直齒點線嚙合齒輪傳動齒間載荷分配研究

熊文恒 黃 海 周正祥

1武漢理工大學物流工程學院 武漢 430063 2江蘇泰隆減速機股份有限公司 泰興 225400

0 引言

在嚙合的過程中，點線嚙合齒輪傳動[1]既有線接觸也有點接觸，具有承載能力高、傳動平穩等特點，其制造簡單，具有可分性、磨合性能好、磨損小的特性，齒面可制成各種硬度的齒輪[2]。但是，齒輪在嚙合過程中存在單對齒和雙對齒交替嚙合的現象，導致齒輪齒間載荷分配大小不同且受力情況復雜，極大地影響了齒輪的傳動性能和承載能力。目前國內外對漸開線齒輪齒間載荷分配的工作進行了大量研究，陸鳳霞等[3]通過建立齒輪接觸分析的有限元模型，利用映射法劃分網格單元，結合有限元求解，得到齒輪在不同嚙合位置下的載荷仿真值。包家漢等[4]以漸開線直齒圓柱齒輪為研究對象，通過建立有限元模型，分析齒輪在載荷作用下接觸應力及齒間載荷分配的變化情況，認為隨著齒間載荷的增大，載荷分配越平緩，嚙合過程中的沖擊力降低。Spitas V等[5]采用焦散的應力光學方法確定了輪齒間載荷分配率，并驗證了結果的準確性。Elkholy A H、Marimuthu P等[6-8]分別以高重合度齒輪為研究對象，提出了計算齒間載荷分配率的解析模型，分析確定了輪齒間的載荷分配系數。Xie C Y等[9]以標準正齒輪為研究對象，基于最小彈性勢能準則，提出了一種改進的齒間載荷分配模型，并利用有限元法研究輪轂的齒間載荷分配率，驗證了模型的準確性。Marques P M T等[10]建立了正齒輪和斜齒輪的齒間載荷分配模型，精確的估算了齒輪的摩擦損失。王積森等[11]利用VB語言對Solidworks進行二次開發，得到了點線嚙合齒輪的三維造型系統。楊帆等[12]通過3次樣條曲線對齒輪坐標進行擬合，并利用分段法獲得點線嚙合齒輪的齒廓方程表達式，在Solidworks中實現了點線嚙合齒輪的精確建模。

從現有的研究成果看，漸開線齒輪的齒間載荷分配研究已較全面和深入，而關于直齒點線嚙合齒輪傳動齒間載荷分配計算的研究尚未開展。在點線嚙合齒輪傳動的強度計算中，采用的仍是漸開線齒輪的齒間載荷分配系數，這對點線嚙合齒輪傳動的強度計算結果會有一定影響，如果全部采用仿真分析的方法效率會較低。另外，輪齒在嚙合過程中各接觸點所受力是輪齒嚙合剛度的計算基礎。因此，研究嚙合過程中的點線嚙合齒輪傳動輪齒間載荷分配，得到相應的計算公式，能提高點線嚙合齒輪傳動強度計算結果的準確性和計算分析效率，也為點線嚙合齒輪傳動的嚙合剛度研究提供了基礎。

本文在總結前人研究的基礎上，建立了直齒點線嚙合齒輪傳動的三維模型，通過分析依據漸開線齒輪齒間載荷分配計算公式的計算結果與直齒點線嚙合齒輪傳動有限元仿真結果，推導出直齒點線嚙合齒輪傳動的齒間載荷分配計算公式。

1 點線嚙合齒輪的嚙合特性

如圖1所示，點線嚙合齒輪在嚙合過程中，嚙合線N1N2為大小齒輪基圓的內公切線，B2點為嚙合起始點即大齒輪齒頂圓與嚙合線N1N2的交點。此時，小齒輪齒根的漸開線部分與大齒輪齒頂的漸開線部分接觸，為凸齒廓接觸；大小齒輪從B2點到節點P的嚙合是凸齒廓接觸；C點為雙齒嚙合的結束點，是單齒嚙合的開始點；D點為單齒嚙合的結束點，是雙齒嚙合的開始點。在M點嚙合時，小齒輪的齒頂和大齒輪彼此完全貼合，小齒輪齒頂漸開線與大齒輪過渡曲線接觸形成較大的接觸面積；J點為大齒輪齒廓上漸開線與過渡曲線的分界點，當嚙合位置處于J點時，小齒輪的漸開線與大齒輪齒廓過渡曲線貼合，為凹凸齒廓接觸；B1點為嚙合終止點即小齒輪齒頂圓與嚙合線N1N2的交點。小齒輪與大齒輪在B1點脫離嚙合時，小齒輪齒廓對應的漸開線與大齒輪的過渡曲線接觸，接觸點很接近大齒輪的J點，但會在J點以下。在嚙合傳動的過程中，由B2點到M點的嚙合為凸齒廓接觸，M點到B1點的嚙合為凹凸齒廓接觸。

圖1 齒輪嚙合點位置圖

2 點線嚙合齒輪齒廓曲線方程

本文研究中所采用的點線嚙合齒輪齒廓曲線方程參考文獻[1]中關于點線嚙合齒輪齒廓曲線方程的理論研究部分。

2.1 齒條型刀具加工時被切齒輪的普遍方程式

如圖2所示，假設靜坐標系XOY固定在輪齒坯上，坐標系原點O則是輪齒坯的中心。在已知輪齒齒條齒廓上的所有點在動坐標系X1PY1中坐標的前提下，可以得到被加工齒輪的齒廓上所有靜坐標系XOY上的點坐標，從而得到點線嚙合齒輪的齒廓方程式。

圖2 齒輪坯上的靜坐標系

被加工齒輪齒廓的方程式為

式中：r為分度圓半徑，x1、y1為齒廓上的點坐標，φ為齒條刀具的滾動角。

2.2 點線嚙合齒輪上的過渡曲線方程式

如圖3所示，曲線bJc為點線嚙合齒輪的齒廓曲線，其中曲線bJ為過渡曲線，曲線Jc為漸開線，ra為齒頂圓半徑，rf為齒根圓半徑，r為分度圓半徑，rJ為J點半徑。

圖3 點線嚙合齒輪大齒輪齒廓

點線嚙合齒輪齒廓過渡曲線bJ段的方程式為

式中：ρ*f為圓角半徑系數，h*a為齒頂高系數，α為壓力角。

2.3 點線嚙合齒輪上J點的方程

J點的齒廓方程式為

式中：c*n為法向頂隙系數；h*an為法面齒頂高系數。

3 漸開線齒輪齒間載荷分配計算公式

嚙合齒輪齒間載荷分配系數LSF(Load-sharing factor)是指在一個嚙合周期內，每一個嚙合齒輪所承擔整個傳動載荷的比率。其表達公式為

式中：LSF為嚙合齒輪齒間載荷分配系數，Pi為單對齒承受的載荷值，P為齒輪副中的一個齒輪沿接觸路徑所承受的總載荷。

3.1 AGMA標準漸開線齒輪齒間載荷分配計算公式

圖4為嚙合齒輪的主動輪在轉角分別為ω=0°、ω=θLPSTC、ω=θHPSTC和ω=θ時的嚙合位置圖。

圖4 齒輪傳動嚙合位置圖

在AGMA B88(American Gear Manufactur-ers Association)標準[5]中，嚙合齒輪的載荷分配系數公式為

式中：ω為主動輪嚙合所在位置的轉角，θLPSTC為齒輪進入到單齒嚙合時主動輪的轉角，θHPSTC為齒輪進入到雙齒嚙合時主動輪的轉角，θ為齒輪脫離嚙合時主動輪的轉角。

3.2 ISO國際標準漸開線齒輪齒間載荷分配計算公式

在ISO 6336國際標準[5]中，嚙合齒輪的載荷分配系數公式為

3.3 漸開線齒輪齒廓參數公式

由于齒輪在嚙合過程中，2齒的曲率半徑之和是恒定的，所以為了更好地描述接觸點，José I. Pedrero等[13,14]在考慮輪齒嚙合過程中的彎曲、剪切變形和壓縮變形時，利用最小彈性勢能準則(MEPE)，建立了標準正齒輪和斜齒輪沿接觸線的負載分配模型，同時推導了漸開線齒輪齒廓參數公式，具體公式為

式中：ξc為主動輪所在嚙合位置下的齒廓參數，z為主動輪的齒數，rb為基圓半徑，rc為接觸點半徑。

圖5為漸開線齒輪的幾何形狀圖。

圖5 漸開線齒輪的幾何形狀圖

由于嚙合齒輪在不同嚙合位置下的接觸半徑不同，所承受的載荷也有所變化，在充分考慮這些因素后，利用嚙合齒輪在相應的接觸路徑及不同嚙合位置下的接觸比得到了嚙合齒輪齒間載荷分配系數。具體公式為

式中：ξ為主動輪的漸開線齒輪齒廓參數，ξinn為嚙合齒輪剛開始嚙合時主動輪的齒廓參數，εα為嚙合齒輪的重合度值。

4 點線嚙合齒輪傳動的三維建模

本文所研究的直齒點線嚙合齒輪主要參數的選擇如表1所示，其中主動輪為小齒輪，從動輪為大齒輪。

表1 一對點線嚙合齒輪的基本參數

根據表1中的齒輪參數，在Solidworks軟件中對點線嚙合齒輪傳動大、小齒輪進行三維建模，并完成齒輪的嚙合裝配。圖6、圖7所示分別為點線嚙合齒輪傳動大、小齒輪的齒廓曲線圖。

圖6 大齒輪齒廓曲線圖

圖7 小齒輪齒廓曲線圖

本文主要研究點線嚙合齒輪在1個嚙合周期內的齒間載荷的分配情況，為了提高計算效率，采用了齒輪的5對齒進行裝配仿真分析。圖8為點線嚙合齒輪傳動大小齒輪的裝配體圖。

圖8 點線嚙合齒輪傳動裝配體圖

5 有限元仿真分析

為更好地對點線嚙合齒輪傳動的齒間載荷分配進行研究分析，假設點線嚙合齒輪的輪體為剛性體，即在有限元分析前將輪齒的彈性模量在原來的基礎上擴大一萬倍[15]，彈性模量E=2×109MPa。

5.1 點線嚙合齒輪傳動的有限元分析前處理

在Ansys Workbench靜力學分析模塊中，將點線嚙合齒輪的材料設置為合金鋼，即20CrMnMo，材料彈性模量E=2×109MPa，泊松比為0.3。

本文采用面-面接觸的方式，選擇小齒輪嚙合面為接觸面，大齒輪嚙合面為目標面，接觸類型為有摩擦接觸(Frictional)，設置摩擦系數為0.1，網格采用六面體主導的劃分方法。圖9為點線嚙合齒輪網格劃分圖。

圖9 點線嚙合齒輪網格劃分圖

對從動輪施加固定約束(Fixed Support)，主動輪施加圓柱面約束(Cylindrical Support)，限制主動輪的徑向旋轉自由度(Radial)和軸向旋轉自由度(Axial)，釋放其切向旋轉自由度(Tangential)，同時對主動輪施加477.5N·m的扭矩，使得主動輪繞軸線順時針旋轉。圖10為點線嚙合齒輪約束設置圖。

圖10 點線嚙合齒輪約束設置圖

5.2 有限元仿真結果

利用有限元仿真得到點線嚙合齒輪傳動在不同嚙合位置下的齒間載荷仿真值。表2為在剛性體條件下，點線嚙合齒輪傳動在B2點 (ω=0°)、C點 (ω=7.88°)、D點(ω=12.85°)和B1點 (ω=20.74°)的齒間載荷仿真值和載荷分配率。

表2 剛性體條件下齒輪齒間載荷仿真值和分配率

圖11為基于有限元仿真齒間載荷分配率，結合表2可知，點線嚙合齒輪傳動在剛開始進入嚙合時，齒輪承受載荷突變為5 297.3 N，此時齒輪齒間載荷分配率為0.401；當主動輪轉角增加到7.88°時，齒輪承受載荷達到最大值為13 192 N；此后，主動輪轉角在7.88°～12.85°時，齒輪承受的載荷最大且基本保持不變；當主動輪轉角大于12.85°時，齒輪受載荷值開始逐漸下降，并在20.74°即齒輪開始脫離嚙合時，達到最小值為5 279.4 N，此時齒輪齒間載荷分配率為0.4。

圖11 基于有限元仿真齒間載荷分配率

將圖11擬合成直線，從而得到圖12所示點線嚙合齒輪傳動的齒間載荷分配率圖。

圖12 點線嚙合齒輪傳動齒間載荷分配率

6 結果分析

按式（7）、式（8）和式（10）分別得到理論計算的點線嚙合齒輪傳動齒間載荷分配率，并將結果與有限元仿真得到的點線嚙合齒輪傳動的齒間載荷分配率進行對比分析。

圖13為基于AGMA B88標準計算得到的點線嚙合齒輪傳動齒間載荷分配率，齒輪在剛進入嚙合時，齒輪齒間載荷值占總載荷的33.3%。當主動輪轉角為7.88°時，載荷值突然增大，齒輪齒間載荷值占總載荷的66.7%。當主動輪轉角在7.88°～12.85°時，齒輪承受載荷最大且基本保持不變。當主動輪轉角大于12.85°時，齒輪齒間載荷值開始突然下降，載荷分配率由100%下降到66.7%。在主動輪轉角為20.74°時，齒輪齒間載荷值下降到最小且占總載荷的33.3%，齒輪脫離嚙合，嚙合周期結束。

圖13 基于AGMA B88標準齒輪齒間載荷分配率

圖14為基于ISO 6336國際標準計算得到的點線嚙合齒輪傳動齒間載荷分配率，可以看出ISO 6336國際標準公式與AGMA B88標準公式計算得到的齒輪齒間載荷分配率相近。齒輪在剛進入嚙合時，齒輪齒間載荷值占總載荷的33.3%。當主動輪轉角為7.88°時，載荷值突然增大，此時齒輪齒間載荷值占總載荷的66.7%。當主動輪轉角在7.88°～12.85°時，齒輪承受載荷最大且基本保持不變。當主動輪轉角大于12.85°時，齒輪齒間載荷值開始突然下降，載荷分配率由100%下降到66.7%。在主動輪轉角為20.74°時，齒輪齒間載荷值下降到最小且占總載荷的33.3%，齒輪脫離嚙合，嚙合周期結束。

圖14 基于ISO 6336標準齒輪齒間載荷分配率

圖15為基于漸開線齒輪齒廓參數公式計算得到的點線嚙合齒輪傳動齒間載荷分配率，此公式與前2個公式計算得到的載荷分配率有所不同。齒輪在剛進入嚙合時，齒輪齒間載荷值占總載荷的36%。當主動輪轉角為7.88°時，載荷值開始突然增大，此時齒輪齒間載荷值占總載荷的64%。當主動輪轉角在7.88°～12.85°時，齒輪承受載荷最大且基本保持不變。當主動輪轉角大于12.85°時，齒輪齒間載荷值突然下降為總載荷的64%。在主動輪轉角為20.74°時，齒輪齒間載荷值下降到最小且占總載荷的36%，齒輪脫離嚙合，嚙合周期結束。

圖15 基于漸開線齒輪齒廓參數公式齒間載荷分配率

圖16為點線嚙合齒輪傳動齒間載荷分配率的有限元仿真分析結果。由式（7）、式（8）、式（10）理論計算結果的對比圖可以看出，點線嚙合齒輪傳動齒間載荷分配率的有限元仿真結果與理論計算結果有所不同。點線嚙合齒輪傳動在B2點(ω=0°)即剛開始進入嚙合時，齒輪齒間載荷分配率為0.401，大于理論計算的齒間載荷分配率。在B1點(ω=20.74°)即脫離嚙合時，齒輪齒間載荷分配率為0.4，也大于理論計算的齒間載荷分配率。

圖16 齒間載荷分配率有限元仿真與理論計算對比圖

由于點線嚙合齒輪傳動在剛進入嚙合即B2點(ω=0°)時的齒間載荷分配率為0.401，隨著主動輪轉角的增大，點線嚙合齒輪傳動的齒間載荷分配率呈線性增長，增長斜率為1/5。隨著主動輪繼續轉動，在脫離雙齒嚙合開始進入單齒嚙合即C點(ω=7.88°)時，點線嚙合齒輪傳動的齒間載荷分配率為1。在θLPSTC≤ω≤θHPSTC時，齒間載荷分配率保持不變。隨著主動輪轉角的繼續增大，在脫離單齒嚙合開始進入雙齒嚙合即D點(ω=12.85°)時，點線嚙合齒輪傳動的齒間載荷分配率開始呈線性下降趨勢，斜率為1/5。B1點(ω=20.74°)即齒輪脫離嚙合時，齒間載荷分配率下降到最小值為0.4。結合AGMA B88標準和ISO 6336國際標準以及圖12得到點線嚙合齒輪傳動的齒間載荷分配計算公式為

式（11）、式（12）主要適用于在剛性體條件下，對點線嚙合齒輪傳動的齒間載荷分配率進行高效快捷的計算，為以后研究點線嚙合齒輪傳動的嚙合剛度的問題提供理論依據。

7 結論

1）漸開線齒輪齒間載荷分配計算公式不適用于點線嚙合齒輪傳動。

2）仿真結果表明，點線嚙合齒輪傳動在嚙合過程中，輪齒所受力的變化仍然接近于線性變化。

3）點線嚙合齒輪傳動在剛進入嚙合即B2點時齒輪齒間載荷由零突然增大到總載荷的2/5，故需考慮齒輪在剛開始嚙合時所受載荷沖擊對輪齒的破壞。

4）點線嚙合齒輪傳動在雙齒嚙合開始時的B2點和雙齒嚙合結束時的B1點的載荷占總載荷的2/5，而在雙齒嚙合結束時的C點和雙齒嚙合開始時的D點的載荷占總載荷的3/5。