永磁直線同步電機(jī)空載反電動勢和推力的解析計算

王明杰 賈宛英 張志艷 徐 偉 司紀(jì)凱

（1. 鄭州輕工業(yè)大學(xué)電氣信息工程學(xué)院 鄭州 450002 2. 華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院 武漢 430074 3. 鄭州大學(xué)電氣工程學(xué)院 鄭州 450001）

0 引言

永磁直線同步電機(jī)（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor, PMLSM）結(jié)合了永磁同步電機(jī)和直線電機(jī)的結(jié)構(gòu)特點，具有推力密度大、定位精度高、可靠性好等優(yōu)點，在電磁彈射系統(tǒng)、無繩電梯直驅(qū)系統(tǒng)、數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)、軌道交通直線牽引系統(tǒng)等直線運(yùn)動領(lǐng)域應(yīng)用優(yōu)勢明顯[1-4]。因此，近年來PMLSM 已成為國內(nèi)外學(xué)者和科研機(jī)構(gòu)的研究熱點，其理論及實踐研究越來越系統(tǒng)化，但是仍有一些基礎(chǔ)研究需要進(jìn)一步完善。

計及齒槽效應(yīng)的影響，為了獲得準(zhǔn)確的電機(jī)參數(shù)，方便后期對電機(jī)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，PMLSM中常采用解析法和有限元法分析電機(jī)的反電動勢和推力。相對于有限元法，解析法物理概念直觀、計算速度快。有限元法能夠精確求解復(fù)雜電機(jī)結(jié)構(gòu)的磁場，通用性好，但是前處理建模、后處理求解耗時長，未能直觀地反映設(shè)計參數(shù)對電機(jī)性能的影響規(guī)律，在電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)化計算中效率不高，常用來驗證以上模型的正確性。解析法主要包括：二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)模型[5-7]、保角變換模型[8-11]、精確子域模型[12-16]、等效磁網(wǎng)絡(luò)模型[17-20]。文獻(xiàn)[6]采用二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)模型結(jié)合磁路法給出了PMLSM的反電動勢和推力解析式，直觀地反映了結(jié)構(gòu)參數(shù)對推力的影響，由于二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)模型的局限性，未能考慮切向上齒槽效應(yīng)對電磁參數(shù)的影響。計及切向上齒槽效應(yīng)對氣隙磁場，文獻(xiàn)[9]采用保角變換法分析PMLSM磁場，準(zhǔn)確度較高，但需經(jīng)過多次平面變換，計算較復(fù)雜。為了得到更加精確的電機(jī)磁場，文獻(xiàn)[13]采用精確子域模型得到了電機(jī)的空載磁場和推力，計算結(jié)果基本上與有限元結(jié)果一致，但邊界條件處理繁瑣，需確定的各次諧波系數(shù)較多，公式繁多不直觀，計算量較大。文獻(xiàn)[19]提出新的網(wǎng)格生成方法建立PMLSM等效磁網(wǎng)絡(luò)模型，很好地解決了磁路飽和、漏磁對PMLSM電磁參數(shù)的影響，但該方法類似于有限元網(wǎng)格剖分，建模工作量隨著節(jié)點的增多而增加，導(dǎo)致計算效率不高。

上述解析模型中，二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)模型與其他模型相比的顯著優(yōu)點是能以精簡的解析式反映氣隙相對磁導(dǎo)分布，從而能簡便地確定氣隙磁場。目前多數(shù)文獻(xiàn)采用二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)結(jié)合磁路法對PMLSM磁場進(jìn)行計算，僅考慮了二維氣隙相對磁導(dǎo)法向分量，尚未考慮其切向分量。

在保證準(zhǔn)確度的前提下，考慮齒槽效應(yīng)對電機(jī)電磁參數(shù)的影響，本文提出一種基于改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)求解電機(jī)參數(shù)，同時結(jié)合分離變量法，用于準(zhǔn)確計算定子開槽時電機(jī)的氣隙磁場、空載反電動勢和推力。首先建立無槽PMLSM解析模型，給出改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)解決切向氣隙相對磁導(dǎo)分布，以此建立其與氣隙磁通密度的關(guān)系；其次結(jié)合改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)得到電機(jī)開槽時的氣隙磁通密度法向和切向分布；最后計算出不同極槽配合下電機(jī)的磁鏈、空載反電動勢和推力，并用有限元法驗證解析法的準(zhǔn)確性。

1 無槽PMLSM磁場解析模型

為簡化分析，忽略端部效應(yīng)，永磁體在各方向上磁導(dǎo)率相同且等于空氣磁導(dǎo)率；定、動子鐵心的磁導(dǎo)率為無窮大，磁路不飽和；忽略臨近齒槽效應(yīng)，定子槽為無限深。基于以上假設(shè)，以磁極軸線為原點，建立無槽PMLSM磁場分層模型，如圖1所示，分為1、2、3、4四個求解區(qū)域，分別對應(yīng)定子軛、永磁體、氣隙、動子軛區(qū)域。

圖1 無槽PMLSM磁場解析模型Fig.1 Layered model of slotless LPMVM

永磁體磁化方向沿y方向，其磁化強(qiáng)度矢量為M=Myy，對其展開傅里葉級數(shù)形式，則

式中，M0為永磁體磁化強(qiáng)度；Br為永磁體剩磁；μ0為空氣磁導(dǎo)率；αp永磁體極弧系數(shù)；Lm為永磁體長度，τ為極距。

以矢量磁位Az(x,y)為求解變量，永磁體區(qū)域為泊松方程，氣隙區(qū)域為拉普拉斯方程，即

式中，Az2(x,y)、Az3(x,y)分別為永磁體區(qū)域、氣隙區(qū)域的矢量磁位。

通過分離變量法知永磁體區(qū)域和氣隙區(qū)域的矢量磁位通解為

在各區(qū)域磁場邊界條件滿足

式中，hm為永磁體高度；δ為氣隙長度。

根據(jù)式（4）～式（6），推出永磁體區(qū)域無槽磁通密度解析式為

氣隙區(qū)域無槽磁通密度解析式為

2 改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)及有槽氣隙磁場解析

以一槽為分析模型，選取槽中心為原點，采用許-克變換法，PMLSM的二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式為[5]

式中，a0為槽中心線與A相繞組軸線的距離；ts為齒距；bs為槽寬；β(y)為非線性函數(shù)[5]，與槽寬、定動子間距離、氣隙處位置有關(guān)，用來確定氣隙相對磁導(dǎo)各次諧波大小。

式（9）中含有常數(shù)項和余弦級數(shù)項，可知法向氣隙相對磁導(dǎo)分布為偶函數(shù)，關(guān)于槽中心線對稱。式（9）僅能考慮齒槽效應(yīng)在法向上對氣隙相對磁導(dǎo)分布的影響，而對于切向上的影響目前未見文獻(xiàn)給出詳細(xì)的解析式。根據(jù)文獻(xiàn)[8]分析可知，切向氣隙相對磁導(dǎo)分布為奇函數(shù)，因此切向上的氣隙相對磁導(dǎo)無常數(shù)項，且與法向上的諧波幅值具有相似性，可得切向氣隙相對磁導(dǎo)表達(dá)式近似為

式（9）和式（10）構(gòu)成了改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)。為了得到考慮齒槽效應(yīng)時的氣隙磁通密度，將改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)λr(x,y)寫成復(fù)數(shù)形式，即

式中，λy(x,y)、λx(x,y)分別為改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)的實部和虛部。若僅考慮實部，則為改進(jìn)前的模型。根據(jù)式（11）可以得到氣隙不同位置處的二維氣隙相對磁導(dǎo)分布。

有槽氣隙磁通密度等于無槽氣隙磁通密度與改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)的共軛復(fù)數(shù)之積[8]，即

式中，Bs(x,y)為有槽磁通密度；Bnos(x,y)為無槽磁通密度。

有槽磁通密度和無槽磁通密度寫成復(fù)數(shù)形式為

式中，實部表示法向磁通密度；虛部表示切向磁通密度。

由式（11）～式（14）得有槽氣隙磁通密度的法向和切向分量分別為

采用有限元驗證改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)分布時 ， 一 般 情 況 下Bxnos(x,y)、Bxnos(x,y)·λx(x,y)、Bxnos(x,y)·λy(x,y)比較小，因此有限元法計算二維氣隙相對磁導(dǎo)公式可化簡為

根據(jù)式（8）、式（15）、式（16），得到有槽時氣隙區(qū)域的空載磁通密度為

3 空載反電動勢和推力計算

為了得到線圈產(chǎn)生的磁鏈，將式（8）寫成

單匝線圈產(chǎn)生的磁鏈cψ為

式中，La為鐵心長度；ay為線圈節(jié)距，ay=y1ts，y1為線圈跨過的槽數(shù)。

單匝線圈感應(yīng)的空載反電動勢為

將式（21）代入式（19）得到氣隙磁通密度B3ys(x,y)為

式中，v1為電機(jī)動子速度。

將式（24）代入式（22）得單匝線圈產(chǎn)生的磁鏈cψ為

則一相繞組產(chǎn)生的空載反電動勢為

式中，N1為每相繞組串聯(lián)匝數(shù)；對于A相θ0=0°，B相θ0=2π/3，C 相θ0=4π/3；kdn為 分 布 系 數(shù) ；為槽開口系數(shù)；λ(x,y)、λ(x,y)yx的坐標(biāo)原點為槽中心線，當(dāng)y1為奇數(shù)槽，則a0=ts/2，cos(mza0)=cos(mπ)；當(dāng)y1為偶數(shù)槽，則a0=0，cos(mza0)=1。

由空載反電動勢的公式知，其大小與無槽氣隙磁通密度的諧波幅值和二維氣隙相對磁導(dǎo)的諧波幅值有關(guān)。一般情況下對于整數(shù)槽，切向磁通密度較小，可忽略Bxn(n)λm(m)，進(jìn)一步簡化為只考慮法向磁通密度諧波幅值Byn(n)，方便計算。對于分?jǐn)?shù)槽，尤其是極數(shù)多于齒數(shù)的極槽配合，切向磁通密度較大，Bxn(n)λm(m)不可忽略。

電機(jī)推力為

式中，pe為電磁功率；ia、ib、ic為定子三相電流；I為電流有效值；w1為電源角頻率。

從以上分析可以看出，與其他解析法相比，空載反電動勢和推力的最終解析式均為級數(shù)求和計算，避免了積分和微分計算，計算工作量小，提高了求解效率。

4 有限元驗證

為了驗證解析模型的正確性，分別對整數(shù)槽和分?jǐn)?shù)槽兩種結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，PMLSM結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1，其中每種電機(jī)采用兩種槽型結(jié)構(gòu)，分別是槽口寬較小的半閉口槽結(jié)構(gòu)（bs≤ts/2）和槽口寬較大（bs≥ts/2）的矩形槽結(jié)構(gòu)來說明槽口寬對電機(jī)參數(shù)的影響。圖 2給出了12s14p PMLSM半閉口槽和矩形槽兩種槽型的結(jié)構(gòu)模型。

表1 PMLSM結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 The structure parameters of PMLSM

圖2 PMLSM結(jié)構(gòu)模型Fig.2 Structural model of PMLSM

4.1 改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)和有槽氣隙磁通密度計算

根據(jù)式（9）和式（10）得到18s6p、12s14p采用半閉口槽結(jié)構(gòu)和矩形槽結(jié)構(gòu)，在氣隙中心y0=hm+δ/2時改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)分布如圖 3、圖4所示。有限元計算改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)方法為：以槽為中心在繞組中通入對稱的直流電，使其產(chǎn)生的磁場關(guān)于槽中心對稱，得到有槽磁通密度，然后將電機(jī)等效為無槽電機(jī)，計算同樣的大小直流電流分布在槽口表面的無槽電機(jī)氣隙磁通密度，根據(jù)式（17）和式（18）得到改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)分布。可以看到，解析法和有限元法結(jié)果擬合較好，改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)法向分量關(guān)于槽中心呈偶對稱，切向分量關(guān)于槽中心呈奇對稱。同時可以看到，隨著槽寬的增加，切向磁導(dǎo)的誤差稍微增大，這是因為氣隙磁導(dǎo)模型為單槽模型，沒有考慮臨近齒槽效應(yīng)的影響。

圖3 改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)分布（18s6p）Fig.3 The distribution of improved 2D relative permeance about 18s6p PMLSM

圖4 改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)分布（12s14p）Fig.4 The distribution of improved 2D relative permeance about 12s14p PMLSM

以18s6p為例，保持氣隙δ=5mm不變，改變槽寬，用解析法得到氣隙中心y0=hm+δ/2處改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)變化曲線如圖5a所示。同理保持槽寬bs=3mm和永磁體高h(yuǎn)m=7mm不變，氣隙δ取不同長度時，定、動子之間的距離隨氣隙的增大而增大，得到如圖5b所示曲線。由圖5可知，當(dāng)槽寬與齒距之比增大時，二維氣隙相對磁導(dǎo)法向和切向幅值變化越大，在齒邊角處變化最大。當(dāng)氣隙長度增大時，二維氣隙相對磁導(dǎo)幅值的變化減小，曲線趨勢逐漸越緩。

圖5 改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)與槽寬和氣隙的關(guān)系Fig.5 The improved 2D relative permeance versus slot width and airgap

18s6p、12s14p不同槽寬下的氣隙磁通密度分布如圖6和圖7所示，可知改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)較好地反映了齒槽效應(yīng)對磁場法向和切向分布的影響，解決了目前切向磁場上求解困難的問題。

圖6 18s6p氣隙磁通密度分布Fig.6 Flux density distribution of 18s6p PMLSM

圖7 12s14p氣隙磁通密度分布Fig.7 Flux density distribution of 12s14p PMLSM

4.2 空載反電動勢和推力計算：

18s6p、12s14p運(yùn)行頻率分別為f=4Hz、f=10Hz，由式（26）得到的空載反電動勢結(jié)果如圖 8和圖9所示。兩種電機(jī)電流有效值均為5A，由式（27）得到的推力計算曲線如圖10和圖11所示。其中圖11給出了12s14p每相繞組串聯(lián)匝數(shù)相同，分別采用單雙層繞組時的推力對比曲線。表2和表3分別給出了 18s6p 和 12s14p在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的空載反電動勢有效值、推力平均值的數(shù)值對比，表中的相對誤差以各電機(jī)有限元結(jié)果為基準(zhǔn)值。

圖8 18s6p空載反電動勢波形Fig.8 No-load EMF of 18s6p PMLSM

圖9 12s14p空載反電動勢波形Fig.9 No-load EMF of 12s14p PMLSM

圖10 18s6p推力波形Fig.10 Thrust of 18s6p PMLSM

由圖 8～圖 11可知，利用解析法、有限元法得到的反電動勢和推力結(jié)果基本一致，解析法較好地反映了空載反電動勢、推力隨時間的變化曲線。由表2和表3可以看到，整數(shù)槽、分?jǐn)?shù)槽繞組半閉口槽結(jié)構(gòu)結(jié)果誤差較小，分?jǐn)?shù)槽繞組矩形槽結(jié)構(gòu)結(jié)果誤差稍大。對于矩形槽結(jié)構(gòu)，存在誤差的原因為隨著槽口寬與齒距之比的增大，臨近齒槽效應(yīng)的影響越來越大，由于氣隙磁導(dǎo)為單槽模型，忽略了臨近齒槽效應(yīng)的影響，切向磁場誤差變大，在反電動勢和推力上會存在誤差。

表2 18s6p PMLSM空載反電動勢和推力數(shù)值對比Tab.2 Comparison of no-load EMF and thrust of 18s6p PMLSM

圖11 12s14p推力波形Fig.11 Thrust of 12s14p PMLSM

表3 12s14p PMLSM空載反電動勢和推力數(shù)值對比Tab.3 Comparison of no-load EMF and thrust of 12s14p PMLSM

與其他解析法相比，在保證準(zhǔn)確度的情況下簡化了復(fù)雜的計算，方便了電機(jī)的參數(shù)計算分析。由圖 8、圖9可知電機(jī)為分?jǐn)?shù)槽時的反電動勢正弦性比整數(shù)槽時好。由圖10、圖11及表2和表3可以看出隨著槽寬增大，根據(jù)卡氏系數(shù)知等效氣隙增大，平均推力略有減小，電機(jī)為整數(shù)槽時矩形槽結(jié)構(gòu)比半閉口槽推力波動大。由圖11可知，由于分?jǐn)?shù)槽單層繞組的基波繞組系數(shù)大于分?jǐn)?shù)槽雙層繞組，且分?jǐn)?shù)槽單層繞組含有較大的電樞反應(yīng)磁動勢諧波，因此其平均推力、推力波動均大于分?jǐn)?shù)槽雙層繞組。

在求解時間對比上，以分?jǐn)?shù)槽結(jié)構(gòu) PMLSM 12s14p為例，求解時長為一個電周期，采樣點100個。解析法可一次性求解出二維氣隙相對磁導(dǎo)、氣隙磁通密度、空載反電動勢、推力參數(shù)，當(dāng)諧波最大次數(shù)取M=N= 5 0時，計算結(jié)果已基本不變。有限元法后處理功能強(qiáng)大，但求空載反電動勢、推力參數(shù)需單獨(dú)建模，增加了建模時間，改變電機(jī)結(jié)構(gòu)如不采用參數(shù)化模型同樣增加前處理時間。有限元建模氣隙處單元格剖分長度為0.5mm，模型總剖分節(jié)點 29 253個。計算機(jī)配置 CPU為 i7-7700HQ，2.8GHz，內(nèi)存32G，解析法和有限元法仿真耗時分別為2.5s和100s。解析法中所有計算均為求和計算，能快速求出以上電磁參數(shù)，求解效率遠(yuǎn)高于有限元法，而有限元法求解精度高，計算時間隨剖分網(wǎng)格的增加而增加。

5 結(jié)論

本文采用一種改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)函數(shù)結(jié)合分離變量法求解PMLSM電機(jī)參數(shù)，準(zhǔn)確計算了不同電機(jī)結(jié)構(gòu)下的改進(jìn)的二維氣隙相對磁導(dǎo)、氣隙磁通密度、空載反電動勢和推力，并用有限元法驗證了解析結(jié)果的正確性。與其他方法相比，提出的方法準(zhǔn)確度較高，降低了磁場求解過程的復(fù)雜性，是目前解析法中分析簡便、工作量小、計算效率高、通用性好的一種，且適用于整數(shù)槽和分?jǐn)?shù)槽結(jié)構(gòu)PMLSM性能的分析，有益于 PMLSM的電磁分析和優(yōu)化設(shè)計。