一種高精度變步長(zhǎng)的大規(guī)模MIMO能效優(yōu)化算法*

劉帥帥

（杭州電子科技大學(xué)，浙江 杭州 310018）

0 引言

在過(guò)去的幾十年里，通信技術(shù)得到快速的發(fā)展，通信用戶和業(yè)務(wù)流量劇增的同時(shí)，通信技術(shù)產(chǎn)業(yè)能耗也急劇上升。能耗的上升，既增加了通信成本，又不符合綠色通信的要求，而大規(guī)模多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）技術(shù)作為如今通信系統(tǒng)最主要的技術(shù)之一，使用更多天線接收和轉(zhuǎn)發(fā)信號(hào)，因此導(dǎo)致系統(tǒng)能耗上升，如何提高大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的能效受到廣泛關(guān)注[1-3]。

為了解決通信系統(tǒng)的能耗問(wèn)題，通信小區(qū)的資源分配成為重要的研究方向。文獻(xiàn)[4]通過(guò)合理的功率分配提高了通信系統(tǒng)的頻譜效率和能量效率。文獻(xiàn)[5]指出等功率分配方案無(wú)法充分利用能量，在考慮了基站天線數(shù)和小區(qū)內(nèi)用戶數(shù)影響的前提下，提出一種功率分配方案，仿真結(jié)果表明聯(lián)合基站天線數(shù)、小區(qū)用戶數(shù)的功率分配提高了系統(tǒng)頻譜效率性能。此外，有學(xué)者通過(guò)優(yōu)化基站天線數(shù)來(lái)提高大規(guī)模MIMO系統(tǒng)能效[6-8]。文獻(xiàn)[6]推導(dǎo)了大規(guī)模MIMO上行鏈路在不同的接收方式的信道容量下界，并且通過(guò)合理分配基站天線數(shù)提高了系統(tǒng)的頻譜效率和能量效率。文獻(xiàn)[7-8]假設(shè)大規(guī)模MIMO基站天線數(shù)為一個(gè)常數(shù)，提出一種低復(fù)雜度的資源分配方案，通過(guò)優(yōu)化發(fā)送功率提高了系統(tǒng)能效。文獻(xiàn)[9]使用凸理論模型分析了天線數(shù)、用戶數(shù)、發(fā)送功率等參數(shù)對(duì)大規(guī)模MIMO系統(tǒng)能效的影響，聯(lián)合多參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)能效更符合現(xiàn)實(shí)通信場(chǎng)景。因此文獻(xiàn)[10-15]聯(lián)合多參數(shù)對(duì)大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的能效問(wèn)題進(jìn)行了研究，首先利用信道容量的閉合表達(dá)式建立能效函數(shù)，然后以能效最大化為目標(biāo)對(duì)能效函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，得到最佳的資源分配方案。Mahdi等人[13]研究了一種低復(fù)雜度的大規(guī)模MIMO資源分配算法，將功率分配和天線選擇進(jìn)行了聯(lián)合優(yōu)化，利用交替迭代更新的方法求解最優(yōu)能效，在不損失能效性能的前提下降低了算法復(fù)雜度。文獻(xiàn)[14]考慮了大規(guī)模MIMO系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)用戶的通信質(zhì)量以及每根天線的發(fā)射功率是否合理的問(wèn)題，以能量效率最大化為目標(biāo)，對(duì)最優(yōu)天線數(shù)以及功率分配方案進(jìn)行了優(yōu)化求解。

傳統(tǒng)資源分配算法均采用固定迭代步長(zhǎng)對(duì)最優(yōu)能效進(jìn)行優(yōu)化求解[10-15]，但合適的迭代步長(zhǎng)不易確定，步長(zhǎng)過(guò)大導(dǎo)致搜索精度不高，步長(zhǎng)過(guò)小使算法復(fù)雜度上升。本文采用變步長(zhǎng)的資源分配算法，根據(jù)算法循環(huán)迭代次數(shù)調(diào)整迭代步長(zhǎng)，可變的迭代步長(zhǎng)滿足了算法搜索精度，另外配合一種快速收斂算法加快算法收斂，降低算法的復(fù)雜度。本文在第1節(jié)介紹了大規(guī)模MIMO上行鏈路系統(tǒng)模型和能耗數(shù)學(xué)模型；第2節(jié)建立能效目標(biāo)函數(shù)并提出本文算法，然后對(duì)算法復(fù)雜度進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析；第3節(jié)進(jìn)行了仿真和分析。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法具有精度高、收斂快等優(yōu)勢(shì)，可有效應(yīng)用于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)下的復(fù)雜的多用戶場(chǎng)景。

1 系統(tǒng)模型

本文假設(shè)一個(gè)單小區(qū)多用戶大規(guī)模MIMO上行鏈路系統(tǒng)，基站配置M根發(fā)射天線位于小區(qū)中央，小區(qū)內(nèi)有K個(gè)單天線移動(dòng)用戶隨機(jī)散布在基站四周，且滿足M＞＞K，小區(qū)模型如圖1所示：

圖1 MIMO系統(tǒng)模型

在大規(guī)模MIMO上行鏈路系統(tǒng)中，信道矩陣H受大尺度衰落和小尺度衰落的影響。根據(jù)參考文獻(xiàn)[6]，信道矩陣生成表達(dá)式為：

式中，D表示K×K維的大尺度衰落對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素[D]kk=βk。βk表示用戶k到基站天線的大尺度衰落系數(shù)，其中包括幾何衰落和陰影衰落的影響。由于基站天線之間的距離遠(yuǎn)小于用戶到基站的距離，因此用戶k到達(dá)基站任何一根天線的大尺度衰落系數(shù)均視為βk。G表示M×K維的小尺度衰落矩陣，服從CN(0,IM)的瑞利分布，該模型可有效應(yīng)用于小尺度衰落建模中。

若所有用戶在同一時(shí)頻資源中傳輸數(shù)據(jù)，基站端收到M×1維信號(hào)y為：

式中，P表示用戶K×K維發(fā)射功率對(duì)角矩陣；對(duì)角線上的元素[P]kk=pk，pk表示用戶k的發(fā)送功率；x是K×1維發(fā)射信號(hào)向量；n是M×1維的加性高斯白噪聲。

文獻(xiàn)[6]假設(shè)基站端可以獲得完美信道狀態(tài)信息（Channel State Information，CSI）且噪聲方差為1，采用最大比合并（Maximal Ratio Combining，MRC）接收，得用戶k的信道容量Rk為：

上行鏈路的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的能耗模型主要分為移動(dòng)端的能量消耗和基站端的能量消耗兩部分。第一部分移動(dòng)端能量消耗被建模為所有單天線用戶發(fā)射總功耗，第二部分基站端的能量消耗表示為調(diào)用M根天線所消耗的總功耗。基于上述考慮，通信系統(tǒng)的總功耗Ptot可建模為：

其中，為了方便表示小區(qū)內(nèi)所有用戶的發(fā)射功率，本文將發(fā)射功率矩陣P對(duì)角線上的元素取出，重組為1×K維的用戶發(fā)射功率向量p=[p1…pK]，pe為基站端每根天線的射頻鏈路上所有電子器件產(chǎn)生的平均功率。

大規(guī)模MIMO系統(tǒng)能效被定義為單位能量所傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量[6]，為了使系統(tǒng)能效最大，聯(lián)合用戶發(fā)送功率p和基站天線數(shù)M進(jìn)行資源分配，將p和M作為自變量，根據(jù)式（4）和式（5），得到上行鏈路能效函數(shù)F(p,M)為：

2 變步長(zhǎng)梯度下降算法

2.1 能效目標(biāo)函數(shù)

實(shí)際通信系統(tǒng)中考慮到每個(gè)用戶的通信質(zhì)量，定義用戶的最低通信質(zhì)量為ξ。令每個(gè)用戶的上行傳輸速率不低于最低通信質(zhì)量，得到另外，考慮到多用戶MIMO系統(tǒng)內(nèi)用戶間干擾對(duì)能效性能的影響，定義用戶間干擾上限J=2.0[15]，利用干擾上限J對(duì)整個(gè)系統(tǒng)發(fā)射功率約束，得到綜合上述考慮，對(duì)能效函數(shù)式（6）建立約束條件得：

式中，(p*,M*)表示使能效最大的發(fā)送功率和天線數(shù)。文獻(xiàn)[15]假設(shè)用戶間干擾最大為J，此時(shí)為通信可能的最壞情況，則上行鏈路總傳輸速率大于最壞情況下的傳輸速率，即：

系統(tǒng)能效函數(shù)為F(p,M)，為了考慮可能存在的通信的最壞情況，基于式（8）最壞情況下傳輸速率的閉合式，將能效函數(shù)轉(zhuǎn)化為：

為了研究目標(biāo)函數(shù)L關(guān)于p、M的凹凸性，利用文獻(xiàn)[17]附錄A中證明目標(biāo)函數(shù)凹凸性的方法求得式（10）的海森矩陣：

由于目標(biāo)函數(shù)L的定義域domL={pk,M|pk＞0,M∈N+}為一個(gè)凸集，且在該定義域內(nèi)海森矩陣為負(fù)定矩陣，因此目標(biāo)函數(shù)L關(guān)于p、M是聯(lián)合凹的[11,20]。

2.2 變步長(zhǎng)梯度下降算法

傳統(tǒng)的資源分配算法通常采用牛頓法對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行迭代更新，在迭代過(guò)程中采用固定迭代的步長(zhǎng)，且步長(zhǎng)決定迭代的次數(shù)，也決定著算法搜索的精度。如果采用大步長(zhǎng)，則可以減少迭代次數(shù)，但搜索精度不高；若為了提高精度而采用小步長(zhǎng)，則會(huì)增加算法的復(fù)雜度。變步長(zhǎng)（Variable Step Size，VSS）算法是一種自適應(yīng)調(diào)整步長(zhǎng)的算法，其原理是利用迭代次數(shù)自動(dòng)更新步長(zhǎng)。在迭代過(guò)程的前期采用大步長(zhǎng)以滿足迭代速度，在迭代過(guò)程的后期采用小步長(zhǎng)以滿足搜索精度。但隨著迭代過(guò)程的不斷進(jìn)行，VSS算法的小步長(zhǎng)同樣會(huì)大幅提升算法的復(fù)雜度。文獻(xiàn)[18]在Dinklebach算法基礎(chǔ)上提出了一種快速收斂的Dinklebach（Fast Convergent Dinklebach，F(xiàn)CD）算法，可以顯著提高收斂速度。本文提出的算法結(jié)合了VSS算法和FCD算法的優(yōu)點(diǎn)，相比于傳統(tǒng)算法，本文算法在用戶數(shù)較多的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中更高效，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下。

變步長(zhǎng)梯度下降算法

VSS算法在步驟4和步驟5中將迭代次數(shù)用于拉格朗日乘子更新。隨著迭代進(jìn)行，拉格朗日乘子更新步長(zhǎng)越來(lái)越小，收斂精度也隨之提高。FCD算法在步驟7中得到一個(gè)含次梯度的中間閾值a，將中間閾值計(jì)算過(guò)程退化為鄰域牛頓法，其至少是一個(gè)超線性收斂[18]，提高了算法收斂速度。因此，本文算法兼?zhèn)淞薞SS算法和FCD算法精度高和收斂快的優(yōu)點(diǎn)，性能更好。

2.3 復(fù)雜度分析

為了分析本文算法的運(yùn)算復(fù)雜度情況，采用文獻(xiàn)[19]統(tǒng)計(jì)浮點(diǎn)數(shù)的方法對(duì)算法每個(gè)步驟進(jìn)行了復(fù)雜度統(tǒng)計(jì)，得到如表1所示的結(jié)果。

表1 本文算法各步驟運(yùn)算復(fù)雜度

從表1可以看出，各步驟的運(yùn)算復(fù)雜度與小區(qū)內(nèi)用戶數(shù)K有關(guān)，用戶數(shù)越多，算法運(yùn)算量越大。此外，能效最優(yōu)解的求解需要多次迭代，每迭代一次，步驟2～步驟8運(yùn)算一次，因此算法的運(yùn)算復(fù)雜度和迭代次數(shù)n有關(guān)。基于上述討論，表2給出了各算法運(yùn)算復(fù)雜度統(tǒng)計(jì)結(jié)果，其中ni(i=1,2,3,4,5)表示不同算法的循環(huán)迭代次數(shù)。

表2 各算法運(yùn)算復(fù)雜度

從表2可以看出，各算法的運(yùn)算復(fù)雜度分為兩個(gè)部分，第一部分是初始化運(yùn)算量，為了對(duì)比各算法的性能差異，各算法進(jìn)行相同的初始化運(yùn)算，因此初始化浮點(diǎn)運(yùn)算量相同；第二部分是各算法對(duì)能效最優(yōu)解迭代進(jìn)行求解所對(duì)應(yīng)的運(yùn)算量，與迭代次數(shù)和小區(qū)內(nèi)用戶數(shù)有正相關(guān)關(guān)系。

3 仿真結(jié)果及分析

本文假設(shè)小區(qū)內(nèi)用戶隨機(jī)分布在基站四周，由文獻(xiàn)[15]可知，可按用戶到小區(qū)基站的距離將所有用戶均分為三類，大尺度衰落系數(shù)分別為[1 0.8 0.5]。對(duì)算法進(jìn)行初始化運(yùn)算，天線數(shù)M0=10，初始化發(fā)射功率p0=[0.1 … 0.1]TW，使用于對(duì)比的各算法運(yùn)算起點(diǎn)相同。本文的對(duì)比算法有RABM+VSS算法、RABM+FCD算法、RABM算法[15]和JUAPA算法[21]，其中RABM+VSS算法和RABM+FCD算法是為了探究VSS算法和FCD算法會(huì)對(duì)RABM算法的性能產(chǎn)生怎樣的影響。仿真所需的主要參數(shù)在表3中給出。

表3 仿真參數(shù)

圖2給出了不同用戶數(shù)情況下各算法的能效性能差異，從圖中可以看出各算法能效性能由高到低為：RABM+VSS算法、本文算法、RABM算法[15]、RABM+FCD算法、JUAPA算法[21]。RABM+VSS算法在拉格朗日乘子遞推公式中，步長(zhǎng)自動(dòng)更新，隨著迭代的進(jìn)行，步長(zhǎng)越來(lái)越小，對(duì)最優(yōu)解的搜索精度不斷提高，因此能效性能比RABM算法更好。RABM+FCD算法是一個(gè)超線性收斂的迭代過(guò)程，求解判決閾值的效率更高，加快迭代過(guò)程的結(jié)束，但是會(huì)降低一定的計(jì)算精度，因此能效性能比RABM算法略有降低。本文算法在VSS算法基礎(chǔ)上，將FCD算法用到VSS算法中，提高了VSS算法的收斂速度，但損失了部分能效性能，因此本文算法能效性能較VSS算法略低，但本文算法保留了VSS算法能效性能的高增益。在用戶數(shù)K=40時(shí)，本文算法能效達(dá)到3.85 bit/Hz/Jourl，比RABM算法提高了30%左右，隨著用戶數(shù)增加該比例還在不斷變大。RABM算法相比于JUAPA算法考慮了用戶間干擾情況，隨著用戶數(shù)不斷增多，用戶間干擾更不容忽視，這種用戶間的干擾嚴(yán)重影響系統(tǒng)能效性能，因此JUAPA算法的性能相對(duì)較差。

圖3給出了不同用戶數(shù)下各算法的最優(yōu)天線數(shù)。可以看出，隨著小區(qū)內(nèi)用戶數(shù)的不斷增多，基站最優(yōu)接收天線數(shù)基本呈線性增加。在小區(qū)內(nèi)用戶數(shù)較少的情況下，各算法對(duì)應(yīng)的最優(yōu)天線數(shù)基本相同，這是因?yàn)樵谟脩魯?shù)較少的通信場(chǎng)景下，資源分配的過(guò)程簡(jiǎn)單且用戶的相互影響小，各算法都能優(yōu)化出最優(yōu)的能效性能。

圖2 不同用戶數(shù)時(shí)各算法的能效性能

圖3 不同用戶數(shù)時(shí)各算法的最優(yōu)天線數(shù)

圖4給出了上行鏈路的發(fā)射功率隨用戶數(shù)不同的變化情況，從圖中可以看出，隨著小區(qū)內(nèi)用戶數(shù)增加，發(fā)射功率先增大，然后趨于穩(wěn)定。這是因?yàn)樵谛^(qū)內(nèi)用戶數(shù)較多的通信場(chǎng)景下，基站調(diào)用更多的天線更有利于提高系統(tǒng)能效。

圖4 不同用戶數(shù)情況下各算法最優(yōu)發(fā)送功率

圖5給出不同用戶數(shù)情況下天線總功耗的變化情況。通過(guò)圖5可以看出，隨著小區(qū)內(nèi)用戶數(shù)的增多，為了提高系統(tǒng)總上行速率，基站使用更多天線進(jìn)行接收，因此天線總功耗持續(xù)上升。通過(guò)對(duì)比圖5的基站端天線總功率和圖4的用戶發(fā)射總功率，基站天線帶來(lái)的能量損耗成為總能耗的主導(dǎo)因素，在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的資源分配中，天線數(shù)的優(yōu)化至關(guān)重要。

圖6給出各算法在不同用戶數(shù)情況下求解最優(yōu)能效所需的循環(huán)迭代次數(shù)。RABM+VSS算法采用變步長(zhǎng)迭代，迭代次數(shù)越多對(duì)應(yīng)的搜索步長(zhǎng)越小，因此導(dǎo)致RABM+VSS算法要比RABM算法迭代次數(shù)多，尤其在小區(qū)內(nèi)用戶數(shù)較多，資源分配較復(fù)雜的情況下，循環(huán)迭代次數(shù)巨幅增加。

圖5 不同用戶數(shù)情況下各算法天線總功率

圖6 不同用戶數(shù)時(shí)各算法的迭代運(yùn)行次數(shù)

相反，RABM+FCD算法的超線性收斂則加快了RABM算法的收斂速度，因此迭代次數(shù)要少于RABM算法。本文算法利用FCD算法收斂快的優(yōu)點(diǎn)，顯著降低了VSS算法變步長(zhǎng)帶來(lái)的復(fù)雜度，循環(huán)迭代次數(shù)較VSS算法大大降低，僅比RABM算法略高，在可接受范圍內(nèi)。JAUPA算法忽略用戶間干擾對(duì)系統(tǒng)能效的影響，簡(jiǎn)化了能效模型，目標(biāo)函數(shù)更容易趨向收斂，因此迭代次數(shù)最少。

圖7給出了不同用戶數(shù)時(shí)各算法的浮點(diǎn)運(yùn)算量。2.3節(jié)的算法復(fù)雜度分析結(jié)果顯示，各算法的浮點(diǎn)運(yùn)算量跟循環(huán)迭代次數(shù)n和用戶數(shù)K有關(guān)，從圖6看出隨用戶數(shù)K增加，循環(huán)迭代次數(shù)n也增加，因此各算法的浮點(diǎn)運(yùn)算量增長(zhǎng)速度比圖6的循環(huán)迭代次數(shù)增長(zhǎng)速度快。

圖7 不同用戶數(shù)時(shí)各算法浮點(diǎn)運(yùn)算量

4 結(jié)語(yǔ)

在使用MRC接收機(jī)的大規(guī)模MIMO上行鏈路系統(tǒng)中，本文提出一種精度高、收斂快的資源分配算法。所提算法利用分式規(guī)劃性質(zhì)把能效函數(shù)轉(zhuǎn)化為減式形式，再用拉格朗日乘子法把約束條件合并到目標(biāo)函數(shù)，最后把VSS算法和FCD算法結(jié)合起來(lái)求解能效最優(yōu)解。VSS算法可以提高算法的搜索精度，F(xiàn)CD算法可以加快算法的收斂速度，因此本算法在兼顧了算法復(fù)雜度的同時(shí)提高了搜索精度。仿真結(jié)果證實(shí)，在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中用戶數(shù)較多（K＞40）的情況下，本文算法可將系統(tǒng)能效提高30%左右，這是因?yàn)樵谟脩魯?shù)較多的情況下，基站天線功耗在總功耗中占主導(dǎo)地位，而本文算法經(jīng)過(guò)精確地迭代搜索找到更準(zhǔn)確的天線數(shù)，降低了基站調(diào)用天線數(shù)量，由此提高了系統(tǒng)的能效，有較理想的工程實(shí)際應(yīng)用意義。