一道高考圖像題的分析與教學思考

劉柳如

[摘? ?要]文章以2019年高考全國Ⅰ卷第21題為例，闡述如何讀取函數圖像中的信息解決物理問題，并總結在高三物理教學中學生面對函數圖像類題目時，需要關注的三種思維方法：極限思維法、構建函數法、類比遷移法。

[關鍵詞]函數圖像;截距;斜率;面積

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）08-0054-03

函數圖像在物理學習中被廣泛應用，2017年版課程標準對用函數圖像描述物理過程和物理關系有明確的要求。如必修1機械運動與物理模型中“1.1.3通過實驗探究勻變速直線運動的特點，能用公式、圖像等方法描述勻變速直線運動”。又如“在科學探究過程中，學生要提升表達能力，表達的形式包括文字、表格、圖像、公式、插圖等”。同時讀函數圖像的能力也是高考必考的能力。縱觀歷年高考，每年都會有函數圖像的題目，如2019年高考全國Ⅰ卷第20、21、25題，2018年高考全國Ⅰ卷第15、23、33題。本文以2019年全國Ⅰ卷第21題為例，闡述如何讀取函數圖像中的信息解決問題，并總結出在高三物理復習中如何開展函數圖像題的復習教學。

一、從典例中歸納方法

[例1]（2019年全國Ⅰ卷第21題）在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖1中實線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a–x關系如圖1中虛線所示，假設兩星球均為質量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍，則（? ? ? ）。

A. M與N的密度相等

B. Q的質量是P的3倍

C. Q下落過程中的最大動能是P的4倍

D. Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍

（一）試題分析

1.本題難點：學生一看到這個平時沒接觸過的圖像題就覺得無從下手，不知道這個圖像提供了什么解題的信息。看到已知縱橫坐標的交點也不知道這交點的物理意義，不能很好地把圖和題文描述的物理過程聯系在一起分析。更不能很好地利用圖形與x軸圍成的面積簡化解題過程。

2.命題立意：本題考查了學生對萬有引力、重力加速度、牛頓定律、彈力做功、彈性勢能等知識的綜合運用能力。本題設置的情景新穎，是萬有引力的一種區別于以往高考題的新考法。不僅考查了學生對知識掌握的熟練程度，還考查了學生讀函數圖像的能力及應用數學知識處理物理問題的能力。

（二）解題的關鍵

1.弄清圖線交點的物理意義，找出解題突破口

抓住圖線與坐標軸交點，找出其物理意義。

先讀縱軸截距，縱軸截距是當x為零時，即彈簧壓縮量為零時（亦即物體剛放上去還沒向下運動時）的加速度值。再根據題目描述的情景，兩物體都是只受重力作用，即可根據牛頓定律列出下面兩個等式：

二、對函數圖像問題進行復習教學的思考

高考題中與函數圖像有關的題目，有些是考查學生能否讀懂函數圖像的縱橫軸截距、斜率、面積的物理意義，要求學生能從圖中求出解題需要的某些物理量;有些是考查學生能否根據題目描述的物理情境，畫出或選擇出相關的物理量之間的關系圖;有些更難一點，是考查學生能否利用函數圖像法簡化解題過程。在高三物理復習教學中，教師可以給學生總結下面三種解決函數圖像問題的方法，并讓學生熟練掌握。下面詳細敘述在教學中怎樣才能讓學生熟練應用這三種方法突破函數圖像題的難點。

（一）極限思維法——快速確定圖像截距的物理意義

圖線上的點通常是某個狀態下兩個物理量的值，與縱橫坐標軸的交點通常是當一個物理量處于一種極限狀態下另一個物理量的值，對分析運動過程和受力過程有關鍵作用，讀懂這兩個值的物理意義通常是解題的關鍵。

例如，在做探究物體的加速度與所受合外力的關系實驗時，有時學生會描出這樣的圖像，如圖2所示。

這時教師要問學生為什么會出現圖線不過原點的情況，并引導學生以截距的物理意義為切入點思考問題。圖2中左圖橫軸截距是當加速度為零時合外力的值，即有一定合外力時，加速度卻為零。結合實驗操作，我們記錄的力是細繩的拉力，有拉力沒有加速度，說明存在摩擦力，即軌道一端墊得不夠高，沒有完全平衡掉摩擦力。而圖2中右圖縱軸截距是當力為零時的加速度值，即沒有力卻有加速度，說明平衡摩擦力時軌道墊得過高。

又如，光電效應實驗中，得出來的最大初動能和入射光頻率的關系圖，如圖3所示。

教師可要求學生用“當一個物理量為零時，另一個物理量的值”這樣的極限思維去尋找這個截距的物理意義。圖3中橫軸截距就是當出來的光電子最大初動能為零時的入射光頻，也即極限頻。

（二）構建函數式——精準描繪函數圖像

如果說直接找縱橫坐標截距物理意義的方法只能用在一些比較好分析的情況，那么對于大多數情況，我們可以用列函數表達式的方法找截距和斜率的意義，或描繪出物理量間的函數關系圖。在實際教學中，發現很多學生知道要列函數表達式，但怎樣列式對他們來說是一個難點。對此，教師可以這樣引導學生思考：（1）函數圖像是在什么物理情景下作出來的？是用來描述力的作用過程，還是運動過程（抑或是其他）？這是思考的大方向。一種大方向對應著這個方向下的一些定理、定律、公式。（2）看縱橫坐標的物理量，找出在這個方向下包含有這兩個物理量或其中一個物理量的一些公式、定理。以這個公式或定理為原始式子，再結合題目的具體情況對式子進行細化，讓等式包含這兩個物理量。（3）把縱坐標的物理量移項到等式的一邊，其余的量移項到另一邊。再對比一次函數式或二次函數式，得出截距和斜率的物理意義。可簡單總結為6步：①確定知識大方向;②觀察縱橫坐標的物理量;③確定原始式子;④根據題目意思細化式子;⑤移項;⑥與一次函數或二次函數對比。

[例2]（2018年全國Ⅰ卷第15題） 如圖4，輕彈簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物塊P，系統處于靜止狀態，現用一豎直向上的力F作用在P上，使其向上做勻加速直線運動，以x表示P離開靜止位置的位移，在彈簧恢復原長前，下列表示F和x之間關系的圖像可能正確的是（）。

在高考中，如遇上述圖像，學生就可以快速簡便地運用這些平時總結出來的方法解題，可大大節省解題時間。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 崔偉健.高中物理圖像中“面積”的意義和應用[J]. 物理之友，2018（8）： 43-45.

[2]? 秦緒健.淺析高中物理圖像中斜率的意義及應用[J]. 課程教育研究，2018（20）：156.

[3]? 劉磊.函數圖像法在高中物理教學中的應用研究[D].上海：上海師范大學，2013.

（責任編輯 易志毅）