一種新的Glauber公式的證明方法

陶俊琦 王 蒙 程劍劍 鄭 華

(陜西師范大學物理學與信息技術學院,陜西 西安 710119)

Glauber公式在量子力學中有著十分重要的應用,特別是量子力學中的問題被轉化成算符操作后,比如利用平移算符作用在真空態上產生諧振子的相干態。Glauber公式給出了兩個算符之和的指數與算符指數之積的關系,它的具體表達式為

應用Glauber公式的條件是算符與算符分別與它們的對易子[]對易。由于量子力學中常見的坐標與動量算符、產生與湮滅算符之間都滿足Glauber公式的應用條件。因此Glauber公式是量子力學中十分重要的公式之一。對Glauber公式的證明也是非常重要的內容。筆者通過對量子力學的學習與對大量量子力學教材和習題集的調研發現[1-22],對Glauber公式的證明方法主要有兩種。筆者認為這兩種方法都有其優缺點,我們在正文中會做詳細討論。筆者在本文中通過構造的方法,利用Baker-Hausdorff公式和算符的指數展開公式,給出了一種新的Glauber公式的證明方法。此方法不僅簡潔、簡單,同時具有思辨性,可以作為Glauber公式證明的另一種教學選擇。

1 Glauber公式常用的證明方法

量子力學教材中,第一種常用證明方法如下[2](注:不同教材和習題集的證明方法可能與下述證明方法略有不同,但本質上屬于同一種方法)。先構造一個含有參變量的算符指數的函數

其中λ為參變量。然后對參變量求導

利用Baker-Hausdorff公式

和算符與算符分別與它們的對易子]對易,可得

將式(5)代入式(3),可得

然后將(λ)除到式(6)左側的分母

對上式積分后得到滿足條件(0)=1的解為

在式(8)中令λ=1,即證明了Glauber公式

容易看出式(9)即式(1)的變體。

上述證明過程中,我們需要注意式(7)。在式(7)左側(λ)被除到了分母。(λ)是構造的含有參變量的算符指數的函數,然而與算符對應的矩陣是沒有除法的。這是筆者認為的此證明方法存在的一點瑕疵。但如果忽略式(8)的求解過程式(7),直接將式(8)代入式(6)進行驗證,此證明方法的瑕疵就消失了。

第二種常用的證明方法如下[14]。首先我們需要證明以下公式(詳細證明見參考文獻[14],在此我們就不贅述了)

其中符號()n表示不能使用普通代數中的二項式定理進行展開,必須考慮算符的對易性質。而符號[]n-2i表示不考慮算符與算符對易性質,可以用代數中的二項式定理展開,但算符一律寫在算符的前面。上述兩種符號相應的二次冪展開式如下

利用算符的指數函數展開,我們可以得到如下關系

然后利用式(10)和式(13),即可直接證明Glauber公式

此證明方法非常嚴格,但需要提前證明式(10)和式(13)。如果考慮所有必須的證明過程,整個證明過程略顯復雜。

從上述兩種常用證明方法的討論中可以看出,兩種證明方法各有其優缺點。第一種方法雖然簡潔明了,但存在一點瑕疵;第二種證明方法雖然嚴謹,但卻略顯復雜。筆者將在下文中給出了一種新的比較簡潔的Glauber公式的證明方法。

2 新的Glauber公式證明方法

利用Baker-Hausdorff公式(式(4)中令λ=1)可得

因此,可以構造如下恒等式

將所有構造的恒等式兩邊都乘以與其冪指數n相應的常數因子后相加并利用算符指數函數的展開式,可以得到

利用算符與算符分別與它們的對易子[]對易和式(16),可得

當算符與算符對易時,即[]=0,我們有。因此我們可以猜測,當算符與算符不對易時有

我們要求當[]=0 時,f([])=1。但f([])的具體形式是不知道的。由于我們所討論的是算符指數的運算,根據“物以類聚”的邏輯,自然的一種猜想為f([])=ex[],其中x為待定系數。式(23)可以寫為

將式(24)代入式(22)的右邊

對比最后兩行,只有當x=-時才成立。因此Glauber公式得證

3 結語

筆者對Glauber公式在量子力學教材中的兩種常用證明方法的優缺點進行了相應的討論,并給出了一種新的證明Glauber公式的方法。該證明方法十分簡潔和簡單,只利用了Baker-Hausdorff公式和算符的指數展開公式,但需要加入一點思辨進行合理的猜想。這為學生學習證明Glauber公式提供了一種新的思路,同時對提高學生的創新能力也具有一定的啟發意義。