(Sub-radix-2)來取值。

采用亞二進制電容陣列時，電容的權重比值不再是原來的二進制，就意味著ADC的轉換次數M不再等于分辨率N。為了獲得更為理想的有效位數(Effective Number Of Bit，ENOB)，其轉換次數M往往需要大于二進制結構的分辨率N，理想的有效位數BBNO與轉換次數M以及進制α的關系可以表示為

(7)

對一個線性SAR-ADC系統，在模擬域增加偏移量±Δa之后，需要能夠在數字域被去除。擾動及校準技術原理示意圖如圖2所示。從圖2(a)中可以看出，當最高位權重存在誤差時，擾動擬合曲線會在該失配位扭曲變形，從而使得線性疊加原理不再適用，擾動的擬合曲線沒有與原來的曲線相互重疊，而是形成了一個誤差監測窗口，這個窗口提供了監測轉換誤差是否為零的機會，如果通過某種校準方法來獲得權重的最佳值，就會使權重誤差error逐漸趨于零，轉換監測窗口也會逐漸消失，從而使得擾動的擬合曲線被線性化，重新適用線性疊加原理，如圖2(b)所示。

圖2 擾動及校準技術原理示意圖

2 LMS前臺數字校準算法

綜合考慮算法的簡單性、魯棒性和易于在硬件上實現等因素，提出了基于LMS自適應濾波算法[9,16-17]的SAR-ADC校準方法，其結構示意圖如圖3所示，電路由兩部分構成，分別是SAR-ADC核心部分、LMS校準算法部分。

圖3 SAR-ADC的LMS校準算法結構示意圖

如圖3所示，在校準模式M0，輸入模擬電壓Vin分別加入±Δa的抖動，然后經過SAR-ADC核心部分會被轉換為對應的數字碼D+和D-，其具有相同的初始權重，可以計算得到Vin±Δa的量化值分別為d+、d-，其計算表達式分別為

(8)

(9)

其中：bi+、bi-分別表示D+、D-第i位數字碼值；wi表示第i位電容的初始權重值；dos表示失調電壓所對應的量化值。

定義d+、-d-與2Δa的差值為權重誤差eerror，其計算表達式為

eerror=d+-d--2Δa

(10)

聯立式(8)、式(9)和式(10)，化簡得到

(11)

LMS自適應濾波算法根據eerror的值，對第i位權重wi進行迭代，使其趨近于最佳值，權重迭代計算表達式為

wi,n+1=wi,n-μweerror,n(b+,i-b-,i)

(12)

其中：wi,n+1表示迭代之后的權重值；μw表示迭代的步長；n為迭代的次數。

當所有權重都被校準完成之后，SAR-ADC核心部分和校準部分會同時進入正常工作模式M1。SAR-ADC核心部分不會加入抖動，校準部分也不會工作，電路記錄了最佳的權重值，此時，SAR-ADC正常采樣量化輸出，每個采樣周期只輸出一個數據。

提出的LMS數字前臺校準SAR-ADC的算法系統建模與實現原理包括兩個部分，分別是SAR-ADC核心部分和LMS數字校準部分。在Simulink平臺下搭建SAR-ADC核心部分，其包括電容DAC模塊SAR DAC、SAR控制模塊SAR Control以及比較器模塊COM等3個模塊。為了達到12 bit的有效位，所搭建電容DAC模塊的轉換次數M取14，電容權重α取1.86，即按照1.86進制來設計14位電容權重。LMS數字校準部分通過Verilog HDL代碼實現，主要包括LMS控制模塊LMS_Control、求權重和模塊Wi_Sum、求權重誤差模塊Error、權重迭代模塊Update和最后的14 bit轉12 bit模塊14 bit to 12 bit。LMS數字校準算法系統建模與算法實現原理如圖4所示。

圖4 LMS數字校準算法系統建模與算法實現原理

當校準使能信號Calibration為1時，表示加入了抖動，此時模擬輸入電壓Vin經過SAR-ADC核心部分就會產生一個正抖動數據D+和一個負抖動數據D-，當轉換結束信號(End of Conversion，EOC)有效時，LMS控制模塊(LMS_Control)依次讀入D+、D-。D+和D-具有相同的初始權重，每位權重均為23 bit的二進制數，其中，低10 bit為小數部分，高13 bit為整數部分。求權重和模塊Wi_Sum根據式(8)和式(9)對數字碼D+和D-進行加權求和，得到d+、d-。然后，求權重誤差模塊Error依次讀入d+、d-，根據式(10)得到權重誤差eerror。若eerror<1 LSB，則直接進入14 bit轉12 bit模塊并輸出，反之，則進入權重迭代模塊Update進行權重迭代，直到權重誤差eerror滿足條件，再輸出校準后的數字碼。

假設無抖動注入，模擬輸入經過SAR-ADC核心部分之后得到的數字碼D為00_0000_1111_1111，則加入抖動量為Δa=00_0000_0001_1001之后，得到的數字碼分別為D+=00_0001_0001_1000、D-=00_0000_1110_0110，根據式(11)可得

eerror=W8-W7-W6-W5+W4+W3-W2-W1-2Δa

則W1,W2,…,W8需要被校準，此時，權重迭代模塊Update會根據式(12)對這些權重位進行迭代校準，權重校準的流程如圖5所示。

圖5 權重校準流程

當經過一定次數的迭代訓練之后，所有位的權重值都會趨于最佳值，算法就會產生一個校準終止信號End_flag，該信號會反饋到SAR-ADC核心部分和LMS數字校準部分，控制抖動使能信號Calibration和數字校準開關信號Open/Close，使其處于關閉狀態，此時，SAR-ADC由校準模式切換到正常工作模式，SAR-ADC核心部分不再加入抖動，數字校準部分只有14 bit轉12 bit模塊工作，電路會根據已經校準的權重值輸出正確的數字碼。當下一次電路狀態改變時，可以重新按下校準復位開關RST_N，校準電路就會對權重值重新進行迭代訓練。

3 實驗結果及分析

為了最大化電容失配，對DAC模塊中的每個電容都加入交替失配，使每個電容的失配極性不同，例如，第一位電容加入了+1.5%的失配，則第二位就加入-1.5%。將SAR-ADC核心部分輸出的待校準數字碼從Simulink中導出，作為LMS校準算法的輸入進行校準。仿真結束后，將校準代碼下載到Xilinx Spartan-6開發板上進行現場可編程門陣列(Field Programmable Gate Array,FPGA)驗證與測試。

3.1 功能仿真

算法的校準功能仿真結果如圖6所示，其中：rst_n表示算法的復位信號；eoc表示轉換結束信號；calibration表示校準使能信號；b_p、b_n分別表示加入正、負抖動之后的14 bit數字碼；dout表示輸出的12 bit數字碼。當eoc信號有效時，LMS算法會依次讀入b_p和b_n，然后校準算法根據權重誤差error的值對權重進行迭代更新，當error小于1個LSB時，就會對相關數據進行校準。

圖6 算法的校準功能仿真結果

3.2 FPGA測試

將校準代碼下載到Xilinx Spartan-6開發板上，通過只讀存儲器(Read-Only Memory,ROM)每隔一段時間向校準電路發送待校準數據。在校準階段，輸入加入抖動的數據進行權重迭代訓練，待校準完成之后，再輸入未加抖動的數據進行輸出，最后利用通用異步收發傳輸器(Universal Asynchronous Receiver/ Transmitter,UART)協議 將校準結果傳回電腦端，利用MATLAB軟件進行快速傅立葉(Fast Fourier Transform,FFT)分析。

當失配量取±1.5%，輸入信號頻率等于240.2 kHz時，所對應的SAR-ADC校準前、后的頻譜特性曲線如圖7所示。

圖7 校準前、后FFT頻譜特性對比

圖7顯示，校準前諧波分量和雜散信號的功率較大，此時對SAR-ADC的動態性能影響較為嚴重，但是通過校準算法校準之后，諧波分量與雜散信號的功率明顯減小，SAR-ADC的動態性能得到了提升。

根據FFT仿真結果得到，校準后SAR-ADC的無雜散動態范圍(Spur Free Dynamic Range,SFDR)由48.52 dB提升到了94.93 dB，信噪失真比(Signal to Noise and Distortion Ratio,SNDR)由42.11 dB提升到了72.52 dB，有效位數(Effective Number of Bit,ENOB)由6.70 bit提升到了11.74 bit，校準后SAR-ADC的動態性能得到了較大提升。

校準前、后的微分非線性(Differential Non-linearity,DNL)和積分非線性(Integral Non-linearity,INL)測試結果分別如圖8和圖9所示。

圖8 校準前、后的DNL測試結果

圖9 校準前、后的INL測試結果

由圖8和圖9可以看出，與校準前相比，誤差校準后，DNL由原來的-1.00～2.04 LSB降低到了-0.88～0.90 LSB，INL由原來-24.58～26.61 LSB降低到了-0.60～0.64 LSB，SAR-ADC的線性度顯著提升。

失配量取1%～5%時，算法校準前、后SAR-ADC的有效位數測試結果如圖10所示，可以看出，校準前SAR-ADC的有效位隨著失配量的增加而下降，當失配量為5%時，校準前的有效位僅為4.95 bit，而經過校準算法校準之后，有效位均可提升到11.00 bit以上。

圖10 不同失配量下的有效位數

SAR-ADC校準前、后的性能參數如表1所示，可以看出，校準后SAR-ADC靜態、動態均得到了明顯提升。所提校準算法與其他校準方法的動態參數對比情況如表2所示。相較其他方法，所提的校準方法對SAR-ADC的SNDR、ENOB等動態性能提升更明顯。這是因為，提出的LMS校準算法可以有效地減小電容權重失配、比較器偏移等多種非線性因素對系統的影響，從而提高了SAR-ADC的轉換精度。

表1 SAR-ADC校準前后的性能參數

表2 不同方法校準結果對比

4 結語

利用亞二進制技術和擾動技術，對加入抖動的模擬輸入電壓依次進行量化，基于LMS算法計算權重誤差，根據權重誤差迭代出最佳權重值，實現對SAR-ADC的校準，以改善SAR-ADC電容失配影響轉換精度及后臺校準算法迭代復雜等問題，利用Simulink軟件，對一個亞二進制SAR-ADC進行了系統級建模，并將校準算法在Xilinx Spartan-6開發板上進行硬件設計和驗證。仿真和驗證結果表明，提出的校準算法在SFDR、SNDR和ENOB等指標方面較好，對SAR-ADC的校準效果較好，SAR-ADC的轉換精度較高