霍爾效應中系統誤差的測量和分析

江陰職業技術學院 倪忠楚

根據霍爾效應公式及其愛廷豪森效應、里紀-勒杜克效應、能斯脫效應和不等位電勢差四個副效應的關系式，結合對稱測量法的特點，推導出了這四個副效應在霍爾效應中產生電壓的測量計算式，并得到了它們與霍爾電壓的相對誤差表示式，簡要分析了產生誤差的原因，提出了減小誤差的方法。

霍爾效應及應用實驗是高校理工科重要實驗之一，由于在霍爾效應中，還伴隨著愛廷豪森效應、里紀-勒杜克效應、能斯脫效應和不等位電勢差四個副效應，這些副效應對霍爾電壓的測量帶來較大的影響，在實驗室里常用對稱測量法來減小這些影響。目前，霍爾效應在自動化技術、智能制造技術、精密檢測技術和物聯網應用技術等領域內有非常廣泛和重要的應用，在實際應用中，四個副效應帶來的系統誤差不可能采用實驗室里的方法加以消除，為了提高其使用精確度，文章對霍爾效應中由副效應引起的系統誤差如何進行測量和分析做了一些研究，其方法、數據和結論對生產廠商在霍爾晶片的設計和制造工藝等方面具有十分重要的參考價值，并為系統誤差的修正提供必要的依據。

1 霍爾效應中系統誤差的測量計算式

1.1 霍爾效應和四個副效應

上面公式中，KH是霍爾晶片的靈敏度，與晶片本身有關，Is是通過霍爾晶片的電流，B是垂直于霍爾晶片的磁感應強度，QS是通過霍爾晶片的熱流，與電流方向無關，r是晶片兩側輸出電壓電極由于不在同一等位面上時，存在的差值電阻。

從上面公式中看出，霍爾電壓VH和愛廷豪森效應引起的電壓VE的方向與電流Is和磁場B的方向均有關系，而里紀-勒杜克效應引起的電壓VRL和能斯脫效應引起的電壓VN的方向僅與磁場的方向有關，而與電流方向無關，不等位電勢差V0的方向僅與電流方向有關，而與磁場方向無關。

1.2 霍爾效應實驗的對稱測量法

在實驗室里，根據霍爾電壓方向和四個副效應引起電壓方向的特點，常采用對稱測量法，即改變電流和磁場的方向，來消除副效應的影響，具體如下。

當工作電流和磁場方向為：

（1）+Is，+B

根據式(1)、(2)、(3)、(4)和(5)得：

從上式看到，在對稱測量法中，雖然無法消除愛廷豪森效應對霍爾電壓測量的影響，但它遠小于霍爾電壓，與不等位電勢差相比，影響也較小，對精度要求不是很高的測量，可以忽略不計，這樣實驗室里采用對稱測量法，得到的霍爾電壓的測量計算式為：

上式中，VH-m表示霍爾電壓的測量值，這就是在實驗室里采用對稱測量法常用的霍爾電壓測量計算式。

需要說明的是，用式(6)計算結果若是正值，表明霍爾電壓的實際方向與假設方向相同，若是負值，表明霍爾電壓的實際方向與假設方向相反。

1.3 里紀-勒杜克效應、能斯脫效應和不等位電勢差引起誤差的測量計算式

1.3.1 里紀-勒杜克效應和能斯脫效應產生的電壓之和及引起誤差的測量計算式

因為：

若用VRLN-m表示里紀-勒杜克效應和能斯脫效應產生的電壓之和的測量值，則：

實際測量中，若計算結果是正值，表明里紀-勒杜克效應和能斯脫效應產生電壓之和的實際方向與假設方向相同，若是負值，表明電壓的實際方向與假設方向相反。

與霍爾電壓相比，產生的相對誤差為：

同樣，若計算結果為正值，表示兩者同向，反之為反向。

下面從理論上對它做一下誤差分析。

由式(8)展開得：

式中，Qs是沿電流Is方向霍爾晶片里的熱流，它與晶片兩端的溫度差有關，而溫度差與連接電極的接觸電阻差值的大小有關，還與電流Is的大小有關。

由此可見，里紀-勒杜克效應和能斯脫效應引起的相對誤差，除霍爾晶片本身的材料和外界的工作電流有關外，還與連接電極的接觸電阻差值的大小有關，或者說，里紀-勒杜克效應和能斯脫效應就是由霍爾晶片連接電極的接觸電阻不同引起的，所以在制作霍爾晶片時，連接晶片兩端電極的接觸電阻盡量相同，這樣可以大大減小由此而引起的誤差。

1.3.2 不等位電勢差及引起誤差的測量計算式

因為：

若用V0-m表示不等位電勢差的測量值，則：

同樣，計算結果若是正值，表明不等位電勢差的實際方向與假設方向相同，若是負值，表明不等位電勢差的實際方向與假設方向相反。

與霍爾電壓相比，產生的相對誤差為：

同樣，若計算結果為正值，表示兩者同向，反之為反向。

下面也從理論上對它做一下誤差分析。

由式(11)展開得：

從上式看到，不等位電勢差引起的相對誤差，除了跟外界磁感應強度成反比外，還與材料本身有關，r是晶片兩側輸出電壓電極由于不在同一等位面上時，存在的差值電阻，該電阻越小，誤差越小。由于一般情況下，不等位電勢差引起的誤差在整個系統誤差里占比最大，所以特別要注意它的制作工藝。

1.3.3 愛廷豪森效應引起誤差分析

先對愛廷豪森效應產生的電壓作簡要分析。

愛廷豪森效應是由于霍爾晶片里截流子熱運動速率不同，速率大的由于受到的洛倫茲力也大，大于同時受到的電場力，因而會偏向晶片的一側，而速率小由于受到的洛倫茲力小于受到的電場力而偏向另一側，這樣在霍爾晶片的兩側形成溫度梯度而產生湯姆遜效應。

湯姆遜電動勢為：

式中，ε是沿積分方向的湯姆遜電動勢，σ(T)稱湯姆遜系數，與材料和溫度有關，金屬的湯姆遜系數很小，在0℃時，銅的湯姆遜系數的數量級為10-6V.K-1，而半導體的湯姆遜系數比金屬要大得多，數量級一般為10-3V.K-1。

在愛廷豪森效應中，霍爾晶片兩側的溫差是很小的，可以把湯姆遜電動勢積分式里的σ(T)看成是一個常量，這樣湯姆遜電動勢計算為：

根據式(1)和(2)，愛廷豪森效應產生的電壓相對于霍爾電壓的誤差為：

從上式中看到，愛廷豪森效應引起的相對誤差與工作電流Is和磁感應強度B均是無關的，跟材料的湯姆遜系數有關，湯姆遜系數越小，誤差越小，還跟霍爾晶片的靈敏度有關，靈敏度越大，誤差越小。對于給定的霍爾晶片，在工作環境溫度一定的情況下，愛廷豪森效應引起的相對誤差是一定的。

前面已經闡明，在實驗室里用對稱測量法，無法消除愛廷豪森效應的影響，同樣也無法用對稱測量法的測量來計算出愛廷豪森效應產生電壓的測量值。

如電流采用交流電時，可以消去愛廷豪森效應和其它熱磁效應的影響，由于已有文獻對此做出了論述，在此不再討論。但需要說明的是，如果在交流法中交流電流的有效值與對稱測量法的直流電流相等，且磁場的感應強度也相等的情況下，這兩種方法測到的霍爾電壓的差值，可以認為是愛廷豪森效應產生的電壓值，它與霍爾電壓的相對誤差同樣可以計算了。

2 結語

本文從霍爾效應公式和四個副效應的關系式出發，結合對稱測量法的特點，導出了里紀-勒杜克效應和能斯脫效應產生的電壓之和的測量計算式(7)和不等位電勢差的測量計算式(10)，并結合交流法，給出了測量愛廷豪森效應產生電壓的方法。同時導出了它們與霍爾電壓相對誤差的關系式(9)、(12)和(13)，通過簡要分析，為減小實際應用中副效應帶來的系統誤差，在霍爾晶片材料的選擇和制造工藝上提出了一些建議。

筆者曾對實驗室里的兩個樣品（樣品1：靈敏度為2.84mV.mA-1GS-1的硅晶片，螺線管匝數密度為109.07×102m-1；樣品2：靈敏度為2.54mV.

mA-1GS-1的硅晶片，螺線管匝數密度為111.70×102m-1）進行過實際研究，在勵滋電流為0.7A且保持不變的條件下，改變工作電流從1.0mA遞增到10mA，其中里紀-勒杜克效應和能斯脫效應引起的相對誤差極小，平均值在0.1%左右，且在電流增大后趨近于零；不等位電勢差的相對誤差最大，樣品1平均值為8.8%，樣品2平均值為17.6%，且基本保持不變，而愛廷豪森效應引起的相對誤差兩個樣品均在3%左右，且均保持不變，與其它文獻在5%以下的結論相符。