Elden公式法在雙頻激光干涉儀測量系統的應用

熊顯名，丁子婷，曾啟林，杜 浩（桂林電子科技大學 電子工程與自動化學院，廣西 桂林 541004）

0 引言

作為一種超精密的非接觸式測量設備，雙頻激光干涉儀測量系統可以在保證納米級測量精度的情況下，實現大范圍和高速度測量[1]，并在汽車制造、機床加工、精密測量等領域中廣泛應用[2]。然而，激光干涉儀是以激光波長為測量基準，在空氣中傳播的激光波長會受到空氣折射率的影響，空氣折射率則隨著外界環境（包括氣壓、溫度及濕度）的變化而變化。因此，在激光干涉儀的測量過程中，需要實時檢測空氣折射率的變化，用于對激光波長進行補償[3]。

目前，對激光波長的補償技術有直接補償法和間接補償法。直接補償法則是指利用專用儀器直接測量空氣中的波長，然后對干涉儀測量結果進行補償。如Zygo公司的波長跟蹤器，它的標準具分為兩部分，外部敞露于被測空氣中，中間標準腔需要抽成真空，是修正的基準。當外部空氣折射率變化時產生干涉，作為波長補償的依據，但這種波長跟蹤器對制造工藝要求很高，制造成本昂貴，標準腔的真空度決定了系統的測量精度[4]。間接測量方法的典型代表是Edlen公式法，通過測量光路所在大氣環境的多種參數（溫度、濕度、大氣壓和CO2濃度值等），帶入經驗公式算出空氣折射率的值，在理論上可以達到3×10-8的精度[5]。Edlen公式法建模方式簡單，不需要搭建光路，只需要通過傳感器實時獲取準確的空氣參數值就能實現高精度的測量，系統方案較簡單。

針對雙頻激光干涉儀測量系統，因外界環境引起的誤差問題，本文重點分析Edlen公式法，通過搭建雙頻激光干涉儀測量平臺，對雙頻激光干涉儀測量系統中Edlen公式法的補償效果進行了研究，采用高精度的溫度傳感器和壓力傳感器實時檢測環境參數，實現對環境誤差的測量與對激光波長的補償。本文旨在為抑制雙頻激光干涉儀測量系統中的環境誤差，進一步為提高測量精度提供有益的參考。

1 測量系統原理

雙頻激光干涉儀測量系統主要包括：激光光源模塊、光學干涉平臺、數據采集模塊。其中，激光光源模塊，包含有激光器、分頻模塊、保偏光纖等，主要負責對輸出光進行固定的頻率調制，并提供穩定、相干性良好的光源；光學干涉平臺，用于安裝干涉儀測量光路所需的光學元件，包括偏振分光棱鏡、角錐棱鏡以及光纖耦合器（內置透鏡L和偏振片P）等；數據采集模塊，包括傳輸測量信號的多模光纖、多模光纜、相位計（內置光電探測器與信號處理電路）等。圖1所示為雙頻激光干涉測量系統的原理圖。

氦氖激光器為分頻模塊提供激光光源和電源，分頻模塊接收來自激光器的入射激光束，利用聲光效應對激光進行移頻，將其分成兩個正交極化的頻率分量（頻率為f1的水平偏振光和頻率f2的垂直偏振光），頻差為20MHz。雙頻正交偏振光進入光學干涉模塊的偏振分光鏡（PBS）后，p偏振光發生透射，s偏振光發生反射。頻率為f1的s偏振光反射后入射至固定棱鏡，然后經過固定棱鏡重新反射回到PBS后發生反射，再經反射鏡（M1）入射至光纖耦合器。另外，一束頻率為f2的p透射光入射至移動棱鏡，移動棱鏡與移動臺固定連接在一起，然后經過移動棱鏡重新反射回到PBS后發生透射，再經M1入射至光纖耦合器。參考信號的測量光重合后入射至光纖耦合器（內置透鏡L和偏振片P），形成光學拍頻測量信號并經光纖傳輸至相位計；分頻模塊經由多模光纖同時輸出參考信號至外差相位計。當移動臺水平方向運動時，基于多普頻移勒效應和光學干涉原理，外差相位計利用參考信號和測量信號可讀出移動臺的位移信息[6-8]。

圖1 雙頻激光干涉測量系統原理圖Fig.1 Schematic diagram of dual-frequency laser interferometry system

移動臺移動速度和變化頻率關系式：

Δf符號由移動棱鏡運動方向確定：當棱鏡遠離偏振分光鏡時，取負號；當棱鏡靠近偏振分光鏡時，取正號。將速度與位移相關表達式：v=dl/dt，以及表達式：λ=c/f2代入（1）式得：

通過對一段時間內運動速度v進行積分，得到下式：

式（3）為雙頻激光干涉儀測量位移的基本公式。其中，N表示相位計的計算脈沖數，由此可得到物體移動的距離。

2 Edlen公式法原理

Edlen公式法是一種測量空氣折射率的經驗公式，通過在干涉光路中布置高靈敏度的溫度、壓力和相對濕度傳感器，對空氣的溫度、壓力和相對濕度等參數進行測量，然后代入經驗公式求出空氣折射率，進而間接得到實際波長的變化值。現階段都是以1966年的Edlen公式為基礎[9]，隨著對溫標的兩次改值、空氣密度與CO2含量的變化以及水蒸氣折射率新數據的發表等，各國學者先后對Edlen公式進行了修改，最近一次受廣泛承認的修正是Boensch等，于1998年給出的改進公式[10]，可得空氣折射率波動具體表達如下：

式（4）是干燥空氣下的標準折射率計算公式，σ是光在真空中的波數，單位為μm-1；式（5）為標準干燥空氣在CO2含量為x時的折射率計算公式；式（6）是標準干燥空氣在溫度為t、壓強為p時折射率計算公式；式（7）為包含標準濕空氣在水蒸氣分壓力f時的折射率計算公式。

通過對各個參量進行仿真分析，考察參量對空氣折射率的影響程度，可以得出溫度、濕度和大氣壓對空氣折射率的影響均呈線性或近似線性關系。可以得到空氣折射率的表達式如下：

其中，?n/?t為溫度的敏感性參數；?n/?p為壓強的敏感性參數；?n/?rh為相對濕度敏感性參數；?n/?c為CO2含量的敏感性參數[11]。雙頻激光干涉儀測量系統光源采用波長為632.99nm的激光，根據式（8）可計算得到的環境敏感性參數見表1。

由表1可以看出，空氣溫度、壓力和相對濕度均有影響，但溫度影響最明顯，其次是壓力，濕度影響最小，CO2的影響幾乎可以忽略，所以僅需補償溫度和壓力。

3 實驗驗證

3.1 實驗平臺搭建

采用圖2所示的測試平臺，整個測試平臺處于環境可控的無塵實驗室里。光學干涉平臺的干涉儀采用分立式結構，分立元件分別安裝在與底板相連的滑動導軌上，可調整干涉儀和移動棱鏡之間的相對位置；底板放置在地下密閉空間的氣浮隔震平臺上，減少外界振動對測試平臺產生的影響；在測試平臺測量光路附近放置溫度傳感器，實時采集測量過程中的溫度數據；除了數據接收模塊和激光器，光學測試平臺可用一個亞克力罩封閉起來，減小測量光程受外界環境的影響。在亞克力罩頂部開有可抽氣的閥門，為后續其他實驗做準備，在閥門接口處接有壓力傳感器，實時采集測量過程中的壓力數據。

表1 空氣折射率環境敏感性參數表Table 1 Environmental sensitivity parameters of air refractive index

圖2 位移測量系統測試平臺裝置圖Fig.2 Device diagram of displacement measurement system test platform

3.2 實驗結果

1）不同光程的測量結果

為驗證雙頻激光干涉儀測量平臺的性能，利用一個亞克力罩將整個測量平臺封閉起來后再進行測試，減小測量光程受外界環境的影響。將干涉儀、溫度傳感器以及壓力傳感器的采樣間隔設置連續采樣2min，通過調整干涉測量系統中干涉儀和移動棱鏡之間的位置變化，進行了兩組實驗：第一組的干涉儀光程為18mm；第二組的干涉儀光程為30mm。

圖3為干涉測量系統中干涉儀和移動棱鏡之間光程為18mm時的測量結果，測得3σ值為11.19nm，誤差可認為是儀器本身的誤差或與環境的變化程度有關。圖4為干涉測量系統中干涉儀和移動棱鏡之間光程為30mm時的測量結果，測得3σ值為19.97nm，此時干涉測量系統的測量誤差不僅與儀器本身有關，還與光程長度密切相關。

圖3 光程為18mm的測量結果Fig.3 Optical path is the measurement result of 18mm

圖4 光程為30mm的測量結果Fig.4 Optical path is the measurement result of 30mm

圖5 溫度和壓力數據Fig.5 Temperature and pressure data

圖6 Edlen公式對干涉儀的環境誤差進行補償Fig.6 Edlen formula compensates the environmental error of the interferometer

2）光程為18mm時的補償效果

由于光程為18mm時的測試平臺重復性較好，選取該光程下的實驗結果作為補償研究對象。圖5是測量平臺加了亞克力罩時，實時采集的溫度和壓力數據，將干涉儀、溫度傳感器以及壓力傳感器連續采樣5min。圖6是實際測量值通過Edlen公式進行補償的結果。藍色位移值表示為實際測量值，橙色誤差值表示為補償值與實際測量值的差值，即補償前干涉儀的測量值的3σ為14.58nm，補償后得出的3σ值為14.57nm。補償后比補償前的3σ提升了10-11m量級，補償效果不是太明顯。圖7是增大采樣時間后的補償效果，可以看出誤差值的3σ隨時間有遞增趨勢，補償效果會逐漸增強。

同樣是干涉儀光程為18mm時，當測量環境中存在外界熱源影響的情況下，分析Edlen公式法的補償效果。圖8是測量平臺實時采集的溫度和壓力數據，圖9為通過Edlen公式進行補償的結果。藍色位移值表示為實際測量值，橙色誤差值表示為補償值與實際測量值的差值，即補償前干涉儀的測量值的3σ為41.38nm，補償后得出的3σ為40.71。補償后比補償前的3σ提升了10-10m量級，補償效果比較明顯，也各更符合實際測量環境的情況。

由于上述實驗都是實現納米級靜態測量，不能較好反應實際應用中的測量情況。現通過模擬移動臺實現微米級運動時，通過Edlen公式進行補償分析。圖10是測量平臺實時采集的溫度和壓力數據。圖11為補償的結果，藍色位移值表示為實際測量值，橙色誤差值表示為補償值與實際測量值的差值，可以看到補償后比補償前的3σ提升了10-8m量級，補償效果較明顯，在實際激光干涉儀測量系統的應用場景中，有很好的參考價值。

4 結論

圖7 增大采樣時間的補償效果圖Fig.7 Compensation effect of increasing sampling time

圖8 溫度和壓力數據Fig.8 Temperature and pressure data

圖9 Edlen公式對干涉儀的環境誤差進行補償Fig.9 Edlen formula compensates the environmental error of the interferometer

概述了外界環境對雙頻激光干涉測量系統中激光波長的影響，重點分析了波長補償技術中的Edlen公式法。搭建了一套雙頻激光干涉測量的實驗平臺，并對不同光程下實驗平臺的穩定性進行了測試，實驗結果表明，實驗平臺的測量精度能達到10nm量級，具有較好的穩定性；在對各個參量進行仿真分析，考察溫度、濕度和大氣壓對空氣折射率的影響程度的基礎上，對Edlen公式法的補償效果進行了研究，在實驗平臺中采用高精度的溫度傳感器和壓力傳感器實時測量環境參數，實現對環境誤差的測量與對激光波長的補償。實驗結果表明在存在一定熱源的外界環境下，Edlen公式法的納米級測量補償效果能提升10-10m量級；在實際應用中的環境測量情況（如微米級運動）時，通過Edlen公式法的補償效果能提升10-8m量級。本文在為降低雙頻激光干涉測量系統中的環境誤差，進一步提高波長補償效果方面提供了有益的參考。

圖10 溫度和壓力數據Fig.10 Temperature and pressure data

圖11 Edlen公式對干涉儀的環境誤差進行補償Fig.11 Edlen formula compensates the environmental error of the interferometer