從“淺嘗輒止”到“尋根究底”

柏德華

摘要：數學課堂教學中，教師要善于引導學生探尋數學知識背后的思想方法，使學生“知其然”，更“知其所以然”;要讓學生在掌握知識的基礎上，體驗到數學思維帶來的挑戰和愉悅，感受到理性思辨的力量。教學《2、5的倍數的特征》一課，不停留于“淺嘗輒止”，僅關注知識的表象，而著力于“尋根究底”，追問知識背后的“為什么”，注意思維的科學性和嚴謹性，讓學生的學習深入知識的堂奧。由此得到幾點思考：數學課堂要培養學生的理性思維，讓研究“尋根究底”;要培養學生的探究能力，讓學習“觸類旁通”;要培養學生的科學思維，讓思考“邏輯自洽”。

關鍵詞：數學知識;數學思維;《2、5的倍數的特征》

一、“淺嘗輒止”：《2、5的倍數的特征》教學問題掃描

之前參加教學視導，筆者連續幾天聽了同一個課題——“2、5的倍數的特征”（蘇教版小學數學五年級下冊32-33頁）的三節課。三節課不約而同地呈現出大致相同的教學流程：以百數表為學習素材，先讓學生在表中圈出2、5的倍數，通過觀察初步得出它們的特征，然后再舉例驗證，最后概括出2、5的倍數的特征，并讓學生運用該特征判斷一些數是不是2、5的倍數。綜觀教學過程，結合課堂中對學生學習狀態的觀察，筆者發現了一些問題：

一是教師沒有有效激發學生的認知參與，學生處于“淺學習”狀態。由于百數表中的數排列規整，2、5的倍數又呈列狀分布，特征十分明顯，所以學生幾乎不用動腦筋就能發現2、5的倍數的特征。學生輕松說出2、5的倍數的特征后，三位執教教師都沒有進一步深入下去，追問學生特征背后的原因，所以學生對2、5的倍數的特征“知其然而不知其所以然”。

二是研究方法對于后續內容（3的倍數的特征）的學習不具有統攝性。如何判斷一個數是不是2、5的倍數，教材呈現（教師講授）的研究方法是觀察個位上的數。所以，下一節課研究3的倍數的特征時，學生想到的自然也是觀察個位，這樣就為新知的學習帶來了負遷移。換句話說，學生研究2、5的倍數特征的方法不能有效遷移到3的倍數特征的探究上來，這種只觀察個位的研究方法對后續學習不具有統攝性。因此，研究2、5的倍數的特征，還應該引導學生從“位值制”的角度分析每一位數字，從而從整體結構上發現規律。

三是教材的知識邏輯不自洽極易導致教師的教學疏忽。以5的倍數為例，我們知道它的特征是：個位上是5或0。也就是說，“個位上是5或0”是“5的倍數”的充要條件，因此，課堂教學必須要向學生說明以下兩點：（1）一個數如果是5的倍數，那么它的個位上一定是5或0（與其等價的逆否命題是：一個數如果個位上不是5或0，那么這個數一定不是5的倍數）;（2）一個數如果個位上是5或0，那么這個數一定是5的倍數（與其等價的逆否命題是：一個數如果不是5的倍數，那么這個數個位上就一定不是5或0）。這兩點合在一起，才是5的倍數的特征的完整內涵。仔細研讀教材，就會發現教材內容有所缺失：只研究了（1）而忽略了（2）。事實上，三位執教教師也都沒有注意到這個問題，他們的課堂教學呈現出的是：（1）成立;（2）自然也是正確的，無須另外說明。但教材在研究3的倍數的特征時，顯然又注意到了這一點，相關描述為：“如果一個數不是3的倍數，這個數各位上數的和會是3的倍數嗎？找幾個這樣的數算一算?！苯處熢陂喿x教材時如果不注意到這個問題，各課時就會顧此失彼，造成教學疏忽。課堂上，教師只有兼顧上述兩點，引領學生進行深入的思考、辨析，想通命題背后的原理，才能幫助學生形成對2、5的倍數特征的科學、全面和深刻的認識。

二、“尋根究底”：《2、5的倍數的特征》一課教學改進

基于上述思考與分析，筆者嘗試在《2、5的倍數的特征》（以“5的倍數的特征”為例，“2的倍數的特征”的教學思路大致相同，不做贅述）一課教學時，帶領學生“尋根究底”。具體教學過程如下：

（一）認識“一個數如果是5的倍數，那么它的個位上一定是5或0”

師上節課，同學們學習了因數和倍數，你能舉出一些5的倍數嗎？

生5、10、15、20、25、30……

師 （出示百數表）我們把這些數按照一定的順序放在百數表中。請同學們拿出百數表，在表中圈出5的倍數。

（學生獨立在百數表中圈出5的倍數，教師巡視。）

師觀察圈出的5的倍數，你有什么發現？

生我發現這些數的個位數字是5或0。

生我發現5的倍數的個位不是5，就是0。

師僅僅依靠百數表中的這20個5的倍數，我們就能得到這個結論了嗎？

生（齊）不能！

生我們還要舉出大于100的5的倍數，看一下末尾數字是不是5或0。

師請同學們拿出計算器。大于100的第一個5的倍數是——（生：5×21）算算看等于多少？（生：105）個位是幾？（生：5）5×22呢？（生：110）個位是幾？（生：0）誰再來舉例。

生5×37。

生（齊）185，個位是5。

生5×498。

生（齊）2490，個位是0。

……

師同學們舉出了這么多5的倍數，有沒有發現個位不是5或0的？

生（齊）沒有。

師看來，（邊說邊板書）“一個數如果是5的倍數，那么它的個位上一定是5或0”這句話是——

生（齊）正確的。

（教師面帶微笑朝向學生，做遲疑狀。多數學生仍堅持原來的看法，少數學生略顯猶疑，個別學生陷入思考。）

生不一定。萬一舉出一個5的倍數，個位不是5或0呢？

師敢于質疑，好樣的！是啊，“一個數如果是5的倍數，那么它的個位上一定是5或0”這個結論，我們是通過舉例觀察得到的。當然，舉再多的例子，也不可能窮盡所有5的倍數，所以，要說明這句話是正確的，我們還得從數的原理上想明白其中的道理。同學們，認真想一想：5的倍數，它的個位上為什么不是5就是0，而不可能是其他數字呢？

（教室里出現暫時的靜默，過了一會兒，陸續有學生舉起了手。）

生第一個5的倍數是5，接著是10、15、20、25、30、35……從5開始，五個五個地數，個位上只能是5、0、5、0、5、0、5……

師你是通過五個五個地數數來理解的，有道理！

生5的倍數都可以用5乘幾得到。一五得五，二五一十，三五一十五……五九四十五，五的乘法口訣每句的末尾不是5，就是0。

師你是用乘法口訣理解的。

……

（二）認識“一個數如果個位上是5或0，那么這個數一定是5的倍數”

師同學們已經知道，一個數如果是5的倍數，那么它的個位上一定是5或0。如果一個數只知道個位上是5，其他數位不知道是幾，那么它一定是5的倍數嗎？（多媒體出示圖1，十位和百位由電腦隨機生成數字）請同學們用計算器算一算，看看它是不是5的倍數。

師（電腦隨機生成三位數145）是5的倍數嗎？（生：是）除以5等于多少？（生：29。電腦隨機生成三位數695）是5的倍數嗎？（生：是）除以5等于多少？（生：139。電腦隨機生成三位數875）是5的倍數嗎？（生：是）除以5等于多少？（生：175）

……

師會不會出現一個個位是5的三位數，不是5的倍數呢？

生（齊）不會。

師這是為什么呢？

（教室里陷入沉默，學生一時不明白其中的道理。）

師（多媒體出示圖2，邊演示邊講解）我們以235為例。十位上的3表示3個十，1個十里有2個5，是5的倍數，那么無論幾個十都是5的倍數。1個百里有10個十，20個5，是5的倍數，那么無論幾個百也都是5的倍數。所以不管十位上是幾，百位上是幾，一定都是5的倍數，不用考慮;同理，千位、萬位、十萬位……都不用考慮了。一個數是不是5的倍數只看個位就行了。235個位上是5，所以235是5的倍數。

生（恍然大悟）我明白了！如果去掉個位上的數的話，就是230，末尾是0，230可以看成23個十，一定是5的倍數，所以只要看個位是不是5的倍數就行了。個位上5的倍數只有5或0，所以個位上是5或0的數，一定是5的倍數。

生不管數有多少位，個位前面的數一定是5的倍數，所以只要看個位。個位是5的倍數，這個數就是5的倍數;個位不是5的倍數，這個數就不是5的倍數。

……

師大家通過討論，進一步明確了（同步板書）“一個數如果個位上是5或0，那么這個數一定是5的倍數”。

師（小結）同學們，通過剛才的學習，我們得到了兩個結論。（教師手指板書，學生齊讀）這兩條合在一起就是“5的倍數的特征”。

三、幾點思考

關于數學課堂教學，有人說：三流教師教知識，二流教師教方法，一流教師教思想。這句話告訴我們，數學教師要善于引導學生探尋數學知識背后的思想方法，“以思想方法的分析帶動具體數學知識內容的教學”;要能讓學生在掌握知識的基礎上，體驗到數學思維帶來的挑戰和愉悅，感受到理性思辨的力量。換言之，教師帶領學生學習數學知識，不能“淺嘗輒止”，僅僅停留于知識的表象，而要“尋根究底”，追問知識背后的“為什么”，并注意思維的科學性和嚴謹性，讓學生的學習深入知識的堂奧。如此，學生獲得的數學知識才是鮮活的，可生長的，富有生命力的。

（一）數學課堂要培養學生的理性思維，讓研究“尋根究底”

理性思維是一種建立在證據和邏輯推理基礎上的思維方式，要求思考問題時“言之有理”“持之有故”。數學學科極其重要的育人價值就是訓練學生的理性思維，培養學生的理性精神，使學生不輕信、不盲從，學會“打破砂鍋問到底”。

上述教學，不停留于僅讓學生通過簡單的觀察就輕率地得出結論，而是引導學生進一步思考特征背后的原因，從數的本源上想明白其中的道理。比如，當學生通過觀察百數表，舉例驗證得出“一個數如果是5的倍數，那么它的個位上一定是5或0”時，教師并沒有讓學生輕易接受這個結論，而是反問學生為什么是這樣的。實踐證明，根據以往的知識積累和學習經驗，學生完全可以在自己的認知水平上理解其中的道理。再如，學生認識“一個數如果個位上是5或0，那么這個數一定是5的倍數”時，教師通過小棒圖的直觀演示，從“位值制”的角度為學生揭示其中的奧秘。在直觀圖的啟發下，學生理解了判斷5的倍數的特征不能只看個位數，而是要通盤考慮每一位上的數;由于個位前面的每一位上的數都是5的倍數，所以只要看個位上的數。這樣追根溯源地研究5的倍數的特征（2的倍數的特征同樣如此），學生對知識的理解就能做到融會貫通。

（二）數學課堂要培養學生的探究能力，讓學習“觸類旁通”

數學新課程改革特別重視培養學生的探究能力。學生能自主探究的絕不干預;自主探究有困難的，教師要充分發揮主導作用，搭建“腳手架”，幫助學生尋找方法，啟發學生理解數學知識的本質。

探究一個數的倍數的特征具有較強的趣味性和探索性。2、5的倍數的特征探究理應對學生后續研究3的倍數的特征具有一定的啟發作用。然而，現實情況常常是，學生學習了“2、5的倍數的特征”后，繼續學習“3的倍數的特征”時，往往還是觀察數的個位，思維陷入窠臼難以自拔。出現這種問題，主要原因在于教師帶領學生尋找2、5的倍數的特征時，停留于觀察個位上數字的表面特征，沒有深究“為什么判斷一個數是不是2、5的倍數只要看個位，而不需要看其他數位”，沒有通過尋找背后的真相探究出一種研究倍數特征的“通法”。上述“5的倍數的特征”教學，沒有停留在“淺學習”的層次，而是引導學生利用“位值制”原理對數進行重組（235=200+30+5），通過分析每一個數位上的數，促進學生真正理解5的倍數特征的本質。經過如此深入的探討，學生對于2、5的倍數的特征“知其然”，更“知其所以然”。更為重要的是，這種研究方法能有效遷移到3的倍數特征的學習上，從而使得該方法有了“通法”的性質，以后學生再運用同類方法探究4（25）、8（125）、9等數的倍數的特征時，能做到“舉一反三”“觸類旁通”。

（三）數學課堂要培養學生的科學思維，讓思考“邏輯自洽”

數學是講究邏輯的學科，數學課堂是訓練學生邏輯思維能力的主陣地。數學教學更應講求邏輯性，關注思維的科學性和嚴謹性。因此，根據形式邏輯的要求，數學課堂中的概念、判斷、推理等思維形式要符合形式邏輯的基本規律。

如前所述，教學“5的倍數的特征”時，教師需要讓學生明白5的倍數的特征包括兩方面的內容：（1）一個數如果是5的倍數，那么它的個位上一定是5或0（其逆否命題同樣成立）;（2）一個數如果個位上是5或0，那么這個數一定是5的倍數（其逆否命題同樣成立）。綜合這兩點，才可以判斷一個數是或不是5的倍數。比如，從思維的邏輯性上講，判斷4060是5的倍數，根據是（2），因為4060的個位數字是0;判斷273不是5的倍數，根據是（1），因為273的個位數字不是5或0。數學教師要能理清上述數學知識之間的邏輯關系，課堂教學才能做到條理清晰、層層推進、絲絲入扣。培養學生思維的科學性和嚴謹性，讓思考“邏輯自洽”是教學最基本的要求。

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