霍爾效應(yīng)中系統(tǒng)誤差的測(cè)量和分析

江陰職業(yè)技術(shù)學(xué)院 倪忠楚

根據(jù)霍爾效應(yīng)公式及其愛廷豪森效應(yīng)、里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)、能斯脫效應(yīng)和不等位電勢(shì)差四個(gè)副效應(yīng)的關(guān)系式，結(jié)合對(duì)稱測(cè)量法的特點(diǎn)，推導(dǎo)出了這四個(gè)副效應(yīng)在霍爾效應(yīng)中產(chǎn)生電壓的測(cè)量計(jì)算式，并得到了它們與霍爾電壓的相對(duì)誤差表示式，簡(jiǎn)要分析了產(chǎn)生誤差的原因，提出了減小誤差的方法。

霍爾效應(yīng)及應(yīng)用實(shí)驗(yàn)是高校理工科重要實(shí)驗(yàn)之一，由于在霍爾效應(yīng)中，還伴隨著愛廷豪森效應(yīng)、里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)、能斯脫效應(yīng)和不等位電勢(shì)差四個(gè)副效應(yīng)，這些副效應(yīng)對(duì)霍爾電壓的測(cè)量帶來較大的影響，在實(shí)驗(yàn)室里常用對(duì)稱測(cè)量法來減小這些影響。目前，霍爾效應(yīng)在自動(dòng)化技術(shù)、智能制造技術(shù)、精密檢測(cè)技術(shù)和物聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用技術(shù)等領(lǐng)域內(nèi)有非常廣泛和重要的應(yīng)用，在實(shí)際應(yīng)用中，四個(gè)副效應(yīng)帶來的系統(tǒng)誤差不可能采用實(shí)驗(yàn)室里的方法加以消除，為了提高其使用精確度，文章對(duì)霍爾效應(yīng)中由副效應(yīng)引起的系統(tǒng)誤差如何進(jìn)行測(cè)量和分析做了一些研究，其方法、數(shù)據(jù)和結(jié)論對(duì)生產(chǎn)廠商在霍爾晶片的設(shè)計(jì)和制造工藝等方面具有十分重要的參考價(jià)值，并為系統(tǒng)誤差的修正提供必要的依據(jù)。

1 霍爾效應(yīng)中系統(tǒng)誤差的測(cè)量計(jì)算式

1.1 霍爾效應(yīng)和四個(gè)副效應(yīng)

上面公式中，KH是霍爾晶片的靈敏度，與晶片本身有關(guān)，Is是通過霍爾晶片的電流，B是垂直于霍爾晶片的磁感應(yīng)強(qiáng)度，QS是通過霍爾晶片的熱流，與電流方向無關(guān)，r是晶片兩側(cè)輸出電壓電極由于不在同一等位面上時(shí)，存在的差值電阻。

從上面公式中看出，霍爾電壓VH和愛廷豪森效應(yīng)引起的電壓VE的方向與電流Is和磁場(chǎng)B的方向均有關(guān)系，而里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)引起的電壓VRL和能斯脫效應(yīng)引起的電壓VN的方向僅與磁場(chǎng)的方向有關(guān)，而與電流方向無關(guān)，不等位電勢(shì)差V0的方向僅與電流方向有關(guān)，而與磁場(chǎng)方向無關(guān)。

1.2 霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)的對(duì)稱測(cè)量法

在實(shí)驗(yàn)室里，根據(jù)霍爾電壓方向和四個(gè)副效應(yīng)引起電壓方向的特點(diǎn)，常采用對(duì)稱測(cè)量法，即改變電流和磁場(chǎng)的方向，來消除副效應(yīng)的影響，具體如下。

當(dāng)工作電流和磁場(chǎng)方向?yàn)椋?/p>

（1）+Is，+B

根據(jù)式(1)、(2)、(3)、(4)和(5)得：

從上式看到，在對(duì)稱測(cè)量法中，雖然無法消除愛廷豪森效應(yīng)對(duì)霍爾電壓測(cè)量的影響，但它遠(yuǎn)小于霍爾電壓，與不等位電勢(shì)差相比，影響也較小，對(duì)精度要求不是很高的測(cè)量，可以忽略不計(jì)，這樣實(shí)驗(yàn)室里采用對(duì)稱測(cè)量法，得到的霍爾電壓的測(cè)量計(jì)算式為：

上式中，VH-m表示霍爾電壓的測(cè)量值，這就是在實(shí)驗(yàn)室里采用對(duì)稱測(cè)量法常用的霍爾電壓測(cè)量計(jì)算式。

需要說明的是，用式(6)計(jì)算結(jié)果若是正值，表明霍爾電壓的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同，若是負(fù)值，表明霍爾電壓的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。

1.3 里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)、能斯脫效應(yīng)和不等位電勢(shì)差引起誤差的測(cè)量計(jì)算式

1.3.1 里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)和能斯脫效應(yīng)產(chǎn)生的電壓之和及引起誤差的測(cè)量計(jì)算式

因?yàn)椋?/p>

若用VRLN-m表示里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)和能斯脫效應(yīng)產(chǎn)生的電壓之和的測(cè)量值，則：

實(shí)際測(cè)量中，若計(jì)算結(jié)果是正值，表明里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)和能斯脫效應(yīng)產(chǎn)生電壓之和的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同，若是負(fù)值，表明電壓的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。

與霍爾電壓相比，產(chǎn)生的相對(duì)誤差為：

同樣，若計(jì)算結(jié)果為正值，表示兩者同向，反之為反向。

下面從理論上對(duì)它做一下誤差分析。

由式(8)展開得：

式中，Qs是沿電流Is方向霍爾晶片里的熱流，它與晶片兩端的溫度差有關(guān)，而溫度差與連接電極的接觸電阻差值的大小有關(guān)，還與電流Is的大小有關(guān)。

由此可見，里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)和能斯脫效應(yīng)引起的相對(duì)誤差，除霍爾晶片本身的材料和外界的工作電流有關(guān)外，還與連接電極的接觸電阻差值的大小有關(guān)，或者說，里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)和能斯脫效應(yīng)就是由霍爾晶片連接電極的接觸電阻不同引起的，所以在制作霍爾晶片時(shí)，連接晶片兩端電極的接觸電阻盡量相同，這樣可以大大減小由此而引起的誤差。

1.3.2 不等位電勢(shì)差及引起誤差的測(cè)量計(jì)算式

因?yàn)椋?/p>

若用V0-m表示不等位電勢(shì)差的測(cè)量值，則：

同樣，計(jì)算結(jié)果若是正值，表明不等位電勢(shì)差的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同，若是負(fù)值，表明不等位電勢(shì)差的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。

與霍爾電壓相比，產(chǎn)生的相對(duì)誤差為：

同樣，若計(jì)算結(jié)果為正值，表示兩者同向，反之為反向。

下面也從理論上對(duì)它做一下誤差分析。

由式(11)展開得：

從上式看到，不等位電勢(shì)差引起的相對(duì)誤差，除了跟外界磁感應(yīng)強(qiáng)度成反比外，還與材料本身有關(guān)，r是晶片兩側(cè)輸出電壓電極由于不在同一等位面上時(shí)，存在的差值電阻，該電阻越小，誤差越小。由于一般情況下，不等位電勢(shì)差引起的誤差在整個(gè)系統(tǒng)誤差里占比最大，所以特別要注意它的制作工藝。

1.3.3 愛廷豪森效應(yīng)引起誤差分析

先對(duì)愛廷豪森效應(yīng)產(chǎn)生的電壓作簡(jiǎn)要分析。

愛廷豪森效應(yīng)是由于霍爾晶片里截流子熱運(yùn)動(dòng)速率不同，速率大的由于受到的洛倫茲力也大，大于同時(shí)受到的電場(chǎng)力，因而會(huì)偏向晶片的一側(cè)，而速率小由于受到的洛倫茲力小于受到的電場(chǎng)力而偏向另一側(cè)，這樣在霍爾晶片的兩側(cè)形成溫度梯度而產(chǎn)生湯姆遜效應(yīng)。

湯姆遜電動(dòng)勢(shì)為：

式中，ε是沿積分方向的湯姆遜電動(dòng)勢(shì)，σ(T)稱湯姆遜系數(shù)，與材料和溫度有關(guān)，金屬的湯姆遜系數(shù)很小，在0℃時(shí)，銅的湯姆遜系數(shù)的數(shù)量級(jí)為10-6V.K-1，而半導(dǎo)體的湯姆遜系數(shù)比金屬要大得多，數(shù)量級(jí)一般為10-3V.K-1。

在愛廷豪森效應(yīng)中，霍爾晶片兩側(cè)的溫差是很小的，可以把湯姆遜電動(dòng)勢(shì)積分式里的σ(T)看成是一個(gè)常量，這樣湯姆遜電動(dòng)勢(shì)計(jì)算為：

根據(jù)式(1)和(2)，愛廷豪森效應(yīng)產(chǎn)生的電壓相對(duì)于霍爾電壓的誤差為：

從上式中看到，愛廷豪森效應(yīng)引起的相對(duì)誤差與工作電流Is和磁感應(yīng)強(qiáng)度B均是無關(guān)的，跟材料的湯姆遜系數(shù)有關(guān)，湯姆遜系數(shù)越小，誤差越小，還跟霍爾晶片的靈敏度有關(guān)，靈敏度越大，誤差越小。對(duì)于給定的霍爾晶片，在工作環(huán)境溫度一定的情況下，愛廷豪森效應(yīng)引起的相對(duì)誤差是一定的。

前面已經(jīng)闡明，在實(shí)驗(yàn)室里用對(duì)稱測(cè)量法，無法消除愛廷豪森效應(yīng)的影響，同樣也無法用對(duì)稱測(cè)量法的測(cè)量來計(jì)算出愛廷豪森效應(yīng)產(chǎn)生電壓的測(cè)量值。

如電流采用交流電時(shí)，可以消去愛廷豪森效應(yīng)和其它熱磁效應(yīng)的影響，由于已有文獻(xiàn)對(duì)此做出了論述，在此不再討論。但需要說明的是，如果在交流法中交流電流的有效值與對(duì)稱測(cè)量法的直流電流相等，且磁場(chǎng)的感應(yīng)強(qiáng)度也相等的情況下，這兩種方法測(cè)到的霍爾電壓的差值，可以認(rèn)為是愛廷豪森效應(yīng)產(chǎn)生的電壓值，它與霍爾電壓的相對(duì)誤差同樣可以計(jì)算了。

2 結(jié)語

本文從霍爾效應(yīng)公式和四個(gè)副效應(yīng)的關(guān)系式出發(fā)，結(jié)合對(duì)稱測(cè)量法的特點(diǎn)，導(dǎo)出了里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)和能斯脫效應(yīng)產(chǎn)生的電壓之和的測(cè)量計(jì)算式(7)和不等位電勢(shì)差的測(cè)量計(jì)算式(10)，并結(jié)合交流法，給出了測(cè)量愛廷豪森效應(yīng)產(chǎn)生電壓的方法。同時(shí)導(dǎo)出了它們與霍爾電壓相對(duì)誤差的關(guān)系式(9)、(12)和(13)，通過簡(jiǎn)要分析，為減小實(shí)際應(yīng)用中副效應(yīng)帶來的系統(tǒng)誤差，在霍爾晶片材料的選擇和制造工藝上提出了一些建議。

筆者曾對(duì)實(shí)驗(yàn)室里的兩個(gè)樣品（樣品1：靈敏度為2.84mV.mA-1GS-1的硅晶片，螺線管匝數(shù)密度為109.07×102m-1；樣品2：靈敏度為2.54mV.

mA-1GS-1的硅晶片，螺線管匝數(shù)密度為111.70×102m-1）進(jìn)行過實(shí)際研究，在勵(lì)滋電流為0.7A且保持不變的條件下，改變工作電流從1.0mA遞增到10mA，其中里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)和能斯脫效應(yīng)引起的相對(duì)誤差極小，平均值在0.1%左右，且在電流增大后趨近于零；不等位電勢(shì)差的相對(duì)誤差最大，樣品1平均值為8.8%，樣品2平均值為17.6%，且基本保持不變，而愛廷豪森效應(yīng)引起的相對(duì)誤差兩個(gè)樣品均在3%左右，且均保持不變，與其它文獻(xiàn)在5%以下的結(jié)論相符。