淺談概率論與數理統計的學習策略

李云娟 樊雪雙

摘 要：本文主要介紹了《概率論與數理統計》課程中四個方面的學習策略，主要包括寫章節知識網絡圖、總結概率類型、一題多解，改變題目的條件或結論同時對這四方面策略的使用進行舉例說明。

關鍵詞：學習策略;知識結構圖;概率題類型;一題多解

一、緒論

概率論與數理統計是一門研究隨機現象的統計規律性和隨機數據處理技術的數學學科[1]，其理論發展迅速，應用也極其廣泛，這門課也是很多高校開設的核心數學課程之一，這門課程包括兩部分，其中一部分是概率論，另一部分是數理統計，一般大學生來到高校之后首先學習的是《高等數學》這門課，學完之后部分專業學生會學習數學學科的其他數學課程，概率論與梳理統計就是其中一門數學課程，很多學生在學概率論與數理統計課程時會繼續采用《高等數學》課程的思維方式去學習往往效果不理想，學生會感覺上課對知識的理解淺顯，老師稍微換個表達方式就不理解，對于課后作業題目能閱讀完，可是對題目的解決辦法很茫然，當然更談不上靈活運用，舉一反三了，久而久之，學生出現厭煩這門課的心理狀態，上課無法專心聽講，當然考試成績也不理想，其實《概率論與數理統計》這門課程的理論與思維方式與《高等數學》不同，《高等數學》包含的基本上更多的是一種數學理論、推理和計算，而《概率論與數理統計》主要研究的是隨機現象，學生經常反應學好《高等數學》不是很難，但是學好《概率論與數理統計》卻是困難的，他們反映在學習這門課程時會感到力不從心，對知識的掌握不牢固，有時連題目讀懂也有困難，尤其是概率這部分，概率類型多，做概率題時不知道用哪個概率公式，理不清頭緒，考試過關率低。學生之所以出現這些情況并不是學生智商低，學習不努力，關鍵是學生沒有找到適合這門課程的學習策略，孫建平等人在概率論與數理統計學習策略的統計分析論文中采用問卷調查和考試的方法進行調查分析，研究了學習策略對概率論與數理統計學習成績的影響。結果發現，學習策略和概率論與數理統計學習成績密切相關，學習策略對概率論與數理統計學習成績影響顯著[2]，有效的學習策略會使得學生學習效率提高，增強學生學習信心，使得學生喜歡上這門課程。

二、數學學習策略

數學學習策略指的是在數學學習情境中，學生根據自身情況和對數學學習目標的認識，控制數學學習過程，優化數學學習方法，整合數學學習活動，提高數學學習效率的系統的學習過程[3]。

三、概率論與數理統計的學習策略

本文根據學生學習狀況及數學學習策略以及自己多年的教學經驗從一名教師的視角出發提出以下四種學習《概率論與梳理統計》的學習策略：

（一）編寫知識結構圖

知識結構圖是指把所學內容進行整理并制成比較系統完整的知識結構圖示。知識結構的整理與展示可以幫助學生梳理知識，增強學生對知識之間內在聯系的理解。概率論知識在最初幾節里主要介紹基本概念、公式，后面章節主要介紹一些事件概率的計算方法。這里內容繁雜，如果采用編寫知識結構圖的方法對這些知識進行梳理，可以使繁雜的知識條理化，有助于理解記憶知識點，減輕學生學習的負擔。知識結構圖可以是每一節的，也可以是每一章，或者是一本書的，大家可以按照書上章節大標題及里面的小標題編寫知識結構圖，也可以自己根據知識之間的關系按照自己的目的和要求進行編寫。下圖是概率論與數理統計的第一節樣本空間、隨機事件的知識結構圖（圖1）。

（二）對概率問題進行總結歸類

《概率論與數理統計》第一章里介紹了很多種類型概率問題，學生在學習時會一知半解，再加上概率題類型多，學生就更容易混淆，因此在這部分內容里面學生需要先弄清各種類型概率的定義，然后抓住其本質特點進行總結歸類，可以從問題入手尋找解決辦法：

1.條件概率的適用條件

條件概率的定義：設A、B為兩事件，P（B）>0，則稱P（AB）/P（B）為事件B發生的條件下事件A發生的條件概率，記為P（A|B）=P（AB）P（B）如果問題中出現在事件A發生的情況下事件B發生的概率可以考慮用條件概率：

例1：某批產品共100件，其中有8件是不合格產品，而8件不合格產品中又有5件是次品，3件是廢品，今從100件產品中任取一件已知抽到的是不合格品，求它是廢品的概率。

分析：問題可敘述成在抽到的產品為不合格產品的情況下是廢品的概率，所以考慮用條件概率公式。

2.乘法公式適用的條件

乘法公式定義：P（AB）=P（A）PBA（P（A）>0），根據乘法公式定義，判斷出乘法公式是求積事件的概率，因此如果問題出現求兩個事件同時發生的概率則考慮用乘法公式

例2 某批產品中，甲廠生產的產品占60%，甲廠的產品的次品率為10%，從這批批產品中隨意的抽取一件，求該產品是甲廠生產的次品的概率。

分析：問題為該產品是甲廠生產的次品率，即就是既要是甲廠生產的產品同時還要是次品，說明是兩件事同時發生，所以考慮用乘法公式。

解：A：從這批產品中隨意的抽取一件產品是甲廠生產的

B：從這批產品中隨意的抽取一件產品是次品

3.貝努里概型公式的適用條件

如果出現做n次實驗，事件A發生K次的概率則可以考慮用貝努里概型公式Pn（k）=Cknpk（1-p）n-k。

例3 某彩票每周開獎一次，每一次提供十萬分之一的中獎機會，若你每周買一張彩票，盡管你堅持十年（每年52周）之久，你從未中過一次獎的概率是多少？

分析：按假設，每次中獎的概率是10-5，于是每次未中獎的概率是1-10-5，每周買一張彩票，堅持十年（每年52周），十年共購買彩票520次，每次開獎都是相互獨立的，從未中過一次獎指中獎0次，即要計算做實驗520次，事件發生0次的概率，則可以考慮采用貝努里概型公式。

解：十年中未中過獎（每次都未中獎）的概率是：

（三）嘗試一題多解

一題多解可以幫助學生扎實的掌握的知識點，提高學生多角度、多層次分析問題的能力，進而達到對問題的全面理解，迅速而準確的解決問題的目的。下面來舉例說明：

例4 設在一個盒子里裝有10只晶體管，4只是次品，6只是正品，在其中取兩次，每次任取一只，做不放回抽樣，問兩次都取到正品的概率是多少？

分析：問題為兩次都取正品的概率，說明是兩件事同時發生所以考慮用乘法公式，這就是解法1;另外這還是一個古典概型，所以也可以考慮用古典概型公式去解決，即就是解法2。

解法1：設A：第一次取到的是正品晶體管

（四）嘗試改變題目的條件或結論

學生在做《概率論與數理統計》這門課程的練習題時可以在做完原題的基礎上嘗試改變題目的條件或者結論，使得原先的一道題變成多到題，然后試圖用學過的方法來解決，學生做這種被改變的題目時就需要多看書多分析知識點之間的差別，多注意題型的變化，學生經常做這樣的訓練將會對知識點掌握的更加牢固，解決問題方法也將更靈活。

例4：某廠生產一批燈泡共100只，其中有6只是不合格產品，而6只不合格產品中又有4只是次品，2只是廢品，今從100只燈泡中任取一只：

（1）求抽到的燈泡是廢品的概率。

（2）已知抽到的燈泡是不合格品，求它是廢品的概率。

此題一共有兩問，第一問是古典概型可用古典概型公式，第一問可改成下面的題目抽到的是次品的概率，還可改成抽到的是合格品的概率是多少，改變之后的兩道題也是采用古典概型公式就可以解決的，這樣一道題就可以改編成2道題目，而且學生對于古典概型掌握的將更加熟練;第二問采用條件概率公式，該題改編成已知抽到的燈泡是不合格品，求它是次品的概率，改變之后也可以采用條件概率公式。

四、結語

《概率論與數理統計》這門課程在大學里是一門較難掌握的科目，本文介紹了這門課程的四個方面的學習策略，分別是編寫思維導圖，總結歸類，一題多解和嘗試改變題目的條件和結論，同時本文還通過進行舉例和分析來說明這四個策略的具體使用方法。

參考文獻：

[1]黎協銳，譚偉明.概率論與數理統計.航空工業出版社，2017.

[2]孫建平，呂效國，陸利平.概率論與數理統計學習策略的統計分析.高師理科學刊，2011.

[3]白雪.高一學生數學學習策略的調查研究——以阜新市H和S高中為例[D].沈陽師范大學，2017.

項目：感謝西安思源學院2020年精品在線開放課程校級項目概率論與數理統計的支持