如何發展初中生的數學模型思想

王 茜 高 麗

（延安大學數學與計算機科學學院 陜西 延安 716000）

2011年版《義務教育數學課程標準》（以下簡稱“課標”）明確將“模型思想”作為核心概念提出，目的是使學生從現實生活或具體情境中抽象出數學模型，并在此過程中，體會數學與外部世界的聯系，激發學生的主觀能動性與求知欲。數學模型是從數學的角度用數學本質原理來解釋社會現象、解決問題的方法；它體現了另一核心概念——應用意識，核心概念之間相輔相成[1]。那么，這些宏觀戰略層面的倡導和要求從哪里落實呢？主戰場在每位教育者的日常工作中。如何發展初中生的模型思想，本文將從一線教學實踐出發，以中考常見幾何最值模型為例，思考教師如何組織引導學生的思維活動，生成最值模型思想，進而靈活解決同類變形問題。

一、相關概念

1.數學建模

數學建模，從問題解決的角度看，突出表現對原始問題的分析、假設、抽象的加工過程，數學工具、方法、模型的選擇和使用過程，模型求解驗證、在分析、修改假設、再求解的迭代過程，清晰地表現了學數學和用數學的關系[2]。課標指出：“問題情境—建立模型—求解驗證。”在整個過程中建立模型對于學生的綜合能力要求較高，要求學生能從生活中發現存在待解決的數學問題或是學習過程中遇到的各類情景題目，并且用專業的數學語言將數學問題表征出來，找到與問題最匹配的數學公式概念定理等，發現知識元之間的關聯，試圖建立存在的某種邏輯關系，初步形成數學模型。在這個過程中，不僅能夠激發起學生的求知欲好奇心等主觀能動性，還能落實課標中對于學生主體地位的目標，培養學生發現問題、解決問題的思維以及總結歸納的能力，模型思想，諸多方面都響應了課標的號召。

2.模型思想

課標明確指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。”[1]在初中階段，平時教學中要滲透模型思想，組織引導學生建立模型的過程就是在教學生如何用數學的思維去看世界，去思考現實問題，這樣反復訓練，久而久之會帶給學生縝密的邏輯思維和發現問題解決問題的能力；即使以后進入社會，知識可以忘掉，但這種數學思想是根深蒂固的，會影響學生處理問題的方式。

3.數學模型

數學模型是用數學概念和原理描述現實世界的，數學模型將數學世界與現實世界聯系起來，是二者的橋梁，是根據事物的特征或者事物之間的邏輯關系采用標準化的數學語言概括表述出來的一種結構[3]。一個公式、定理、概念都可以看成是一個數學模型，但是在中學階段，隨著年級的增高，所學到的概念公式越來越多，并且抽象復雜，那么，在學生身上會出現一個問題：學的公式定理都認識甚至能默寫出來，遇到簡單的題會做，稍微有難度的題就不會做，不能舉一反三。產生這些現象的原因是多種多樣的，最重要的就是教師的教法不夠全面系統，不能涵蓋所有知識體系和題型框架，也沒有滲透舉一反三的思想，更沒有將單個的知識元高度凝練成模型，自然就達不到1+1＞2的教學效果。

二、教學案例

以中考常見最值模型——胡不歸問題模型為例說明，如何在教學過程中發展初中生的模型思想。類似的其他類型的常見模型就需要各位教師多搜集題型、多做題總結得出，這個過程是不斷學習提升自我的過程，不僅對教師個人專業教學能力的發展有極大的促進作用，而且對學生的成績、思維等綜合能力提高也有很大的幫助。

1.問題起源

相傳，歷史上有一個小伙子，在身處異地時，收到了他父親病危的消息，于是馬不停蹄地往家趕，結果，當他來到他父親面前時，他父親剛剛去世。鄰家告訴這位年輕人，他父親生前不斷念叨：“胡不歸，胡不歸……”，后來，人們就為這則故事起名胡不歸問題。

以一個故事引入，極大地激發了學生求知欲，勾起了學生好奇心。使學生以自主探索為第一步，調動起了積極性，這已經成功了一半。作為一節課的導入部分，不需要開頭就講抽象的重難點，而是在兩三分鐘內迅速抓住學生的注意力和好奇心，調動學生的積極聽課情緒。而由于學生的身心還處于不成熟階段，采用有趣的故事和生活情景引入課題，這種鋪墊效果非常好。教師不僅要有淵博的知識，還要懂得教育管理，這就需要教師在平日里對學生的行為特征、心理活動進行摸索，清晰了解每位學生的心理狀態、學生的家庭因素、成長環境，和學生多溝通，解除他們的煩惱，這樣學生才會慢慢地信任你，愿意接受你的引導，才有可能實現師生之間的心理相容，你所傳授的知識才有可能被學生吸取，才有可能成就雙方。因此在模型教學時，一定要讓每個課題的引入部分足夠精彩。

2.實際情境數學化

A地為小伙工作地，B地為老父親所在的地方，AC為古代驛道（此道路易走，行走速度快v1），AB所在的一側為沙路（走路時容易陷進去，行走速度慢v2）。古代數學家們為小伙用圖形模擬出來路徑，想幫他求出最短的用時。在AC驛道上有一點D，可以先走一段驛道AC節省時間，再走一段沙路CB抵達家中，那么，點D該怎么找才能使行駛時間最短呢？

引導學生發現生活中存在的數學問題，并思考這些問題能否用數學的思維找到解決的辦法，引導學生獨立生成圖形模型，并且培養學生用數學語言表征問題的能力。學生可以從實際問題分析中得出有效的條件，初步畫出圖像，用數學思維將整個情景再現出來，初步建立模型。

3.建立模型

已知v1，v2（v1＞v2），AB，求解t最小值。

假設時間為（v2＞v1），v1和v2是已知的，只需要使AD與DB和最小，涉及兩條不在同一直線的線段長。應想到：轉換為同一線段時，滿足兩點之間線段最短來求值。那么，怎么轉化呢？轉化誰呢？因此，延長BD到點E，想辦法將AD轉化到DE邊上，便成了一條直線。那么，怎么將AD轉化到DE直線上呢？想到構造三角函數，于是，第一步，提出系數較小的值，括號里構造一個分數 ；第二步，化出三角函數sin∠DAE；第三步，通過三角函數將AD邊轉化到DE邊上，出現DE；第四步，得出求時間最小值即需求線段BE的最小值，因為此處v1是固定值。那么，問題來了，三角函數是哪來的？第五步，做輔助線，首先能確定用到的字母是D、A、E，所以應該是在三角形DAE中，既然出現了三角函數，說明需要∠E是直角，因此要構造出直角三角形DAE，即延長BD到E，過點A做BD的垂線交于E。所以，胡不歸問題的核心是通過構建直角三角形和通過三角函數轉化邊的問題，難點是怎么做出輔助線，構造直角三角形。

上述整個思路過程都是建立在教師先讓學生思考的基礎上，再加以引導而不是直接告訴學生需要思考的點。比如，第一步，可以反過來問學生為什么要提出一個系數較小的值而不是系數較大的值？是因為這一步要為后面構造出三角函數做準備，而我們這知道三角函數的取值范圍是大于0小于1的，所以構造出來的速度比必須是一個真分數才可以；第二步可以反過來問學生：為什么這里用到的是正弦值而不是余弦值？因為這里想將AD線段的長度轉化到DE邊上，涉及的是AD和DE的關系；第三步，反過來問學生：為什么要出現DE，而不是AE？因為現在在找點B到AE的最短距離，換成AE就不行；第四步可以問學生：為什么BE就是要求的最小值？引導學生回答，點到直線AE的距離垂線段最短，恰好就等于BE的最小值，也就是要求的最短時間；第五步，可以問學生：構造出直角三角形后就可以解決這道題了嗎？此時，直線BE與驛道AC的交點D就是要求的點，因此，小伙可以先沿驛道AC以速度v2走到點D處，再沿DB以速度v1走到家中，這條路徑要比直接沿直線AB到家中用時短，小伙可以見到他父親最后一面。這一步驟容易被很多教師一帶而過，講完了就會認為學生全部掌握，也就不會提問了，而這部分恰恰是當堂檢驗學生聽課效果和效率的關鍵，應該被重視；否則學生糊弄過關，教師也相當于白講。

這個過程涉及了對原始問題進行分析、假設、抽象的步驟，按照這個思維，引導學生建立認知，再提出問題矛盾點打破重建。讓學生討論自行得出并表示已知條件和求解，鍛煉學生的發現和歸納抽取的能力，并且有假設表示的思想，分為五步，將題目拆分，也是在給學生搭臺階，最后引出輔助線是怎么做出來的，為什么這樣做。后面可以多加幾道同類型變形的習題進行鞏固，鍛煉學生舉一反三的能力。變形題目可以與二次函數結合起來也可以與幾何題目結合，形成綜合性“兩定一動”最值類型。

綜上所述，在課標的倡導下，初中數學課堂應該多滲透這樣的模型；高度的數學模型不僅能夠將課內學的獨立零散的公式定理概念用一個模型串聯起來，還可以二次鞏固知識。這種中考常見的模型有很多，教師在課堂教學中要多滲透，引導學生發現問題、抽取條件，選用相近知識建立模型。學生反復建立模型，會給學生的大腦潛意識播種數學模型思想，響應了課程標準的要求，也符合中考的命題方向，這種培養模式對教師和學生都大有裨益。在教學中，教師要做一個善于研究的教育家，多從各種教輔資料中挖掘總結出有利于學生吸收的知識，要對課本進行二次加工，而不僅僅只是咀嚼傳授簡單的課本知識或者照本宣科。本文所說的數學模型也不僅僅是簡單的定理公式之類，而是結合歷年中考常見題型、參考較多教輔資料、高度總結出的數學模型。學生學習建立這種模型，了解背后原理后，可以在平時學習或考試中提高對模型的辨識度。學得簡單，用得靈活，這種教學思想有效地解決了部分學生公式定理記住了卻不會做題的問題。

教師要在日常教學中不斷發展學生的模型思想，做到以下幾點：第一，善于研究、勤于學習、勤于做題。只有教師有一桶水，才能給學生一滴水，教師要不斷更新自己的知識，重構知識體系、教學方式方法，以收到良好的教育效果。第二，研究各種各樣的教輔資料，向有經驗的前輩請教，構建自己的知識體系和模型專題；結合學生實際，形成學生喜聞樂見的講課風格。第三，通過一個模型專題的實際情境，抽象形成數學模型，在這個過程中給學生滲透模型思想。第四，要求學生進行反問思考，并當場驗收聽課效果，而不是講完就過去了，以免學生還沒完全接受吸收。勤思考、多鉆研、多提問，才能培養出善于思考動腦的、有獨立思想的學生。