旋轉(zhuǎn)倒立擺的顯式模型預(yù)測(cè)控制

馬永凌

[摘? ? 要] 基于拉格朗日方程對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)上進(jìn)行了線性化的數(shù)學(xué)建模。在多參數(shù)二次規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上，建立了顯示模型預(yù)測(cè)的控制系統(tǒng)，且在旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用上做了研究。最后通過(guò)Matlab進(jìn)行仿真，結(jié)果表明：EMPC方法對(duì)于旋轉(zhuǎn)倒立擺的平衡控制效果良好。

[關(guān)鍵詞] 旋轉(zhuǎn)倒立擺;建模;多參數(shù)二次規(guī)劃;顯式模型預(yù)測(cè)控制;仿真

0? ? ? 引? ? 言

旋轉(zhuǎn)倒立擺是一個(gè)結(jié)構(gòu)不復(fù)雜、成本不高、體積不大的實(shí)驗(yàn)設(shè)備，但卻是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合、多變量的自然不穩(wěn)定被控制對(duì)象，被廣泛應(yīng)用于控制理論的研究，是個(gè)理想的研究平臺(tái)。

模型預(yù)測(cè)控制（MPC）技術(shù)是一種處理多變量約束系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題的最有效方法之一。但由于模型預(yù)測(cè)控制需要實(shí)時(shí)的在線優(yōu)化，因此只能應(yīng)用于慢速過(guò)程，不適用于旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)。為此本文研究顯式模型預(yù)測(cè)控制（EMPC）控制器，將在線的優(yōu)化求解計(jì)算放到離線進(jìn)行，從而提高在線計(jì)算的速度，完成對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺的平衡點(diǎn)控制，并用Matlab進(jìn)行仿真。

1? ? ? 旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

如圖1為旋轉(zhuǎn)倒立擺的模型結(jié)構(gòu)，擺桿由于重力作用，在垂直方向上會(huì)自然地?cái)[到垂直向下的位置，為自然不穩(wěn)定的被控制對(duì)象。本研究的控制目的為通過(guò)電機(jī)使旋臂轉(zhuǎn)動(dòng)，并且通過(guò)旋臂的轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)擺桿，使擺桿能夠保持在垂直向上的不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)位置上。

在不考慮各種摩擦力與阻力的前提下，可以把擺桿與旋臂都抽象為勻質(zhì)桿，其中擺桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，相對(duì)于其垂直向上的方向零位的角位移為θ;旋臂的長(zhǎng)度為R，相對(duì)于其水平方向上的方向零度的角位移為α。

旋轉(zhuǎn)倒立擺的模型總是具有一定的非線性和時(shí)變性，模型的結(jié)構(gòu)與參數(shù)總是具有一定的攝動(dòng)特性，以及模型總是存在一些外部的干擾，本研究的控制方案就是在此線性化后的狀態(tài)空間模型上進(jìn)行的。

2? ? ? 顯式模型預(yù)測(cè)控制

MPC為Model Predictive Control的縮寫，又稱模型預(yù)測(cè)控制。MPC模型預(yù)測(cè)控制的基本運(yùn)行機(jī)理為：

①預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)動(dòng)態(tài)求解。

②優(yōu)化路徑問(wèn)題。

③解得的第一個(gè)元素直接作用于系統(tǒng)。

④滾動(dòng)時(shí)域、重復(fù)進(jìn)行。

在MPC模型預(yù)測(cè)控制中存在反復(fù)在線優(yōu)化的模塊，使得模型預(yù)測(cè)控制普遍只適用于慢速過(guò)程，很難適用于動(dòng)態(tài)變化較快的旋轉(zhuǎn)倒立擺控制。然而Bemporad等人在2002年提出來(lái)的EMPC是一種面向小規(guī)模控制命題的快速M(fèi)PC算法[3-5]。

EMPC為Explicit Model Predictive Control的縮寫，又稱顯式模型預(yù)測(cè)控制。

EMPC顯式模型預(yù)測(cè)控制的主要思想是通過(guò)多參數(shù)二次規(guī)劃的思想，將在線的優(yōu)化求解計(jì)算放到離線進(jìn)行，從而提高在線計(jì)算的速度，使得顯式模型預(yù)測(cè)控制能夠適用于動(dòng)態(tài)變化較快的旋轉(zhuǎn)倒立擺控制。

因?yàn)樯厦娴牟坏仁蕉际顷P(guān)于當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)x0的線性不等式，因此可以將整個(gè)狀態(tài)空間內(nèi)劃分出很多個(gè)互不重疊的CR。由此可以得到與隱式閉環(huán)模型預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)等價(jià)的顯式模型預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)，即分段防射（PWA）系統(tǒng)。

3? ? ? EMPC下旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)仿真

為了評(píng)估EMPC顯示模型預(yù)測(cè)控制方法的控制性能，本文引入顯式模型預(yù)測(cè)控制技術(shù)通過(guò)利用Matlab對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真研究。

其中有3個(gè)工具箱可以使用進(jìn)行仿真：

①M(fèi)PT3 為Multi-Parametric Toolbox 3的縮寫，又稱多參數(shù)工具箱，是一個(gè)開源的，基于Matlab的工具箱，用于參數(shù)優(yōu)化，計(jì)算幾何模型和模型預(yù)測(cè)控制。

②Hybrid Toolbox，是由EMPC顯式模型預(yù)測(cè)控制的提出者Alberto Bemporad創(chuàng)作的工具箱。這工具箱可以針對(duì)線性系統(tǒng)直接設(shè)計(jì)模型預(yù)測(cè)控制（MPC）以及顯式模型預(yù)測(cè)控制（EMPC）控制器，對(duì)于混合系統(tǒng)（Hybrid system）同樣十分適用。

③Matlab中也有自帶的函數(shù)，其調(diào)用也十分方便。

以上三種方式都能有效地實(shí)現(xiàn)EMPC顯式模型預(yù)測(cè)控制，相互之間又各有差異與側(cè)重點(diǎn)，大家可以依據(jù)需求選擇自己的方法。

由于調(diào)用MPT3的方式十分簡(jiǎn)潔，幾行代碼就能輸出顯式MPC控制器，并且能夠直接繪圖，更加直觀。因此本文通過(guò)利用Matlab的MPT3工具箱對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真研究。

得到旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的EMPC控制結(jié)果如圖2-圖6所示。

從圖2-圖6可以得知，通過(guò)顯式模型預(yù)測(cè)控制，旋轉(zhuǎn)倒立擺的旋臂與擺桿能夠在短時(shí)間間內(nèi)精確地穩(wěn)定在平衡點(diǎn)附近，并且各狀態(tài)變量也都能夠控制在之前設(shè)定的約束條件之內(nèi)，仿真符合預(yù)期。

通過(guò)仿真研究能夠發(fā)現(xiàn)：①顯式模型預(yù)測(cè)控制的耗時(shí)更少;②顯式模型預(yù)測(cè)控制精確性更高;③顯式模型預(yù)測(cè)控制對(duì)于有約束系統(tǒng)的控制更有效，并且不難發(fā)現(xiàn)通過(guò)顯式模型預(yù)測(cè)控制能夠把狀態(tài)變量與輸入變量的變化控制在預(yù)設(shè)的約束范圍之內(nèi)。

但是EMPC顯式模型預(yù)測(cè)控制也有它的局限性，實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中EMPC顯式模型預(yù)測(cè)控制還是有它自身的限制的，最大的短處就是求得的控制率函數(shù)比較復(fù)雜，而且函數(shù)的復(fù)雜度隨著參數(shù)的增多（比如預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的增大）呈指數(shù)增長(zhǎng)，這樣仿真計(jì)算的時(shí)間會(huì)越來(lái)越長(zhǎng)，系統(tǒng)所需要的存儲(chǔ)空間會(huì)越來(lái)越大，所以一般EMPC也僅適用于小規(guī)模的問(wèn)題，如旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)。如果要縮小EMPC顯式模型預(yù)測(cè)控制的運(yùn)算時(shí)間或者系統(tǒng)儲(chǔ)存空間，就不得不要放棄一部分的準(zhǔn)確度。

4? ? ? 結(jié)? ? 語(yǔ)

本文首先基于拉格朗日方程對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)上擺進(jìn)行了線性化的數(shù)學(xué)建模。然后對(duì)于EMPC顯式模型預(yù)測(cè)控制的控制原理進(jìn)行了分析推理。通過(guò)EMPC顯式模型預(yù)測(cè)控制的控制使擺桿能夠保持在垂直向上的不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)位置上，從仿真結(jié)果來(lái)看效果不錯(cuò)。顯式模型預(yù)測(cè)控制（EMPC）作為模型預(yù)測(cè)控制（MPC）的一個(gè)重要分支，從被提出至今已經(jīng)有將近20年的歷史了。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，顯式模型預(yù)測(cè)控制就是在傳統(tǒng)的模型預(yù)測(cè)控制基礎(chǔ)上，將原本需要在線（on-line）優(yōu)化求解的控制量轉(zhuǎn)化成離線（off-line）模式。換句話說(shuō)，將控制量表示為一個(gè)關(guān)于狀態(tài)量x_0的函數(shù)，而且這函數(shù)是piecewise-affine（PWA分段仿射）函數(shù)。但關(guān)于EMPC顯式模型預(yù)測(cè)控制方法改進(jìn)的研究還是一件任重而道遠(yuǎn)的事。要在系統(tǒng)存儲(chǔ)量要求高、運(yùn)算耗時(shí)量大與控制精確度中做出取舍，使之達(dá)到最優(yōu)的控制效果。

主要參考文獻(xiàn)

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