摩天輪主軸力學特性研究及安全性分析

楊蕾璟，趙九峰，李劍

（河南省特種設備安全檢測研究院，鄭州 450000）

引言

如果一橫向力作用在軸上（材料力學里稱為梁），橫截面上除了彎矩外，還有剪力存在，這時橫截面上不僅有彎曲正應力，還有彎曲切應力[1]。根據材料力學可知，細長軸的控制因素通常是彎曲正應力，切應力對于強度的影響遠遠低于正應力，因而在強度計算中，一般不校核切應力；當橫向力靠近支座時，軸的最大彎矩減小，相應的正應力也比較小，由橫向力引起的彎曲切應力增大，此時應校核彎曲切應力的強度。

圖1 受橫向力軸

摩天輪是一種大型轉輪狀的標志性大型游樂設備，它的轉盤上吊掛著承載游客的轎廂，轉盤在驅動機構的摩擦作用下，繞中心主軸旋轉，掛在轉盤外圈的轎廂隨之轉動，乘客可在轎廂內俯瞰四周景色[2]。主軸作為摩天輪中最重要的零部件之一，幾乎承載著整個運行結構的全部重量，其力學性能決定著摩天輪的安全性[3]。

本文將從力學理論方面講解彎曲切應力的推導過程，給出了彎曲切應力的詳細推導公式，以42 m摩天輪為工程背景，計算摩天輪主軸的彎曲切應力和彎曲正應力，對其進行安全校核分析，并通過ANSYS Workbench仿真平臺對摩天輪主軸進行有限元仿真分析。使用有限元分析和工程計算相結合的方法，為摩天輪主軸的應力計算和安全性分析提供了理論依據[4]。

1 軸強度分析

1.1 彎曲切應力解析

軸（梁）受一橫向載荷F，橫截面為矩形，寬為b，高為h。用橫截面m-m，n-n從軸中截取dx一段，如圖1所示。

兩橫截面均有剪力和彎矩，其中剪力為FS，左側截面彎矩M，右側截面彎矩M+dM，彎矩產生正應力σ，剪力產生切應力τ，如圖2所示。

圖2 軸微段載荷示意圖

圖3 軸微段截開

現(xiàn)假設用一水平截面將微段軸截開，并保留下部脫離體，由于脫離體側面上存在豎向切應力τ，根據切應力互等定理可知[5]，在脫離體頂面上一定存在切應力τ′，且τ=τ′，如圖3（a）所示。以FN1、FN2分別代表作用在脫離體左側面、右側面上法向內力的總和，dFS代表水平截面上剪切力，如圖3（b）所示。

面積A1對中性軸z的靜矩[5]：

式中：

A1—橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積，單位：mm2。

脫離體橫截面的彎曲正應力[5]：

式中：

M—脫離體橫截面上的彎矩，單位：N·mm；

Iz—截面對中性軸z的慣性矩，單位：mm4；

dA—脫離體橫截面上的微元面積，單位：mm2。

脫離體左側面法向力總和：

聯(lián)立公式（1）、（3）可得：

同理可得：

由于微段的長度很小，脫離體水平截面上的微剪切力可認為是均勻分布，所以有：

有軸向靜力平衡可得：

公式（4）～（6）代入公式（7）可得：

整理后，可得：

又橫截面上的剪力：

聯(lián)立公式（9）、（10），由切應力互等定理可得彎曲切應力[6]：

對于矩形截面，在式中截面寬度b為常數(shù)，而中性軸任一邊的半個橫截面面積對中性軸的靜矩為最大，所以中性軸上各點處的切應力最大[7]。

1.2 圓截面軸的彎曲切應力

對于實心圓截面軸，由切應力互等定理可知，在截面邊緣上各點處切應力τ的方向必與圓周相切，而在與對稱軸y相交的各點處，由于剪力、截面圖形和材料物性均與y軸對稱，其切應力必沿 方向，如圖4所示。

可以假設：

1）沿寬度kk'上各點處的切應力均交匯于o'點，如圖4（a）所示；

2）各點處切應力沿y方向的分量沿寬度相等。

圓截面的最大切應力τmax在中性軸的各點處，由于在中性軸兩端處切應力的方向均與圓周相切與外力所在平面平行，故中性軸上各點處的切應力方向均與外力所在平面平行，且中性軸上各點切應力相等。

半圓截面的靜矩[8]：

圓截面慣性矩（b=d）[7]：

圓截面的面積：

由公式（11）～（14）可得圓截面內的最大彎曲切應力：

1.3 安全性評價

對于橫力彎曲下的軸，其橫截面上一般既有彎矩又有剪力。軸上最大正應力發(fā)生在彎矩最大的橫截面上距中性軸最遠的各點處，而最大的切應力發(fā)生在剪力最大的橫截面軸上中性軸的各點處。因此，正應力和切應力無需合成計算，應分別校核軸的正應力σmax和切應力τmax。

圖4 圓截面軸

根據《工程力學》中的計算公式，軸的最大彎曲正應力為[7]：

式中：

W—橫截面上的抗彎截面系數(shù)，單位：mm3。

由GB 8408-2018《大型游樂設施安全規(guī)范》中6.2.2[9]：零部件進行應力計算，材料的極限應力與其承受的最大應力的比值為安全系數(shù)，重要的軸、銷軸的安全系數(shù)n≥5.0。

切應力安全系數(shù)：

正應力安全系數(shù)：

2 摩天輪主軸計算

2.1 理論計算

摩天輪的總高度為42 m。輪外將裝掛24個透明吊廂，每個吊廂可乘坐4個人，可同時供96人觀光[3]。大盤的直徑為37 m，滿載總質量m=5.0×104kg（含乘客），忽略振動系數(shù)和沖擊系數(shù)的影響，即主軸的工作載荷F=5.0×104×9.8=4.9×105N。主軸的直徑d=200 mm（抗彎截面系數(shù)W=785 398 mm3），軸的材料為45鋼，調質熱處理，抗拉強度σb=650 MPa[10]，摩天輪主軸裝配簡圖如圖5所示。

由于前期的設計過程中摩天輪主軸的結構尺寸、軸上各零件位置及外載荷和支反力作用位置均已確定，把主軸當做置于鉸鏈支座上的梁，支反力的作用點即軸的支撐點，兩支撐點的距離L=2 700 mm，外載荷作用點間距l(xiāng)=2 400 mm。忽略沖擊系數(shù)及風載荷的影響，軸的力學模型如圖6所示。

主軸的剪切力：

主軸的橫截面積：

由公式（15）得主軸的彎曲切應力：

主軸的彎矩：

由公式（16）得軸的彎曲正應力為：

由公式（17）得主軸的彎曲切應力安全系數(shù)：

由公式（18）可得軸的彎曲應力安全系數(shù)：

軸的應力安全系數(shù)大于5.0，表明軸滿足使用要求。

3 有限元計算

對主軸進行有限元靜力學分析，可以得到主軸在靜態(tài)載荷下的變形和應力分布情況，并可預知主軸的薄弱位置[11]，利用ANSYS Workbench有限元分析軟件，采用10節(jié)點的實體單元（SOLIDl87），控制單元尺寸，建立的摩天輪主軸的有限元模型，主軸兩端安裝在支座上，安裝部位約束徑向位移，大盤與主軸通過軸承連接，連接部位分別施加豎向向下2.45×105N的壓力。載荷與約束如圖7所示。

圖5 摩天輪主軸裝配簡圖

圖6 摩天輪主軸力學模型

在壓力作用下對主軸進行靜力分析，求解成功后進入后處理，得到彎曲切應力最大值τmax=10.6 MPa，彎曲應力最大值σmax=46.1 MPa。計算結果應力云圖如圖8所示。

有限元計算結果與理論解的對比見表1，有限元解與理論解的誤差小于1 %，表明了載荷施加和仿真過程的可靠性和正確性。

4 結論

隨著設計水平的不斷提高，大型摩天輪的高度也從幾年前的十幾米、幾十米發(fā)展到現(xiàn)在的上百米[3]。主軸作為摩天輪中關鍵的零部件，用來承受摩天輪運行中的重力載荷和沖擊載荷等，主軸一旦因應力安全系數(shù)不足而發(fā)生嚴重的變形甚至斷裂，則會嚴重威脅乘人的生命安全，因此對摩天輪主軸的應力計算和強度校核顯得尤為重要。

本文以42 m摩天輪為工程背景，利用分離體軸向靜力平衡推導縱向剖面切應力，利用切應力互等定理得到主軸彎曲切應力的表達式，并對摩天輪主軸進行力學理論計算和安全性校核分析，通過ANSYS Workbench仿真平臺對主軸進行有限元仿真計算，仿真計算結果與力學理論計算結果一致，表明摩天輪主軸有足夠的強度來支撐整個轉盤，確保摩天輪安全運行。其計算方法可為游樂設施主軸的計算分析提供參考，對提高游樂設施的設計能力和安全性具有十分重要的現(xiàn)實意義[12]。

圖7 摩天輪主軸載荷

圖8 計算結果

表1 摩天輪主軸有限元解與理論解對比