一種外磁作用下球殼系統空間磁場的計算方法

姚振寧 劉起坤 周長林

(中國人民解放軍戰略支援部隊信息工程大學,河南 鄭州 450001)

靜態電磁場作用下多個物體間的相互作用計算問題是一種復雜的多體耦合問題,可用于分析電流變液[1-3]、磁流變液[4,5]、復合磁性液體[6]。在低磁艦船磁性防護中,船上空心殼體鐵磁設備間的相互磁化會直接影響全船磁性指標的控制,為快速分析相互磁化影響,把復雜的空心殼體鐵磁設備近似等效為球殼,此時需要研究球殼間的相互磁化問題。

含有多個磁介質球殼的球殼系統在外磁場中的磁化十分復雜,這是因為被外磁場磁化的球殼會產生相互磁化,當球殼為鐵磁物質時,這種相互磁化作用更強。目前,關于靜態電磁場作用下多個球體間的相互耦合研究有很多,這些研究方法可以被借鑒用到外磁作用下球殼系統空間磁場的計算上。文獻[7]～文獻[9]在雙球坐標系中求解雙球靜電問題,并由拉普拉斯方程獲得解析解,但解析解是用積分或特殊函數來表示的,使用起來不方便。文獻[10]利用正交函數法求解雙球靜電問題,雖然可以獲得解析解,但解析解含有無窮級數。文獻[11]～文獻[13]利用多極矩展開法來計算電介質球間的相互作用,當介電常數較小時,計算比較方便,但如果介電常數較大,計算項數將迅速增多。文獻[14]利用鏡像法來計算導體球系統的偶極矩或電場空間分布,鏡像法比較適合由單個或多個形狀對稱物體組成的系統,而且計算精度高、速度快,但一般只適用于導體球系統或介電常數足夠大的電介質球系統。文獻[15]推導了鐵質球體間的相互磁化產生的鏡像磁偶極子磁矩和鏡像磁荷,并得到外磁作用下鐵質球體系統空間磁場的鏡像解析解,雖然鏡像解析解的計算精度較高,但只適用于球體系統空間磁場的計算,不適用于球殼系統空間磁場的計算。相對于球體間相互磁化,球殼間的相互磁化更為復雜,目前還沒有公開文獻利用解析解來計算球殼間的相互磁化問題。

本文從外磁作用下的單個球殼與單個球體產生的磁場規律出發,通過引入磁場比例系數把球殼間的相互磁化等效為球體間的相互磁化,并根據鏡像法推導出球殼間的相互磁化規律,進而求出外磁作用下球殼系統空間磁場的鏡像解,并分析討論了鏡像解的計算階數選擇,最后驗證了球殼系統空間磁場鏡像解的正確性。當球殼為弱磁物質時,由于相對磁導率較小,球殼間的相互磁化作用不明顯,所以本文研究外磁作用下鐵質球殼系統空間磁場的計算。

1 球殼系統空間磁場表達式

如圖1所示,球殼系統置于真空中,設球殼1(球心為O1)的內外徑分別為Ri和R,球殼2(球心為O2)的內外徑分別為ri和r,球心間的距離為d,球殼相對磁導率為μr,He為均勻外磁場。

圖1 球殼系統

在外磁場作用下,球殼系統被磁化,其在周圍空間任一場點P產生的空間磁場表達式為

式中,H1和H2為兩個球殼由于被外磁場磁化而分別在場點P產生的空間磁場;H′1和H′2為這兩個磁化的球殼由于相互磁化而分別在場點P產生的附加空間磁場。H1和H2可由以下三式求出[16]

式中,m1、m2為兩個球殼被外磁場磁化后的等效磁偶極子磁矩;r1、r2的方向由球心O1、O2分別指向場點P;λ1、λ2為兩個球殼的磁場比例系數。

可見,求解球殼系統空間磁場的關鍵在于計算附加空間磁場,而附加空間磁場沒有直接的解析表達式,需要通過其他方法求出。

2 附加空間磁場的鏡像計算

如圖2所示,設系統中球殼1(球心為O1)的內外徑分別為Ri和R,球殼2(球心為O2)的內外徑分別為ri和r,球殼2被外磁場磁化后的等效磁偶極子磁矩為m2=m2x e x+m2y e y+m2z e z,假定球心O1為坐標原點,并令α=(μr-1)/(μr+1)。

圖2 球殼間的磁化

在相同均勻外磁場作用下,單個球殼與單個球體產生的磁場形式相同,僅僅相差一個磁場比例系數,所以可以通過引入磁場比例系數,把球殼間的相互磁化等效為球體間的相互磁化。根據由鏡像法推導出的球體間的相互磁化研究[15],并引入磁場比例系數,則等效磁偶極子磁矩為m2的球殼2對球殼1的磁化等效為球殼1內的一個鏡像磁偶極子磁矩和兩個鏡像磁荷,其各自表達式和位置為

式中的磁場比例系數λ1可用式(4)第一式表示,而鏡像磁偶極子、鏡像磁荷產生的磁場就是球殼1的附加空間磁場

同理,如圖3所示,球殼1被外磁場磁化后的等效磁偶極子磁矩為m1=m1x e x+m1y e y+m1z e z,則等效磁偶極子磁矩為m1的球殼1對球殼2的磁化等效為球殼2內的一個鏡像磁偶極子磁矩和兩個鏡像磁荷,其各自表達式和位置為

式中的磁場比例系數λ2可用式(4)第二式表示,而鏡像磁偶極子、鏡像磁荷產生的磁場就是球殼2的附加空間磁場

因此,根據式(2)、式(6)和式(8)的表達式,再由式(1)即可求出球殼系統空間磁場的鏡像解。

圖3 球殼間的磁化

式(5)、式(6)、式(7)和式(8)分析了球殼間的一階相互磁化,并沒有考慮高階相互磁化。仿照準靜態場中各階場分析方法,由一階相互磁化可以獲得二階以及更高階相互磁化(每階相互磁化均考慮磁場比例系數),然后把各階附加空間磁場相疊加,則可以獲得較高精度的附加空間磁場。

3 計算階數選擇

為了獲得較高精度的鏡像解,必須考慮高階相互磁化。當鏡像解的計算階數選擇過大時,計算過程復雜;當鏡像解的計算階數選擇過小時,計算精度可能不夠。因此,需要合理選擇鏡像解的計算階數。

圖4 各階鏡像

圖5 極端情況下衰減程度隨階數變化曲線

由圖可以看出:隨著階數增加,衰減程度逐漸減小,衰減速度逐漸變慢;當階數到20左右時,衰減程度已經很小。實際上,在一般情況下(d＞2R且μr 為有限值),由于λ＜1、α＜1 和(d-d i)＞R,所以和的衰減速度非?？?鏡像解只需考慮前幾階相互磁化即可。

4 仿真驗證

為了驗證本文鏡像解算法的正確性,采用積分方程法計算外磁作用下的球殼系統空間磁場(剖分單元足夠多),把數值解作為真解。

4.1 積分方程法數值計算

如圖6所示,假設任意形狀物體離散為N個單元,Q i為第i個離散單元中心(i=1,2,…,N),μr為相對磁導率,P為周圍空間任一場點,He為外磁場。

圖6 積分方程法數值計算示意圖

首先,將場點P分別置于各離散單元中心,則可以得到以各離散單元磁場強度為未知量的線性方程組(如果外磁場是均勻的,則下式中的He(r Pj)=常數)

式中,j=1,2,…,N,r Qi為第i個離散單元的矢徑,r Pj為第j個離散單元(即場點P)的矢徑,r Pj Qi為第i個離散單元到第j個離散單元的矢徑。然后,求解以上線性方程組可以得到各離散單元磁場強度。最后,代入下式可以得到外磁場作用下任意形狀物體在周圍空間任一場點P產生的空間磁場

4.2 鏡像解驗證

如圖7所示,球殼系統置于均勻外磁場Be=[33500n T,6000n T,35000n T]中,兩個球殼的外徑分別為R和r,間距為l,μr均為100,厚度外徑比均為D。計算場點位于球殼下方的一條直線上,與x軸間的距離為2R,計算場點個數為21,鏡像解的計算階數為20。利用TrueGrid剖分軟件將每個球殼進行剖分(為了清晰地顯示球殼的內部輪廓,圖中僅給出了球殼的下半部分),然后采用以上積分方程法求數值解。

圖7 球殼系統仿真實驗示意圖

為了評估鏡像解的誤差大小,本文計算了鏡像解的最大相對誤差er,max=emax/Bt,max(Bt,max為所有計算場點的真解最大值,emax為所有計算場點的鏡像解絕對誤差最大值)。為了對比檢驗鏡像解的計算效果,本文計算了疊加解及其最大相對誤差(疊加解即為不考慮相互磁化的本文零階鏡像解)。

圖8和圖9分別給出了r=R和R/2時場點鏡像解、疊加解與真解(l=0,D=0.1)。由圖可以看出:疊加解與真解吻合較差,當r=R時,其x、y和z分量的er,max分別為36.76%、15.84%和24.04%,當r=R/2時,其x、y和z分量的er,max分別為15.45%、7.35%和13.62%;鏡像解與真解吻合較好,當r=R時,其x、y和z分量的er,max分別為3.31%、2.98%和3.38%,當r=R/2時,其x、y和z分量的er,max分別為3.12%、3.21%和4.03%。

圖8 鏡像解、疊加解與真解的比較(r=R)

圖9 鏡像解、疊加解與真解的比較(r=R/2)

另外,需要考查球殼的厚度對鏡像解誤差的影響,圖10為鏡像解的er,max隨厚度外徑比變化曲線(l=R/10,r=R)。由圖可以看出,鏡像解的er,max較小,其三個分量均小于3.5%。

可見,鏡像解的計算誤差非常小,且適用于不同厚度的球殼系統空間磁場的計算。此外,相對于復雜耗時的數值計算方法,鏡像計算把球殼間的相互磁化最終等效為鏡像磁荷和鏡像磁偶極子磁矩,而鏡像磁荷和鏡像磁偶極子磁矩具有清晰簡潔的表達式,所以本文鏡像解算法能夠快速分析相互磁化影響。圖8、圖9及圖10中鏡像解的很小誤差主要源于:為把球殼間的相互磁化等效為球體間的相互磁化,引入磁場比例系數所帶來的誤差;求解系統空間磁場的鏡像法本身誤差。

圖10 鏡像解的最大相對誤差隨厚度外徑比變化曲線

5 結語

本文從外磁作用下的單個球殼與單個球體產生的磁場規律出發,引入磁場比例系數,把球殼間的相互磁化等效為球體間的相互磁化,提出一種能夠計算球殼系統空間磁場的鏡像解算法,最后仿真結果驗證了鏡像解的正確性,且適用于不同厚度的球殼系統空間磁場的計算。從整個計算過程來看,可以得到以下結論:

(1) 鏡像計算把球殼間的相互磁化最終等效為鏡像磁荷和鏡像磁偶極子磁矩,所以只需利用鏡像磁荷和鏡像磁偶極子磁矩的表達式就能快速定性分析球殼間的相互磁化影響,避免了復雜的數值計算;

(2) 鏡像解首先考慮每個球殼被外磁場磁化,再考慮球殼間的相互磁化,因此鏡像解能夠推廣到含有多個球殼的系統空間磁場計算。