剛柔耦合空間閉鏈機器人軌跡跟蹤與振動抑制研究

張青云 趙新華,2 劉 涼 戴騰達

(1.天津理工大學計算機科學與工程學院， 天津 300384；2.天津理工大學天津市先進機電系統設計與智能控制重點實驗室， 天津 300384；3.天津理工大學機電工程國家級實驗教學示范中心， 天津 300384)

0 引言

柔性機器人具有輕質、高精度、快速響應等特點，廣泛應用于航天、設備制造、工業設計等領域[1-4]。相對柔性串聯機器人而言，柔性閉鏈機器人能增加有效載荷、減少累積誤差、提高工作效率[5-8]。因此，柔性閉鏈機器人動力學分析及控制策略研究已成為熱點問題。剛柔耦合機器人具有強耦合、高度非線性特性，大部分學者先采用奇異攝動法將剛柔耦合機器人進行降階，分解為快變和慢變子系統后再進行控制策略研究[9-11]。文獻[12]針對慢變子系統采用自適應魯棒終端滑模控制，而對快變系統則通過自適應狀態觀測器的最優控制來抑制振動。文獻[13]根據Schur分解法，提出基于時間尺度設計的狀態變量特征值控制器。文獻[14]通過加速度反饋控制算法有效抑制了平面3-RRR柔性并聯機器人的自激振動。文獻[15]通過設計一種新的自適應滑模控制器來研究一類時滯空間機械臂的控制問題。文獻[16]根據非奇異快速終端滑模面和多冪次趨近律，提出了一種帶擾動補償的控制律。對于多變量、高緯度的剛柔耦合機器人，奇異攝動法雖然能對模型進行降階，但同時也增加了子系統的復雜程度，使控制方案的實時性降低、軌跡跟蹤精度不能得到有效提高。因此，文獻[17]基于徑向基神經網絡設計了逼近控制算法，對并聯機器人運動軌跡進行跟蹤。文獻[18]基于反饋線性化控制策略對機械臂的末端軌跡進行跟蹤。

目前，對含柔性關節或柔性連桿的控制分析主要以空間機械臂、串聯機器人及平面并聯機器人為研究對象[19-24]，鮮有對高維度、多變量的空間剛柔耦合并聯機器人的軌跡跟蹤和振動抑制問題進行研究。本文以含空間柔性構件的剛柔耦合閉鏈機器人為研究對象，采用有限元法對空間柔性構件進行離散，基于浮動坐標系描述柔性構件的位移場矢量，最后通過Lagrange方程建立考慮末端執行器微小位移的動力學方程。利用基于前饋補償的PD控制算法對末端執行器軌跡進行跟蹤，以消除柔性構件變形產生的振動。

1 剛柔耦合空間閉鏈機器人動力學模型

1.1 系統分析模型

考慮系統中含有空間柔性構件的閉鏈機器人作研究對象，其結構示意圖如圖1所示。

由圖1可知，從動桿的轉動軸線垂直于驅動桿和中間連桿的轉動軸線，在全局坐標系下需看作空間構件。且其長徑比(即連桿長度與直徑的比值)大于20，當系統高速運行時，其產生的彈性變形不可忽略。因此，本文將從動桿作為空間柔性構件來建立其動力學模型和分析其軌跡跟蹤性能會更符合實際工況。

剛柔耦合空間閉鏈機器人中的3條運動支鏈呈三角對稱分布，因此，通過建立任意一條運動支鏈的分析模型即可獲得其他運動支鏈的動力學特性，其分析模型如圖2所示。

根據圖2可得，全局坐標系OXYZ和局部坐標系Pxyz分別設在靜平臺和剛性末端執行器的幾何中心，各構件坐標系分別設在上關節處，并且在柔性空間變形的影響下，剛性末端執行器將產生微小位移，其變化后的坐標系為P′x′y′z′。為了簡化空間柔性連桿在全局坐標系下的絕對運動描述，將浮動坐標系原點設在構件端點Ci(i=1、2、3)處，則空間柔性構件相當于一個懸臂梁，從而消除了相對運動中剛體的運動模式。端點Ai、Bi、Ci為轉動關節(R副)連接處，Pi為虎克鉸(U副)連接處，li和mi分別為構件長度和質量，θi1、θi2、θi3為構件與轉軸之間的剛性轉角，其中i=1，2，3。剛性末端執行器端點Pi在微小位移作用下將變到P′i的位置，其將坐標系P′x′y′z′變換到Pxyz的變換關系可表示為

(1)

式中ε——末端執行器微小轉角

ΔxP、ΔyP、ΔzP——末端執行器微小位移

而由局部坐標系Pxyz變換到全局坐標系OXYZ的變換矩陣為

(2)

式中φi——驅動構件坐標系與全局坐標系之間的夾角

1.2 運動學方程

空間柔性構件上任意點w在全局坐標系下的位移場矢量可通過浮動坐標系表示為

(3)

其中

式中r0——浮動坐標系原點在全局坐標系下的位移矢量

rw——空間柔性構件上任意點w在全局坐標系下的位移場矢量

T——浮動坐標系到全局坐標系的變換矩陣

u0、uf——空間柔性構件在浮動坐標系下的未變形矢量和變形矢量

qf——單元節點位移矢量

N——單元形函數

NA、NB、NC——插值向量

同時，空間柔性連桿在全局坐標系下的絕對角速度為

(4)

剛柔耦合空間閉鏈機器人的運動支鏈幾何約束關系為

lAiBi+lBiCi+lCiPi=lAiO+lOPi

(5)

其中

式中P——剛性末端執行器在全局坐標系下的理想軌跡

r、R——末端執行器和靜平臺半徑

l1、l2——驅動桿和中間連桿長度

對式(6)用高斯消元法進行求解即可得系統理想軌跡與驅動構件之間的函數關系。

1.3 動力學方程

由動能公式可得系統各構件動能為

(6)

式中vi1、vi2——驅動桿和中間連桿的速度矢量

ωi2——中間連桿角速度矢量

J2——中間連桿轉動慣量

ρ——空間柔性構件密度

l3——空間柔性構件桿長

V——空間柔性構件體積

Jc——空間柔性構件轉動慣量

同理，系統中各構件勢能為

(7)

式中A——柔性構件橫截面面積

E——柔性單元彈性模量

G——剪切模量

Iyy、Izz——空間柔性構件橫截面對y軸和z軸的慣性矩

Ip——柔性構件橫截面對x軸的極慣性矩

ψx——繞x軸的彈性轉角函數

考慮剛性末端執行器在空間柔性連桿彈性變形下引起的微小位移，則其動能和勢能表達式為

(8)

其中

P′=P+JPΔP

式中mP——末端執行器質量

J——轉動慣量

ωP——絕對角速度

zP′——全局坐標系Z軸方向位移

JP——系統的協調矩陣[25]

ΔP——微小位移

將式(8)中的動能和勢能進行裝配即可得系統總動能T和總勢能V，再將其代入Lagrange方程可得

(9)

其中

式中qj——系統廣義坐標

τj——系統廣義力

j——廣義坐標數

將式(9)簡化可得系統動力學方程為

(10)

式中M——系統慣性質量矩陣，M∈R45×45

K——剛度矩陣，K∈R45×45

C——包含科氏力、離心力的矩陣，C∈R45×45

τ——控制系統及驅動力矩組成的列向量，τ∈R45×1

2 基于前饋補償的主動振動控制方法

剛柔耦合空間閉鏈機器人是一個多變量、強耦合、時變的高維度非線性系統，為了避免通過系統分解進行模型降階導致的控制器疊加、控制參數復雜等不足，直接基于考慮空間柔性構件變形及剛性末端執行器產生微小位移的精確動力學模型，將預先求出的控制力矩對系統進行前饋補償，提高系統響應速度和跟蹤性能。再與反饋PD控制器相結合，消除關節的轉角偏差、抑制空間柔性構件振動，從而改善系統性能，其軌跡跟蹤控制框圖如圖3所示。

2.1 控制律設計

剛柔耦合空間閉鏈機器人的軌跡誤差為

(11)

通過建立的約束關系式(5)即可獲得系統驅動關節角位移、角速度及角加速度。

反饋PD控制器為

(12)

式中，kp∈R3×1、kd∈R3×1。

2.2 前饋控制

(13)

將式(12)和式(13)進行組合即可得到系統基于前饋補償的控制算法為

τ=τf+τd

(14)

3 數值分析

基于圖1的剛柔耦合空間閉鏈機器人進行數值分析，其結構參數如表1所示。

表1 系統結構參數Tab.1 System parameters

由于控制模型是基于動力學模型建立的，為了驗證控制模型的有效性，需先保證推導動力學模型的正確性。首先，采用Matlab對上述推導的動力學方程進行編程求解，再與ADAMS和Simulink聯合仿真的動力學模型的解進行對比，聯合仿真框圖如圖4所示。

設末端執行器理想軌跡為

(15)

式中，末端執行器角速度ω=2 rad/s，t=5 s，時間間隔為0.005 s，則理論模型和仿真模型對比結果如圖5所示。

由圖5可知，仿真模型驅動力矩大于理論模型，是由于仿真模型存在建模誤差、曲線擬合誤差及關節間隙等，但理論模型和仿真模型各支鏈驅動力矩運動趨勢一致，驗證了推導的動力學模型的正確性。由于理論模型在求解過程中沒有對多解進行篩選，導致力矩圖中存在突變現象，也將為控制算法的修改提供指導。因此，基于推導的動力學模型進行控制器設計將簡化設計過程，且結果更精確。

為了驗證控制器的有效性，通過對比末端在不同載荷作用下的軌跡跟蹤精度、空間柔性構件的振動抑制情況及相對位置PID控制算法的控制效果來進行說明。

通過參數整定得到系統控制參數為

(16)

將式(16)、(14)代入式(10)，即可得到控制算法作用下的剛柔耦合空間閉鏈機器人剛性末端執行器的實際軌跡。圖6分別為末端載荷為自由狀態、1倍臂桿質量及5倍臂桿質量的剛柔耦合空間閉鏈機器人末端執行器在X方向、Y方向及Z方向的軌跡跟蹤曲線。

由圖6可知，系統先到達無控實際軌跡，即系統基于建立的剛柔耦合動力學方程(11)直接計算出含柔性變形的實際振動軌跡，然后在控制算法作用下振動逐漸減小，最后趨于一個穩定值。對于不同末端載荷作用下的跟蹤軌跡，只要對控制參數進行合理調整即可讓末端軌跡在短時間達到平衡，保證了大范圍剛性運動精確性。

由于柔性構件產生的彈性振動對系統末端軌跡精度具有重要影響，因此，所提控制器是否有效還需對柔性臂桿在控制器作用下的彈性振動進行分析。圖7為有無控制器作用下柔性構件軌跡對比曲線。

圖7a、7b為空間柔性連桿在X和Y方向的軌跡跟蹤曲線。其中，系統無控制器作用的軌跡振動均大于有控制器作用的軌跡曲線，驗證了控制器能有效抑制系統柔性變形產生的振動。由于系統剛性末端執行器的理想軌跡為Z平面的圓形軌跡，其無控作用下的軌跡也趨于一條直線，但當空間柔性構件質心與靜平臺質心之間的相對距離最大時，構件將產生較大波動，而在控制器作用下其能快速到達平衡位置，消弱了柔性振動。

為更加直觀地分析所提控制器的有效性，將本文控制方法與位置PID 控制方法進行對比，其結果如圖8所示。

由圖8可知，本文控制方法作用下的軌跡精度高于位置PID控制方法，是因為本文控制方法是基于精確動力學模型而進行設計，并且考慮了系統在運動過程中的動態特性，所以既保證了軌跡精度，又抑制了彈性振動。

為了更直觀觀察不同控制器的控制效果，對比了不同控制方法下的跟蹤軌跡最大誤差，其結果如表2所示。

表2 誤差分析Tab.2 Analysis of errors mm

由表2可知，末端執行器跟蹤軌跡在本文控制器作用下X方向上位置誤差相對位置PID方法降低了89.7%，在Y方向位置誤差降低了4.3%，而在Z方向位置誤差降低了12.9%，保證了末端執行器軌跡跟蹤精度。

因此，基于前饋補償的反饋PD控制算法既能更好地跟蹤軌跡又能抑制柔性變形產生的振動。

4 結論

(1)基于浮動坐標系對經有限元法離散后的空間柔性構件位移場矢量進行描述，再通過矢量閉環法建立運動支鏈約束關系，由此得到剛柔耦合空間閉鏈機器人各關節與末端執行器的函數關系，為前饋補償提供含有耦合項的理想關節角位移、角速度及角加速度曲線。

(2)根據末端執行器在空間柔性構件變形下引起的微小位移，建立了考慮剛性末端執行器微小位移的動力學模型，提高建模精確性，減少控制器干擾因素。

(3)通過前饋補償對軌跡進行跟蹤與反饋PD控制律改善模型跟蹤性能的復合控制方式對剛柔耦合空間閉鏈機器人進行控制，并通過仿真驗證了控制算法的有效性。

(4)由數值分析可知，選擇合適的控制參數即可對系統進行軌跡跟蹤。空間柔性構件的彈性變形對系統的動態特性及軌跡精度具有重要影響，可通過主動抑制振動來保證系統的穩定性和準確性。