一種新的Glauber公式的證明方法

陶俊琦 王 蒙 程劍劍 鄭 華

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,陜西 西安 710119)

Glauber公式在量子力學(xué)中有著十分重要的應(yīng)用,特別是量子力學(xué)中的問(wèn)題被轉(zhuǎn)化成算符操作后,比如利用平移算符作用在真空態(tài)上產(chǎn)生諧振子的相干態(tài)。Glauber公式給出了兩個(gè)算符之和的指數(shù)與算符指數(shù)之積的關(guān)系,它的具體表達(dá)式為

應(yīng)用Glauber公式的條件是算符與算符分別與它們的對(duì)易子[]對(duì)易。由于量子力學(xué)中常見(jiàn)的坐標(biāo)與動(dòng)量算符、產(chǎn)生與湮滅算符之間都滿足Glauber公式的應(yīng)用條件。因此Glauber公式是量子力學(xué)中十分重要的公式之一。對(duì)Glauber公式的證明也是非常重要的內(nèi)容。筆者通過(guò)對(duì)量子力學(xué)的學(xué)習(xí)與對(duì)大量量子力學(xué)教材和習(xí)題集的調(diào)研發(fā)現(xiàn)[1-22],對(duì)Glauber公式的證明方法主要有兩種。筆者認(rèn)為這兩種方法都有其優(yōu)缺點(diǎn),我們?cè)谡闹袝?huì)做詳細(xì)討論。筆者在本文中通過(guò)構(gòu)造的方法,利用Baker-Hausdorff公式和算符的指數(shù)展開(kāi)公式,給出了一種新的Glauber公式的證明方法。此方法不僅簡(jiǎn)潔、簡(jiǎn)單,同時(shí)具有思辨性,可以作為Glauber公式證明的另一種教學(xué)選擇。

1 Glauber公式常用的證明方法

量子力學(xué)教材中,第一種常用證明方法如下[2](注:不同教材和習(xí)題集的證明方法可能與下述證明方法略有不同,但本質(zhì)上屬于同一種方法)。先構(gòu)造一個(gè)含有參變量的算符指數(shù)的函數(shù)

其中λ為參變量。然后對(duì)參變量求導(dǎo)

利用Baker-Hausdorff公式

和算符與算符分別與它們的對(duì)易子]對(duì)易,可得

將式(5)代入式(3),可得

然后將(λ)除到式(6)左側(cè)的分母

對(duì)上式積分后得到滿足條件(0)=1的解為

在式(8)中令λ=1,即證明了Glauber公式

容易看出式(9)即式(1)的變體。

上述證明過(guò)程中,我們需要注意式(7)。在式(7)左側(cè)(λ)被除到了分母。(λ)是構(gòu)造的含有參變量的算符指數(shù)的函數(shù),然而與算符對(duì)應(yīng)的矩陣是沒(méi)有除法的。這是筆者認(rèn)為的此證明方法存在的一點(diǎn)瑕疵。但如果忽略式(8)的求解過(guò)程式(7),直接將式(8)代入式(6)進(jìn)行驗(yàn)證,此證明方法的瑕疵就消失了。

第二種常用的證明方法如下[14]。首先我們需要證明以下公式(詳細(xì)證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)[14],在此我們就不贅述了)

其中符號(hào)()n表示不能使用普通代數(shù)中的二項(xiàng)式定理進(jìn)行展開(kāi),必須考慮算符的對(duì)易性質(zhì)。而符號(hào)[]n-2i表示不考慮算符與算符對(duì)易性質(zhì),可以用代數(shù)中的二項(xiàng)式定理展開(kāi),但算符一律寫在算符的前面。上述兩種符號(hào)相應(yīng)的二次冪展開(kāi)式如下

利用算符的指數(shù)函數(shù)展開(kāi),我們可以得到如下關(guān)系

然后利用式(10)和式(13),即可直接證明Glauber公式

此證明方法非常嚴(yán)格,但需要提前證明式(10)和式(13)。如果考慮所有必須的證明過(guò)程,整個(gè)證明過(guò)程略顯復(fù)雜。

從上述兩種常用證明方法的討論中可以看出,兩種證明方法各有其優(yōu)缺點(diǎn)。第一種方法雖然簡(jiǎn)潔明了,但存在一點(diǎn)瑕疵;第二種證明方法雖然嚴(yán)謹(jǐn),但卻略顯復(fù)雜。筆者將在下文中給出了一種新的比較簡(jiǎn)潔的Glauber公式的證明方法。

2 新的Glauber公式證明方法

利用Baker-Hausdorff公式(式(4)中令λ=1)可得

因此,可以構(gòu)造如下恒等式

將所有構(gòu)造的恒等式兩邊都乘以與其冪指數(shù)n相應(yīng)的常數(shù)因子后相加并利用算符指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式,可以得到

利用算符與算符分別與它們的對(duì)易子[]對(duì)易和式(16),可得

當(dāng)算符與算符對(duì)易時(shí),即[]=0,我們有。因此我們可以猜測(cè),當(dāng)算符與算符不對(duì)易時(shí)有

我們要求當(dāng)[]=0 時(shí),f([])=1。但f([])的具體形式是不知道的。由于我們所討論的是算符指數(shù)的運(yùn)算,根據(jù)“物以類聚”的邏輯,自然的一種猜想為f([])=ex[],其中x為待定系數(shù)。式(23)可以寫為

將式(24)代入式(22)的右邊

對(duì)比最后兩行,只有當(dāng)x=-時(shí)才成立。因此Glauber公式得證

3 結(jié)語(yǔ)

筆者對(duì)Glauber公式在量子力學(xué)教材中的兩種常用證明方法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了相應(yīng)的討論,并給出了一種新的證明Glauber公式的方法。該證明方法十分簡(jiǎn)潔和簡(jiǎn)單,只利用了Baker-Hausdorff公式和算符的指數(shù)展開(kāi)公式,但需要加入一點(diǎn)思辨進(jìn)行合理的猜想。這為學(xué)生學(xué)習(xí)證明Glauber公式提供了一種新的思路,同時(shí)對(duì)提高學(xué)生的創(chuàng)新能力也具有一定的啟發(fā)意義。