基于人工蜂群算法的混沌系統參數估計①

劉文霞,王榮杰,2,韓 冉,郜懷通

1(集美大學 輪機工程學院,廈門 361021)

2(福建省船舶與海洋重點實驗室,廈門 361021)

非線性科學是近些年來研究的熱點之一,Wang 等[1]將非線性系統應用于伺服電機的控制中,Zhang 等[2]應用超諧波響應分析法測試旋轉葉片受氣壓影響的形變程度,Zheng 等[3]運用非線性系統到分子動力學,充分說明了對非線性系統研究的重要性.自1963年Lorenz提出了第一個具有非線性動力學特性的混沌吸引子,即Lorenz 系統.此后,學術界對混沌系統的研究逐漸深入.2020年,Peng 等將改進的返回結果映射法應用于混沌系統的參數估計,與經典返回結果映射法相比節省了大量的運算時間[4].Zhuang 等[5]應用Jaya-Powell 算法估計Lorenz 混沌系統的參數,為邊緣計算提供了便利.國外研究員用改進的粒子群算法估計基于混沌響應的永磁同步電動機模型參數,并取得了良好的效果[6].

混沌是非線性系統中普遍存在的一種現象,它作為非線性動力系統的固有特性引起了極大的關注[7],尤其是混沌系統在生物醫學、保密通信以及信息科學等領域需求的推動下,致使許多國內外研究者加入研究,并提出了大量的研究方法[8-10],但這些研究方法大多以參數已知為前提.在許多實際應用中,由于系統的復雜性等因素,導致系統參數在大多數情況下是無法確定的,為了降低在參數尋優過程中的難度,需要對未知參數設置一定的范圍,所以對混沌系統中的未知參數進行有效評估成為混沌系統中的關鍵問題[11].對混沌系統中的未知參數進行有效評估實質是多維復雜函數優化問題,群體智能優化算法對解決復雜函數優化問題提出了有效的方案.例如:人工蜂群算法[12]、螢火蟲算法[13]、差分進化算法[14]、花朵授粉算法[15]、粒子群算法[16]等相繼被用于對混沌系統的參數估計,具有比傳統優化算法更好的效果.

人工蜂群算法是仿生智能計算領域中一種十分典型的群體智能優化算法,它是通過模仿蜜蜂的采蜜過程而得到的,主要特點是可以直接通過對局部候選解的優劣進行比較,選出全局最優值[17].相比其他群智能優化算法,人工蜂群算法在處理多維問題及全局搜索方面所需參數較少,計算簡單,易于實現等優點[18,19].故本文利用人工蜂群算法解決混沌系統中參數估計的問題.

1 混沌系統參數估計

定義m個參數的n維混沌系統的狀態變量估計值如式(1):

式(1)中,X=(x1,x2,···,xn)T∈Rn是系統的狀態向量;θ=(θ1,θ2,···,θm)T∈Rm是系統未知參數向量;X0是系統的初始狀態;F:Rn×Rm→Rn是給定的非線性向量函數.

假設系統結構已知,當對系統參數進行估計時被估計系統可定義為式(2):

式(2)中,Y=(y1,y2,···,yn)T∈Rn是被估計系統中的狀態向量是系統估計參數.

參數估計問題也可轉化為式(3):

式(3)中,N表示用于狀態變量的數據長度,xi和yi分別表示在其狀態變量下系統的真值和估計值.顯然,J(θ)是多維和多模非線性函數,混沌系統具有動態不穩定且對初始參數敏感的特性.因此,難以有效且準確地估計出混沌系統的參數.而人工蜂群算法在處理多維問題上易于實現,故本文采用人工蜂群算法并以式(3)為目標函數進行求解.基于人工蜂群算法的混沌系統參數估計框圖如圖1所示.首先,將原系統輸出的值x1,x2,···,xn和待估計系統輸出的值y1,y2,···,yn進行計算得到參數估計的誤差平方和J(θ);然后,將得到的J(θ)反饋到人工蜂群算法中生成新的估計值;最后,通過多次迭代調整估計值θ ?使優化函數J最小.

圖1 混沌系統參數估計框圖

2 基于人工蜂群算法的混沌系統參數估計

2.1 人工蜂群算法

人工蜂群算法(Artificial Bee Colony algorithm,ABC)是一種通過模仿蜜蜂的采蜜過程而得到的優化算法,它是由土耳其學者Karaboga 于2005年提出的用來解決多變量函數的優化問題[20].通過對問題的局部尋優行為,找到全局最優值的過程.ABC 算法主要有初始化、雇傭蜂、觀察蜂和偵查蜂4 個階段.

初始化階段:ABC 算法在初始化階段,每只雇傭蜂會隨機產生一個食物源,每個食物源與待優化解的個數SN一一對應,SN為蜂群規模,而每個待優化解V(i)是一個n維的向量.即初始值生成公式如式(4):

式(4)中,i=1,2,···,SN,j=1,2,···,n.Vmin(j)和Vmax(j)分別是第n維的最小值和最大值.rand表示0和1 之間的隨機數.

雇傭蜂階段:在此階段,每只雇傭蜂通過搜索方程在其當前位置的附近生成新的食物源VEB(i),其搜索方程如式(5):

式(5)中,i=1,2,···,SN,j=1,2,···,n.λ是?1 到1 之間的隨機數,r是1 到SN之 間的任意整數且r≠i.

當得到新的食物源VEB(i),便對其進行評估且與舊的食物源V(i)進行比較.如果VEB(i)的適用性優于V(i),則將VEB(i)替換V(i);否則保留V(i).

觀察蜂階段:當所有雇傭蜂搜索完成后,它們通過舞蹈分享保存的信息給觀察蜂.觀察蜂根據相應的概率在雇傭蜂傳遞的信息基礎上更新候選解,并評估其適應度選擇食物源.更新方程如式(6):

式(6)中,i=1,2,···,SN,j=1,2,···,n.β是?1 到1 之間的隨機數,k是1 到SN之間的任意整數且k≠i.

當得到新的食物源VOB(i),便對其進行評估且與更新的食物源V(i)進行比較.如果VOB(i)的適用性優于V(i),則將VOB(i)替換V(i);否則保留V(i).

偵查蜂階段:為了防止陷入局部最優,對于連續klimit次沒更新的解由式(4)重新生成新的候選解代替它.

當得到新的候選解VSB(i),便對其進行評估且與原候選解V(i)進行比較.如果新候選解的適用性優于原候選解,則替換它;否則保留原候選解.

ABC 算法的優化流程圖如圖2所示.

2.2 基于人工蜂群算法的混沌系統參數估計法的實現

雖然ABC 算法在處理多維問題及全局搜索方面所需參數較少,計算簡單,易于實現.但其收斂速度相對較慢,精度不高.

本節為充分利用搜索方程對蜂源進行搜索得到優化解,引入了可選擇的概率p得到新的搜索機制,舍棄了概率計算和限制次數內蜂群沒替換重新生成隨機蜂群的方法,算法的具體改進之處如下.

在雇傭蜂階段,改用搜索方程如式(7):

式(7)中,i=1,2,···,SN,j=1,2,···,n.Vmin(j)和Vmax(j)分別是第n維的最小值和最大值.

在觀察蜂階段,引用了差分進化中變異[21]的方法.其搜索方程如式(8):

式(8)中,i=1,2,···,SN,j=1,2,···,n.Vbest(j)是雇傭蜂求出的最優值,r1和r2的取值范圍為1 到SN,但r1≠r2.?的取值范圍為?1 到1.

在偵查蜂階段,引用了概率p,如果p>rand,則用如下搜索方程更新如式(9):

式(9)中,i=1,2,···,SN,j=1,2,···,n.k的取值范圍為1 到SN,?的取值范圍為?1 到1.

圖2 ABC 算法流程圖

本文ABC 算法的優化步驟如算法1 所示.

算法1.本文ABC 算法1.初始化階段:設置最大迭代次數FEmax,蜜蜂個數為維度為n;由式(4)得到初始混沌系統的參數估計值,并通過式(3)計算得到估計參數轉化的函數值J1.While (符合終止條件)2.雇傭蜂階段:由式(7)更新參數估計值,并通過式(3)計算得到目標函數值J2;將當前最優目標函數值J1和J2 進行比較,最小值即為最優值,選出最優值放于J1.3.觀察蜂階段:由式(8)更新參數估計值,并通過式(3)計算得到目標函數值J3;將當前最優目標函數值J1和J3 進行比較,最小值即為最優值,選出最優值放于J1.4.偵察蜂階段:S N V(i,j)

比較概率p和rand的大小,根據比較結果決定是否更新參數估計值;由式(9)更新參數估計值,并通過式(3)計算得到目標函數值J4;將當前最優目標函數值J1和J4 進行比較,最小值即為最優值,選出最優值放于J1.FE=FE+1迭代次數 ;End

3 仿真分析

3.1 基準函數測試

為了驗證本文ABC 算法的有效性,將本文ABC 算法和ABC 算法及文獻[12]中的IABC 算法的優化能力進行評估.分別采用了Sphere 函數、Griewank 函數、Ragstrigin 函數、Rosenbrock 函數、Ackley 函數、Schaffer 函數6 個標準的測試函數進行測試,測試函數的表達式、維度、搜索范圍及函數最優值如表1所示[22].

將所有函數的最大迭代次數FEmax設置為100,各函數的收斂曲線如圖3所示.從各函數的收斂曲線圖可以看出,本文ABC 算法與ABC 算法及IABC 算法相比下降趨勢更快、坡度更陡、所用迭代次數更少,其函數f3、f5和f6尤為明顯.故本文ABC 算法相比ABC 算法和IABC 算法收斂速度更快,優化效果更佳.這說明本文ABC 算法是可行的.

表1 標準測試函數

圖3 標準測試函數收斂曲線

3.2 Lorenz 系統參數估計

Lorenz 系統是最典型的混沌系統[23,24],這里以Lorenz 系統為例,驗證本文ABC 算法對混沌系統中未知參數估計的適用性.Lorenz 系統的狀態方程如式(10):

未知參數的真實值a=10,b=28,c=8/3.以x(0)=0.1,y(0)=0.1,z(0)=0為初始狀態值對系統進行仿真,設置采樣次數N=10 000.數值仿真采用四階Rayleigh-Benard法[25]來計算式(10)中每個整數點的變量值,步長h=0.01,混沌系統[26]如圖4所示.

圖4 Lorenz 混沌吸引子三維圖

在本文ABC 算法中,設置最大迭代次數FEmax=100,種群大小SN=20,混沌系統的未知參數范圍設置為:8 ≤a≤12,2 5 ≤b≤30和2 ≤c≤3.圖5是參數估計值在每次迭代中記錄的最優解曲線圖.圖6是目標函數值在每次迭代中記錄的最優解曲線圖.

圖5 參數估計值收斂曲線

圖6 目標函數值收斂曲線

由圖5和圖6仿真結果可以得出,本文ABC 算法的收斂性及穩定性明顯優于ABC 算法及IABC 算法.圖7、圖8和圖9分別是通過兩種算法得到的最優估計參數值由式(10)得出的狀態變量估計值和真值之間的對比圖,其中誤差e(t)的方程如式(11).

式(11)中 δi(t)是分別是參數x(t)、y(t)、z(t)的真值,是分別是參數x(t)、y(t)、z(t)的估計值.

圖7 ABC 算法狀態變量

由圖7～圖9可見,圖9中真值和估計值曲線更趨近于重合尤其隨采樣次數的增大,重合度越高,而圖7中的真值和估計值曲線在隨采樣次數增大時有明顯的分叉現象,圖8的重合度相比于圖9較差,所以本文ABC 算法的趨近性明顯優于ABC 算法和IABC 算法.參數a、b、c及目標函數的最優值、最差值和平均值是由ABC 算法和本文ABC 算法及IABC 算法分別獨立運行30 次計算得到的平均值,記錄于表2.

圖8 IABC 算法狀態變量

由表2可以得出,在最優值、最差值和平均值上由本文ABC 算法仿真得出的參數a趨近于10、參數b趨近于28、參數c趨近于8/3的效果明顯優于由ABC 算法和IABC 算法仿真得出的參數趨近值.利用本文ABC 算法得出的目標函數值也明顯小于由ABC算法和IABC 算法得出的目標函數值,故本文ABC 算法在穩定性及收斂速度上明顯優于ABC 算法和IABC算法.

圖9 本文ABC 算法狀態變量

表2 文獻[14]ABC和本文ABC 算法參數估計結果

4 結論

針對人工蜂群算法收斂速度相對較慢,精度不高,本文首先引入了可選擇的概率p得到新的搜索機制;在此基礎上,將混沌系統中復雜的參數估計問題轉化為多維問題,利用改進的人工蜂群優化算法求解混沌系統的參數.測試函數優化實驗證了人工蜂群算法改進方案的有效性;Lorenz 混沌系統的參數辨識仿真實驗結果表明了本文的基于人工蜂群算法的混沌系統參數辨識方法比傳統ABC 算法及IABC 算法具有更高的估計精度,且較快的收斂速度.