對“以考促學”提升數學應用能力的幾點認識

房勝

[摘? 要] 高中數學知識在生活中有著廣泛的應用，但在“唯分論”的影響下，教學中對學生應用意識和應用能力的培養未引起足夠的重視. 隨著新課改的不斷深入，高考也加強了對學生應用意識的考核，從而通過“考”刺激“學”，以達到“學以致用”的目的.

[關鍵詞] 應用意識;應用能力;學以致用

在傳統的教育思想及“唯分論”的教學評價模式的影響下，高中數學課堂上更關注對解題方法和解題技巧的培訓，對數學知識的來源、生成過程和應用方法常視而不見，從而造成學生數學應用意識薄弱. 然而數學的應用范圍廣泛，如果只關心學生是否可以正確解答考題，而忽視對應用意識和應用價值的培養，使得學生在遇到實際問題時無法運用數學知識去解答，那么無法實現“學以致用”的目的.

在素質教育的影響下，教學方向及教學方法都有了質的發展，數學應用意識的培養也逐漸得到了關注. 筆者選擇了幾個高考重點考查的題型，以期與同行一起探討，并引起師生對數學應用意識的重視.

[?] 函數

函數的學習貫穿于整個高中數學，其不僅是高考的必考考點，而且其在現實生活中的應用也是隨處可見. 例如，生活中“最便宜”“最合適”“最短”等相關的最值問題常用函數進行求解，因此其重要性是不言而喻的. 為了提升學生的函數應用意識，常通過“以考促學”的形式來強化學生的函數建模意識和建模能力.

例1 在平面直角坐標系xOy中，將從點M出發沿水平和垂直方向到達點N的任意一條路徑稱為“L路徑”. 如圖1所示，路徑MMMMN和路徑MNN都是點M到點N的“L路徑”. 某地新建了3處住宅樓，在平面直角坐標系xOy內3點的坐標分別為A（3，20），B（-10，0），C（14，0）. 現計劃選擇一點P修建一個文化中心，點P的位置要設置于x軸上方或x軸上.

（1）寫出點P到住宅樓A的“L路徑”的長度最小值表達式;

（2）若以原點O為圓心，r=1的圓內不允許建立文化中心，即“L路徑”不能進入保護區，現確定點P的位置，使其到3個住宅樓的“L路徑”長度相加值最小.

題目解析：求第（2）問時，因為存在保護區，所以確定點P的位置（即求點P的坐標）需要分類討論.

設點P的坐標為（x，y），定點P到3個住宅樓的“L路徑”長度相加值最小為d，則

（1）點P到住宅樓A的“L路徑”的長度最小值為x-3+y-20，y∈[0，+∞）.

（2）由題意可知，可將問題轉化為“點P到3個住宅樓的‘L路徑’的距離之和的最小值”.

①當y≥1時，d=x+10+x-14+x-3+2y+y-20. 因為d（x）=x+10+x-14+x-3≥x+10+x-14≥24，所以當且僅當x=3時，d（x）的最小值為24. 因為d（y）=2y+y-20≥21，所以當且僅當y=1時，d（y）的最小值為21. 所以點P的坐標為（3，1）時，其長度相加值最小，最小值為45.

②當0≤y≤1時，“L路徑”不能進入保護區，所以d（x）=x+10+x-14+x-3，d（y）=1+1-y+y+y-20=22-y≥21. 由①知d（x）≥24，所以d（x）+d（y）≥45，當且僅當x=3，y=1時恒成立.

因此，求得點P的坐標為（3，1）.

反思：本題是非常具有應用價值的題目，充分地考查了學生的函數建模能力，并巧妙地應用了絕對值的幾何意義，分類討論思想更加體現了思維的嚴謹性.

[?] 導數

導數與函數、不等式、數列、解析幾何等知識點都有著密切的聯系，其可謂是高中數學知識的一個交匯點，因此導數在數學中的應用意義是不可估量的.

例如，在高中數學引入導數后，方便了學生更好地理解函數的性質——對于基本初等函數可以通過函數的圖像清晰地表達函數的定義域、值域等基本性質，但是對于非基本初等函數卻很難利用圖像準確表達，而學習導數后就可以輕松地通過求導來判斷函數的極值點、最值點、拐點等，將復雜的問題簡單化，方便了學生對函數性質的理解. 另外，其有利于培養學生的函數思想，有利于學生理解曲線的切線方程，有利于發展學生的思維能力，且對其他學科的學習也發揮著巨大的作用. 因此，若要提高學生的數學應用能力，則要充分發揮導數的工具性和應用性的作用，從而為學生解決問題帶來新思路，為數學學習帶來新活力.

例2 已知函數f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）. 若兩曲線f（x）與g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2.

（1）求a，b，c，d的值;

（2）若x≥-2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍.

題目解析：（1）由題意可知，f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，得a=4，b=c=d=2.

（2）f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）. 設h（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2. 對h（x）求導，即h′（x）=2（x+2）（kex-1）. 由題意得h（x）≥0，即k≥1. 令h′（x）=0，得x=-lnk，x=-2.

①若1≤k≤e2，則-2≤x≤0，從而當x∈（-2，x）時，h′（x）<0;當x∈（x，+∞）時，h′（x）>0.即h（x）在（-2，x）上單調遞減，在（x，+∞）上單調遞增，故h（x）在[-2，+∞）上的最小值為h（x）. 而h（x）= -x（x+2）≥0，故當x≥-2時，h（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

②若k>e2，則h（-2）=+2<0，所以當k>e2，x≥-2時，f（x）≤kg（x）不可能恒成立.

綜上可知，k的取值范圍是[1，e2].

反思：本題主要是導數在研究曲線的切線方程中的應用，通過對函數的恒成立問題的研究，使學生深入理解了導數在函數學習中的應用價值，從而不僅強化了導數的應用，也使得學生加深了對函數性質的認識，有效地拓展了學生的知識面.

[?] 數列

導數是數學知識的一個交匯點，數列也有著同樣的地位，其與方程、函數、不等式等內容也息息相關，是高考的主要考查內容之一. 數列問題一般新穎多變，可以多角度、多層次地考查學生的數學應用能力，因此也是教學的重難點. 為了讓學生學好數列，靠單純的“題海戰術”顯然是無法解決的，應注重學生數學分析能力的培養，關注問題的本質屬性，讓學生掌握解決此類問題的通性通法，從而培養學生的應用意識.

例3 閱讀給出的線性數列的定義及定理解決問題.

定義：對于給定數列{x}，若滿足x=px+q（p，q為實常數）對于任意n∈N*都成立，就稱數列{x}為線性數列.

定理：若線性數列{x}滿足x=px+q，其中p，q為實常數，且p≠1，q≠0，則數列

x-

是以p為公比的等比數列.

（1）如果a=2n，b=3·2n，n∈N*，根據定義是否可以判斷數列{a}，{b}為線性數列？若可以，請求出對應的實常數p，q;若不可以，請說明理由.

（2）若數列{c}的前n項和為S，且對任意的n∈N*，都有S=2c-3n.

①請根據定義證明數列{c}為線性數列;

②請應用定理，求數列{c}的通項公式;

③求數列{c}的前n項和S.

題目解析：求解第（1）問時，只要根據給出的線性數列的定義逐個進行判斷即可，從而得到a=a+2，b=2b.

（2）令n=1，則S=2c-3，所以c=3. 又n≥2（n∈N*）時，S=2c-3（n+1），S=2c-3n. 將兩式相減，得c=2c-2c-3，則c=2c+3，n=1時也成立，所以c=2c+3，n∈N*. 故數列{c}為線性數列，其對應的實常數為p=2，q=3. 因此{c+3}是公比為2的等比數列，所以c+3=（c+3）·2n-1，所以c=6·2n-1-3，從而S=6（1+2+22+…+2n-1）-3n=6·2n-3n-6.

反思：本題設計思路新穎，利用給出的定義和定理，讓學生學會分析和掌握定義和定理的本質，從而在解決問題時利用其屬性構建認知體系. 雖然定義和定理是新內容，但學生對數列的基本解題方法和解題技巧有著深刻的認識，因此求數列的通項公式及數列的前n項和時，顯得游刃有余. 總之，無論題目多么新穎多變，只要有著扎實的基礎和過硬的心理素質，問題都會迎刃而解.

[?] 解析幾何

解析幾何是架設于代數與幾何之間的橋梁，其有效地融合了代數、幾何、函數等相關知識，更使數形結合思想得到了發展. 在高中階段，解析幾何的題目主要是以直線和二次曲線為核心的研究內容，通過整體代換、數形結合等解題技巧來體現其在數學中的應用價值.

例4 如圖2所示，已知橢圓C和C的中心為坐標原點O，兩橢圓的長軸為MN（在x軸上），短軸長分別為2m，2n（m>n），直線l（過原點且不與x軸重合）與C，C的四個交點為A，B，C，D. 若λ=，△BDM和△ABN的面積分別為S和S.

（1）當直線l與y軸重合時，若S=λS，求λ的值;

（2）若λ變化時，是否存在這樣的直線l，不與坐標軸重合，且使得S=λS？

題目解析：根據題意，設橢圓C的方程為+=1，橢圓C的方程為+=1，其中a>m>n>0，λ=>1.

（1）如圖3所示，當直線l與y軸重合時，則S=BD·OM=a·BD，S=AB·ON=a·AB，所以=. 令x=0，將其代入C和C的方程中，得y=m，y=n，y=-m，于是===. 因為S=λS，所以=λ，化簡得λ2-2λ-1=0. 因為λ>1，解得λ=+1. 所以，當直線l與y軸重合時，若S=λS，則λ=+1.

（2）若存在這樣的直線l，不妨設直線l的方程為y=kx（k>0）. 設點M（-a，0），N（a，0）到直線l的距離分別為d，d，則d=d. 所以S=BD·d，S=AB·d，所以====λ，所以=.

由點A（x，kx），B（x，kx）分別在C，C上，可得+=1，+=1，兩式相減得+=0，解得k2=. 因為k2>0，且x>x，所以λ2x-x>0，所以1<<λ.

反思：本題看似簡單，但是充分考查了學生運算求解的能力，數形結合思想的應用更能考核學生的數學應用能力.

總之，在日常的教學中要重視培養學生提取信息的能力和遷移信息的能力，讓學生通過對信息的加工和重組找到解決問題的方法，從而逐漸培養學生的應用意識和創新意識.

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