淺論均勻帶電球冠和相切平面的電場等價性

朱中凱 劉親博 王睿博 朱欽圣 吳明和 滕保華

(電子科技大學1英才實驗學院;2信息與通信工程學院;3物理學院;四川 成都 611731)

引言

電磁學教材及相關文獻[1]～文獻[7]中常常會討論不同帶電體電場的等價性問題,因為利用一些等價關系可以使實際問題得以方便處理,如鏡像法[1-3]用等效的鏡像電荷替代原本問題的某些元素,從而可以將問題大為簡化。文獻[4]討論了兩種均勻帶電線以及兩種均勻帶電面的場強等價關系,但是只是考慮在圓心及球心的特定位置,文獻[5]～文獻[7]計算了均勻帶電球面上的電場強度,但沒有討論帶電球面和帶電平面間的場強等價關系。本文將討論均勻帶電球冠面和與之相切的均勻帶電平面在球面北極點的電場等價性,以及均勻帶電圓弧和與之相切的均勻帶電直線在圓環頂點處的不等價性,從而豐富不同帶電體電場的等價性問題的內涵。

1 帶電面在球面北極點的電場關系

首先定義北極點P,它是球面O與QO延長線的交點(Q是平面與球面O的切點),然后利用測地投影法,可以建立球面上球帶與平面上圓環之間的對應關系,如圖1所示。

圖1 帶電球冠面與帶電平面示意圖

若均勻帶電球冠面與均勻帶電平面相切于Q點,電荷密度皆為σ,球面的半徑為R,則均勻帶電平面上內半徑為r、外半徑為r+dr的圓環在北極點P處產生的場強為

而均勻帶電球冠面上與上述均勻帶電平面圓環相對應的球帶在北極點P處的場強為

也就是說,電荷面密度相等的均勻帶電球帶和與之對應的均勻帶電圓環,在北極點處產生的電場強度完全等價。這就意味著均勻帶電球冠和與之對應的均勻帶電圓盤在北極點的場強是等價的,即

利用上述結論,可以得到均勻帶電幾何球面上一點的場強。對于均勻帶電的幾何球面,其電場分布在該球面的鄰域內不連續,所以直接求解該點場強有一定困難,但是許多文獻計算了該點場強值收斂于。

其實,由上述等價關系知道,一無限大均勻帶電平面和與之相切的均勻帶電球面在北極點處產生的電場強度完全等價,在式(3)中取可得均勻帶電球面對該點的電場強度為,與無限大均勻帶電平面對該點的電場強度等價。

當然,上述均勻帶電幾何球面也可以看成是均勻帶電薄球殼的極限情形。對于帶電量為Q,內半徑為R1,外半徑為R2的同心帶電球殼,由高斯定理可以得到r處(R1≤r≤R2)的場強為

當δ趨于無窮小時該球殼即趨于一個幾何球面,此時可得:

為了更加直觀起見,這里給出了均勻帶電球殼的場強與r的圖像,如圖2所示。可以發現,當R1與R2非常接近時,場強大小E與r在R1＜r＜R2中近似呈線性關系,且E(R1)=0,E(R2)=,于是在r=(R1+R2)/2 處其場強大小為E(r)=,這就是均勻帶電幾何球面上的場強。

圖2 均勻帶電球殼的場強

2 帶電線在頂點處的場強關系

下面討論帶電直線和與之相切的帶電圓弧在圓環頂點的場強關系。如圖3所示,電荷線密度為λ1的帶電直線與電荷線密度為λ2半徑為R的帶電圓弧相切。

圖3 帶電直線和帶電圓弧示意圖

當θ變化到θ+dθ時,帶電直線上對應線元dx,而帶電圓弧上對應圓弧元ds,則線元在圓弧頂點P處產生的場強為

由幾何關系可以簡化為:

而圓弧元在圓弧頂點P處產生的場強為:

同樣利用幾何關系有

可以看出,若電荷線密度相等的均勻帶電線元和均勻帶電圓弧元,二者在相應圓弧的北極點P處產生的場強是不等價的。只有當電荷線密度滿足λ2=λ1cos2θ時,帶電圓弧微元與帶電直線微元在相應的圓弧頂點處產生的場強才是等價的。

結合文獻[4]可以得到,均勻帶電球冠面和與之相切的均勻帶電平面在球面北極點的電場是等價的,但是在球面圓心處的電場是不等價的;均勻帶電圓弧和與之相切的均勻帶電直線在圓環頂點處是不等價的,而在圓心處的電場是等價的,從而把不同帶電體電場的等價性問題進行了拓寬和推廣。

3 結語

本文首先討論了均勻帶電球面微元與均勻帶電平面微元在球面北極點的電場等價關系,并應用兩種面微元的電場等價性得出均勻帶電球面上的場強,然后分析了均勻帶電圓弧微元與均勻帶電直線微元的不等價關系。結果表明,帶電面的場強等價性與帶電線的場強等價性的區別在于:對于北極點,前者電荷密度相同則完全等價,而后者需要引入隨夾角變化的電荷密度關系才等價;對于圓心,后者電荷密度相同則完全等價,而前者需要引入隨夾角變化的電荷密度關系才等價。