MATLAB在高階線性微分方程求解中的應用

王橋明 梁春葉 黃小英 李延創 李麗潔

摘 要：高階線性微分方程在各個領域有著較為廣泛的應用，對于一類的高階線性微分方程存在簡單的求解方法。本文結合高階線性微分方程的解法與MATLAB的編程功能展示其簡便的運算過程，提高高階線性微分方程的求解速率，對高階線性微分方程的應用推廣有一定的意義。

關鍵詞：高階線性微分方程;MATLAB;求解

1 概述

隨著自然科學的不斷發展，微分方程一支得到的快速的發展，其中又以常微分方程較為顯著，進而常微分方程的應用也變得越來越廣泛。其中線性方程更是廣泛的涉獵基礎科學的應用，例如化學，工程技術，天文學中星際軌道的計算，物理中的力學計算，預防學中傳染病遺傳的研究與探討等。對于一些簡單的線性微分方程組的計算，人為的速度有時不亞于計算機的速度，但是涉獵到復雜的高階線性微分方程組組的計算，其中的計算理論是相對簡單，便于理解的，但是能夠借助于數學軟件MATLAB在高階線性微分方程組的應用將會加快計算的速度，提高工作效率。同時在信息化的新時代，不斷挖掘軟件的應用，將會在微分方程的教學過程中起到協助的作用。

數學軟件MATLAB除了本身具有強大的計算能力之外，在數學專業的其他領域也占據重要位置，與此同時該軟件也作為數學專業學生必修的應用軟件。MATLAB尤其在數學建模，概率統計，高等代數，解析幾何，數學分析中占據重要位置。更關鍵的是MATLAB除了在求解方面的強大功能之外，對于畫圖功能更是有進一步的造化。特別是有些微分方程組的解不是顯式解，但通過MATLAB可以將微分方程組的顯式解快速生動形象的顯示出來。有一些是數值解與圖像解可以統一的呈現，人們可以明顯地將兩者進行比較。

對于二階及二階以上的微分方程，我們稱為高階微分方程。對于低階微分方程的解法，人們已經研究得非常透徹，其中不缺乏很多求解公式。雖說人類能夠解的微分方程少之又少，但對于高階微分方程的解法主要通過降階求解法，冪級數求解法，然后通過通解公式或其他的線性變換等求解，處理過程比較冗長且容易出錯。高階微分方程的解法涉及的理論不是很多，但是對于其解法MATLAB在其中的應用是十分有意義的。

本文將主要介紹高階微分方程組和利用MATLAB在微分方程中的強大功能輔助高階微分方程的求解，以及對于解法過程進行詳細介紹與總結，并結合經典實例分類加以說明如何進行軟件的具體操作。

2 高階微分方程

2.1 高階微分方程涉及的理論[1]

高階方程的主要包括可降階的方程和線性方程解的結構，線性性方程解的結構的主要內容是二階常系數線性方程解的結構。其中包括利用待定系數法求解的f（x）的形式及其特解的形式，另一個是利用特征根法求解的特征方程的根及其對應項。n階齊次線性微分方程的一般表達式為：

3 總結

通過各類型的線性微分方程的解法介紹與具體實例表達，易見MATLAB對于求解微分方程尤其是高階微分方程具有獨特的優勢所在，并且可以根據同類型或者不同類型的方程設計出統一的程序代碼可以使用，不僅僅在計算工作層面節省了計算工作量，在一定的層次上提高了計算速度，更為優化的是在一定程度上提高了計算準確性，同時在微分方程的輸入上和一般的輸入相同，符合人性化，使用起來更加便捷。但需要注意的是在描述方程的等號時應該使用雙等號“==”，否則函數的調用會顯示報錯，總而言之，高階線性微分方程的求解與MATLAB的應用是一個自身優化與互助的。

參考文獻：

[1]王高雄，周之銘，朱思銘.常微分方程.北京：高等教育出版社，2006-07.

[2]華蘇，扈志明.微積分學習指導 典型例題精解大學數學學習指導系列.北京：科學出版社，2003.08.

[3]朱思銘.常微分方程學習輔導與習題解答.北京：高等教育出版社，2009-01.

[4]四川大學數學學院高數學教研室.高等數學習題課同步教材.成都：四川大學出版社，2012.09.

[5]薛定宇.MATLAB微分方程求解.北京：清華大學出版社，2020-01.