含參向量優化問題的Lipschitz連續性

孟 旭 東

(南昌航空大學科技學院，江西 共青城 332020)

0 引 言

最優化問題的各種最優值映射和最優解映射的定量分析是最優化理論和應用中的一個有趣而重要的課題.最優值映射或最優解映射往往具有一些幾何性質，如H?lder連續性、Lipschitz連續性、平靜性、可微性和次可微性等.它在模型表述、最優性描述、逼近理論，特別是對于無限維問題及數值程序中都有重要影響.因此，有必要從定量的角度對各種最優值映射或最優化問題的各種最優解映射得到一些結果.到目前為止，諸多文獻討論了擾動變分不等式、擾動平衡問題及擾動優化問題的連續性[1-11].研究各種問題解映射的連續性，可以豐富和發展運籌學的相關理論研究與算法設計，并能應用于資源分配、交通均衡、運籌管理及工程技術等眾多領域.

然而，僅有少量文獻研究了擾動優化問題的H?lder連續性和Lipschitz連續性[12-16].Li等在文獻[12]中引入了目標函數的強凸性來分析擾動向量優化問題最優解映射的H?lder連續性.然而，有許多例子表明，擾動優化問題目標函數的強凸性是非常嚴格的.在文獻[13]中，Li等得到了含參向量均衡問題近似解映射的Lipschitz連續性定理.Sadeqi等在文獻[14]中分析了含參廣義向量均衡問題近似有效解映射的Lipschitz連續性.在不具單調性的適當條件下，Han在文獻[15]中討論了含參廣義向量均衡問題弱近似有效解映射和強近似有效解映射的Lipschitz連續性.在文獻[16]中，孟旭東等在賦范線性空間中借助標量化方法研究了含參集值向量均衡問題近似解映射的Lipschitz連續性定理，作為應用，給出了向量問題近似解映射的Lipschitz連續的充分性條件.受以上諸多文獻思想的啟發，本文研究含參向量優化問題(弱)解映射和(弱)最優值映射的上(下)Lipschitz連續性.

1 準備工作

本文設X、Y、Λ、Ω為賦范空間，‖·‖和d(·，·)分別表示賦范空間中的范數和距離，BX、BY、BΛ、BΩ分別為X、Y、Λ、Ω中的閉單位球，C為Y中的閉凸點錐且C的拓撲內部int(C)≠?.設D為Y中的非空子集，點y∈D，假若(D-y)∩(-int(C))=?，則點y為D的弱有效點，假若(D-y)∩(-C)={0}，則點y為D的有效點，記集合D的所有弱有效點和有效點的全體分別為Ew(D)和E(D).

設f：X×Λ→Y為向量值映射，F：Ω→2X{?}為非空集值映射，對每個點(λ，μ)∈Λ×Ω，討論含參向量優化問題，簡稱為問題(PVOP).

(PVOP)minf(x，λ)，使得x∈F(μ)

(1)

設點(λ0，μ0)∈Λ×Ω給定，記f(·)=f(·，λ0)，F=F(μ0)，研究向量優化問題，簡稱為問題(VOP).

(VOP)minf(x)，使得x∈F

(2)

對任何的點(λ，μ)∈Λ×Ω，問題(PVOP)的弱最優值映射和最優值映射分別定義為

Vw(λ，μ)∶=Ew(f(F(μ)，λ))V(λ，μ)∶=E(f(F(μ)，λ))

對任何的點(λ，μ)∈Λ×Ω，問題(PVOP)的弱解映射和解映射分別定義為

Sw(λ，μ)∶={x∈F(μ)：f(x，λ)∈Vw(λ，μ)}S(λ，μ)∶={x∈F(μ)：f(x，λ)∈V(λ，μ)}

為研究方便起見，問題(VOP)的弱最優值映射、最優值映射、弱解映射及解映射分別記為Vw、V、Sw、S.

Graph(F)∶={(μ，x)∈Ω×X：x∈F(μ)}Dom(F)∶={μ∈Ω：F(μ)≠?}

定義1設F：Ω→2X{?}為非空集值映射，則

(1)映射F在點μ0∈Dom(F)周圍關于常數hF>0，tF>0為Lipschitz連續的當且僅當對任何的點μ1，μ2∈μ0+tFBΩ，有

ρ(F(μ1)，F(μ2))≤hF‖μ1-μ2‖

(2)映射F在點μ0∈Dom(F)周圍關于常數hF>0，tF>0為上Lipschitz連續的當且僅當對任何的點μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(F(μ)，F(μ0))≤hF‖μ-μ0‖

(3)映射F在點μ0∈Dom(F)周圍關于常數hF>0，tF>0為下Lipschitz連續的當且僅當對任何的點μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(F(μ0)，F(μ))≤hF‖μ-μ0‖

(4)映射F在點(μ0，x0)∈Graph(F)周圍關于常數hF>0，tF>0為偽Lipschitz連續的當且僅當存在點0∈X的鄰域W0?X，使得對任何的點μ1，μ2∈μ0+tFBΩ，有

ρ(F(μ1)∩(x0+W0)，F(μ2))≤hF‖μ1-μ2‖

(5)映射F在點(μ0，x0)∈Graph(F)周圍關于常數hF>0，tF>0為上偽Lipschitz連續的當且僅當存在點0∈X的鄰域W0?X，使得對任何的點μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(F(μ)∩(x0+W0)，F(μ0))≤hF‖μ-μ0‖

(6)映射F在點(μ0，x0)∈Graph(F)周圍關于常數hF>0，tF>0為下偽Lipschitz連續的當且僅當存在點0∈X的鄰域W0?X，使得對任何的點μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(F(μ0)∩(x0+W0)，F(μ))≤hF‖μ-μ0‖

注1據定義1易知以下結論成立：

定義2設φ：Ω→X為向量值映射，則映射φ在點μ0∈Ω周圍關于常數hφ>0，tφ>0為Lipschitz 連續當且僅當對任何的點μ1，μ2∈μ0+tφBΩ，有

‖φ(μ1)-φ(μ2)‖≤hφ‖μ1-μ2‖

定義3設f：X×Λ→Y為向量值映射，則

(1)問題(VOP)在Sw(或S)上關于常數hf>0具有錐全局控制性當且僅當對每個點x∈F，存在點x0∈Sw(或x0∈S)，使得

f(x)-f(x0)+hf‖x-x0‖BY?C

(3)

(2)問題(VOP)在Sw(或S)上關于常數hf>0具有內部錐全局控制性當且僅當對每個點x∈F，存在點x0∈Sw(或x0∈S)，使得

f(x)-f(x0)+hf‖x-x0‖BY?int(C)

(3)問題(VOP)在點x0∈Sw(或x0∈S)周圍關于常數hf>0具有錐局部控制性當且僅當存在點x0的鄰域U0?X，對每個點x∈F∩U0，存在點x0∈Sw∩U0(或x0∈S∩U0)，使得

f(x)-f(x0)+hf‖x-x0‖BY?C

(4)問題(VOP)在點x0∈Sw(或x0∈S)周圍關于常數hf>0具有內部錐局部控制性當且僅當存在點x0的鄰域U0?X，對每個點x∈F∩U0，存在點x0∈Sw∩U0(或x0∈S∩U0)，使得

以上筆者對文章開頭、主體和結尾的分析，只是側重于一點而言，其實不少文章的開頭、主體和結尾所表現的特點是多方面的，學習時不能孤立和割裂。初中階段課文閱讀和作文練習的重點是記敘文，寫記敘文有個好的開頭和結尾，會使文章增色不少。所以上面就初中課本中部分記敘文的開頭和結尾進行了重點分析，也順便簡單提到了文章的主體部分，供同學們寫作時參考。

f(x)-f(x0)+hf‖x-x0‖BY?int(C)

注2(1)據定義3易知，(2)?(1)且(4)?(3).

(2)對任何的點y∈Y，定義‖y‖+∶=d(y，YC)，則式(3)可化為

hf‖x-x0‖≤‖f(x)-f(x0)‖+

(4)

2 問題(PVOP)的(弱)解映射的Lipschitz連續性

設f：X×Λ→Y為向量值映射，F：Ω→2X{?}為非空集值映射，為研究問題敘述方便起見，給出以下基本假設(A).

(A1)問題(PVOP)的弱解集在給定點(λ0，μ0)∈Dom(Sw)的某鄰域內；

(A2)問題(PVOP)的解集在給定點(λ0，μ0)∈Dom(S)的某鄰域內；

(A3)映射F在點μ0∈Dom(F)周圍關于常數hF>0，tF>0具有Lipschitz連續性；

(A4)問題(VOP)在Sw上關于常數hf>0具有錐全局控制性；

(A4′)問題(VOP)在Sw上關于常數hf>0具有內部錐全局控制性；

(A5)問題(VOP)在S上關于常數hf>0具有錐全局控制性；

(A5′)問題(VOP)在S上關于常數hf>0具有內部錐全局控制性；

(A6)對任何的點λ∈Λ，f(·，λ)在X上關于常數mf>0具有Lipschitz連續性，且對任何的點x∈X，f(x，·)在點λ0∈Λ周圍關于常數nf>0，tf>0具有Lipschitz連續性；

(A7)映射F在點(μ0，x0)∈Graph(F)周圍關于點0∈X的鄰域U0?X及常數hF>0，tF>0具有上偽Lipschitz連續性和下偽Lipschitz連續性；

(A8)對假設(A7)中的鄰域U0?X，問題(VOP)在點x0∈Sw周圍關于點0∈X的鄰域Q0?X，滿足Q0+Q0?U0及hf>0具有錐局部控制性；

(A8′)對假設(A7)中的鄰域U0?X，問題(VOP)在點x0∈Sw周圍關于點0∈X的鄰域Q0?X，滿足Q0+Q0?U0及hf>0具有內部錐局部控制性；

(A9)對假設(A7)中的鄰域U0?X，問題(VOP)在點x0∈S周圍關于點0∈X的鄰域Q0?X，滿足Q0+Q0?U0及hf>0具有錐局部控制性；

(A9′)對假設(A7)中的鄰域U0?X，問題(VOP)在點x0∈S周圍關于點0∈X的鄰域Q0?X，滿足Q0+Q0?U0及hf>0具有內部錐局部控制性；

(A10)對假設(A7)中的鄰域U0?X，對任何的點x∈x0+U0，f(x，·)在點λ0∈Λ周圍關于常數tf>0，nf>0具有Lipschitz連續性，且對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，f(·，λ)在U0上關于常數mf>0具有Lipschitz連續性.

定理1對問題(PVOP)而言，若假設(A1)、(A3)、(A4)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關于常數tf>0，tF>0為上Lipschitz 連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw(λ，μ)，Sw)≤lf‖λ-λ0‖+lf，F‖μ-μ0‖

(5)

證明任取點x(λ，μ)∈Sw(λ，μ)，其中λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ.據Sw(λ，μ)的定義知

x(λ，μ)∈F(μ)且f(x，λ)-f(x(λ，μ)，λ)?-int(C)，?x∈F(μ)

(6)

據假設(A3)知，存在點x(μ0)∈F(μ0)，使得

‖x(λ，μ)-x(μ0)‖≤hF‖μ-μ0‖

(7)

據假設(A4)知，對以上的點x(μ0)，存在點x(λ0，μ0)∈Sw，使得

f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

hf‖x(μ0)-x(λ0，μ0)‖BY?C

(8)

不失一般性，不妨假設x(μ0)≠x(λ0，μ0)，f(x(μ0)，λ0)≠f(x(λ0，μ0)，λ0).易見點x(λ0，μ0)∈F(μ0)，結合假設(A3)知，存在點x(μ)∈F(μ)，使得

‖x(λ0，μ0)-x(μ)‖≤hF‖μ-μ0‖

(9)

則有

f(x(μ)，λ)-f(x(λ，μ)，λ)=f(x(λ0，μ0)，λ0)-

f(x(μ0)，λ0)+

w(λ，μ)

(10)

其中

w(λ，μ)=f(x(μ)，λ)-f(x(λ0，μ0)，λ)+

f(x(λ0，μ0)，λ)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

f(x(μ0)，λ0)-f(x(μ0)，λ)+

f(x(μ0)，λ)-f(x(λ，μ)，λ)

由假設(A6)，知

‖w(λ，μ)‖≤mf‖x(μ)-x(λ0，μ0)‖+

mf‖x(μ0)-x(λ，μ)‖+

2nf‖λ-λ0‖

結合式(7)、(9)，得

‖w(λ，μ)‖≤2mfhF‖μ-μ0‖+2nf‖λ-λ0‖

(11)

則必有

‖f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)‖+≤‖w(λ，μ)‖

(12)

事實上，假若‖f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)‖+>‖w(λ，μ)‖，據‖·‖+的定義知

f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

‖w(λ，μ)‖BY?int(C)

(13)

(1)若‖w(λ，μ)‖=0，則w(λ，μ)=0，由式(8)、(10)，知

f(x(μ)，λ)-f(x(λ，μ)，λ)∈-int(C)

這與式(6)矛盾.

f(x(λ，μ)，λ)-f(x(μ)，λ)=f(x(μ0)，λ0)-

f(x(λ0，μ0)，λ0)+

‖w(λ，μ)‖·

并結合式(13)，得

f(x(λ，μ)，λ)-f(x(μ)，λ)∈int(C)

這與式(6)矛盾.由式(8)、(11)～(13)，有

hf‖x(μ0)-x(λ0，μ0)‖≤‖f(x(μ0)，λ0)-

f(x(λ0，μ0)，λ0)‖+≤

2mfhF‖μ-μ0‖+

2nf‖λ-λ0‖

故

(14)

結合式(6)、(14)，得

d(x(λ，μ)，Sw)≤‖x(λ，μ)-x(λ0，μ0)‖≤

‖x(λ，μ)-x(μ0)‖+

‖x(μ0)-x(λ0，μ0)‖≤

lf‖μ-μ0‖+lf，F‖λ-λ0‖

注意到點x(λ，μ)∈Sw(λ，μ)的任意性知式(5)成立.

據定理1，結合注2的(1)知

推論1對問題(PVOP)而言，假若假設(A1)、(A3)、(A4′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關于常數tf>0，tF>0為上Lipschitz 連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw(λ，μ)，Sw)≤lf‖λ-λ0‖+lf，F‖μ-μ0‖

類似定理1的論證過程可知

定理2對問題(PVOP)而言，假若假設(A2)、(A3)、(A5)與(A6)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關于常數tf>0，tF>0為上Lipschitz連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S(λ，μ)，S)≤lf‖λ-λ0‖+lf，F‖μ-μ0‖

據定理2，結合注2的(1)知

推論2對問題(PVOP)而言，假若假設(A2)、(A3)、(A5′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關于常數tf>0，tF>0為上Lipschitz連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S(λ，μ)，S)≤lf‖λ-λ0‖+lf，F‖μ-μ0‖

定理3對問題(PVOP)而言，假若假設(A1)、(A7)、(A8)與(A10)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點((λ0，μ0)，x0)∈Graph(Sw)周圍關于常數tf>0，tF>0為上Lipschitz 連續的，即存在點0∈X的鄰域W0?X，對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw(λ，μ)∩(x0+W0)，Sw)≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F‖μ-μ0‖

(15)

證明設W0?X為點0∈X的任何鄰域，滿足W0+hFtFBX?Q0，則W0為點0∈X在X中的理想鄰域.事實上，對任何的點x(λ，μ)∈Sw(λ，μ)∩(x0+W0)，λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，據映射F的上偽Lipschitz連續性知，存在點x(μ0)∈F(μ0)，使得

‖x(λ，μ)-x(μ0)‖≤hF‖μ-μ0‖≤hFtF

(16)

則有

x(μ0)-x0=(x(μ0)-x(λ，μ))+(x(λ，μ)-x0)∈

hFtFBX+W0?Q0

故點x(μ0)∈F(μ0)∩(x0+Q0)，據假設(A8)知存在點x(λ0，μ0)∈Sw∩(x0+Q0)，使得

f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

hf‖x(μ0)-x(λ0，μ0)‖BY?C

(17)

不失一般性，不妨假設x(μ0)≠x(λ0，μ0)，f(x(μ0)，λ0)≠f(x(λ0，μ0)，λ0).易見點x(λ0，μ0)∈F(μ0)∩(x0+Q0)，由F的下偽Lipschitz連續性知存在點x(μ)∈F(μ)，使得

‖x(λ0，μ0)-x(μ)‖≤hF‖μ-μ0‖≤hFtF

(18)

則有

x(μ0)-x0=(x(μ0)-x(λ0，μ0))+(x(λ0，μ0)-

x0)∈hFtFBX+W0?Q0?U0

且

f(x(μ)，λ)-f(x(λ，μ)，λ)=f(x(λ0，μ0)，λ0)-

f(x(μ0)，λ0)+

w(λ，μ)

其中

w(λ，μ)=f(x(μ)，λ)-f(x(λ0，μ0)，λ)+

f(x(λ0，μ0)，λ)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

f(x(μ0)，λ0)-f(x(μ0)，λ)+

f(x(μ0)，λ)-f(x(λ，μ)，λ)

由假設(A10)，知

‖w(λ，μ)‖≤mf‖x(μ)-x(λ0，μ0)‖+

mf‖x(μ0)-x(λ，μ)‖+

2nf‖λ-λ0‖

結合式(16)、(18)，得

‖w(λ，μ)‖≤2mfhF‖μ-μ0‖+2nf‖λ-λ0‖

(19)

類似于定理1的論證過程有

‖f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)‖+≤‖w(λ，μ)‖

(20)

由式(17)、(19)、(20)，知

hf‖x(μ0)-x(λ0，μ0)‖≤2mfhF‖μ-μ0‖+

2nf‖λ-λ0‖

故

(21)

結合式(16)、(21)，得

lf‖μ-μ0‖+lf，F‖λ-λ0‖

再據點x(λ，μ)∈Sw(λ，μ)的任意性知式(15)成立.

據定理3，結合注2的(1)知

推論3對問題(PVOP)而言，假若假設(A1)、(A7)、(A8′)與(A10)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點((λ0，μ0)，x0)∈Graph(Sw)周圍關于常數tf>0，tF>0為上Lipschitz連續的，即存在點0∈X的鄰域W0?X，對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw(λ，μ)∩(x0+W0)，Sw)≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F‖μ-μ0‖

類似定理3的證明過程易知

定理4對問題(PVOP)而言，假若假設(A2)、(A7)、(A9)與(A10)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點((λ0，μ0)，x0)∈Graph(S)周圍關于常數tf>0，tF>0為上Lipschitz 連續的，即存在點0∈X的鄰域W0?X，對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S(λ，μ)∩(x0+W0)，S)≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F‖μ-μ0‖

據定理4，結合注2的(1)知

推論4對問題(PVOP)而言，假若假設(A2)、(A7)、(A9′)與(A10)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點((λ0，μ0)，x0)∈Graph(S)周圍關于常數tf>0，tF>0為上Lipschitz連續的，即存在點0∈X的鄰域W0?X，對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S(λ，μ)∩(x0+W0)，S)≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F‖μ-μ0‖

類似于問題(PVOP)的弱解映射和解映射的上Lipschitz連續性的充分性條件，結合注2的(1)易得問題(PVOP)的弱解映射和解映射的下Lipschitz連續性定理.

定理5對問題(PVOP)而言，假若假設(A1)、(A3)、(A4)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關于常數tf>0，tF>0為下Lipschitz 連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw，Sw(λ，μ))≤lf‖λ-λ0‖+lf，F‖μ-μ0‖

推論5對問題(PVOP)而言，假若假設(A1)、(A3)、(A4′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關于常數tf>0，tF>0為下Lipschitz 連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw，Sw(λ，μ))≤lf‖λ-λ0‖+lf，F‖μ-μ0‖

定理6對問題(PVOP)而言，假若假設(A2)、(A3)、(A5)與(A6)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關于常數tf>0，tF>0為下Lipschitz連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S，S(λ，μ))≤lf‖λ-λ0‖+lf，F‖μ-μ0‖

推論6對問題(PVOP)而言，假若假設(A2)、(A3)、(A5′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關于常數tf>0，tF>0為下Lipschitz連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S，S(λ，μ))≤lf‖λ-λ0‖+lf，F‖μ-μ0‖

定理7對問題(PVOP)而言，假若假設(A1)、(A7)、(A8)與(A10)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點((λ0，μ0)，x0)∈Graph(Sw)周圍關于常數tf>0，tF>0為下Lipschitz連續的，即存在點0∈X的鄰域W0?X，對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw，Sw(λ，μ)∩(x0+W0))≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F‖μ-μ0‖

推論7對問題(PVOP)而言，假若假設(A1)、(A7)、(A8′)與(A10)成立，則問題(PVOP)的弱解映射Sw：Λ×Ω→2X{?}在點((λ0，μ0)，x0)∈Graph(Sw)周圍關于常數tf>0，tF>0為下Lipschitz連續的，即存在點0∈X的鄰域W0?X，對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Sw，Sw(λ，μ)∩(x0+W0))≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F‖μ-μ0‖

定理8對問題(PVOP)而言，假若假設(A2)、(A7)、(A9)與(A10)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點((λ0，μ0)，x0)∈Graph(S)周圍關于常數tf>0，tF>0為下Lipschitz連續的，即存在點0∈X的鄰域W0?X，對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S，S(λ，μ)∩(x0+W0))≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F‖μ-μ0‖

推論8對問題(PVOP)而言，假若假設(A2)、(A7)、(A9′)與(A10)成立，則問題(PVOP)的解映射S：Λ×Ω→2X{?}在點((λ0，μ0)，x0)∈Graph(S)周圍關于常數tf>0，tF>0為下Lipschitz連續的，即存在點0∈X的鄰域W0?X，對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(S，S(λ，μ)∩(x0+W0))≤lf‖λ-λ0‖+

lf，F‖μ-μ0‖

3 問題(PVOP)的(弱)最優值映射的Lipschitz連續性

定理9對問題(PVOP)而言，假若假設(A1)、(A3)、(A4)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱最優值映射Vw：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關于常數tf>0，tF>0為上Lipschitz連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Vw(λ，μ)，Vw)≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F‖μ-μ0‖

(22)

證明任取點f(x(λ，μ)，λ)∈Vw(λ，μ)，其中λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，則點x(λ，μ)∈F(μ)，且存在點x(μ0)∈F(μ0)，使得

‖x(λ，μ)-x(μ0)‖≤hF‖μ-μ0‖

(23)

據假設(A4)知，對以上的點x(μ0)，存在點x(λ0，μ0)∈Sw，使得

f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

hf‖x(μ0)-x(λ0，μ0)‖BY?C

據f(·，λ0)的Lipschitz連續性知

f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

(24)

又x(λ0，μ0)∈F(μ0)，結合假設(A3)知，存在點x(μ)∈F(μ)，使得

‖x(λ0，μ0)-x(μ)‖≤hF‖μ-μ0‖

(25)

顯然

f(x(μ)，λ)-f(x(λ，μ)，λ)=f(x(λ0，μ0)，λ0)-

f(x(μ0)，λ0)+

w(λ，μ)

其中

w(λ，μ)=f(x(μ)，λ)-f(x(λ0，μ0)，λ)+

f(x(λ0，μ0)，λ)-f(x(λ0，μ0)，λ0)+

f(x(μ0)，λ0)-f(x(μ0)，λ)+

f(x(μ0)，λ)-f(x(λ，μ)，λ)

由假設(A6)，知

‖w(λ，μ)‖≤mf‖x(μ)-x(λ0，μ0)‖+

mf‖x(μ0)-x(λ，μ)‖+

2nf‖λ-λ0‖

結合式(23)、(25)，得

‖w(λ，μ)‖≤2mfhF‖μ-μ0‖+2nf‖λ-λ0‖

(26)

類似定理1的證明過程有

‖f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)‖+≤‖w(λ，μ)‖

(27)

由式(24)、(26)、(27)，知

2mfhF‖μ-μ0‖+2nf‖λ-λ0‖

故

‖f(x(μ0)，λ0)-f(x(λ0，μ0)，λ0)‖≤

(28)

結合式(23)、(28)，有

d(f(x(λ，μ)，λ)，Vw)≤‖f(x(λ，μ)，λ)-

f(x(λ0，μ0)，λ0)‖≤

‖f(x(λ，μ)，λ)-

f(x(μ0)，λ)‖+

‖f(x(μ0)，λ)-

f(x(λ0，μ0)，λ0)‖+

‖f(x(μ0)，λ0)-

f(x(λ0，μ0)，λ0)‖≤

Lf‖μ-μ0‖+

Lf，F‖λ-λ0‖

再由點x(λ，μ)∈Sw(λ，μ)的任意性知式(22)成立.

據定理9，結合注2的(1)知

推論9對問題(PVOP)而言，假若假設(A1)、(A3)、(A4′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱最優值映射Vw：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關于常數tf>0，tF>0為上Lipschitz連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Vw(λ，μ)，Vw)≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F‖μ-μ0‖

類似定理9的論證過程易得

定理10對問題(PVOP)而言，假若假設(A2)、(A3)、(A5)與(A6)成立，則問題(PVOP)的最優值映射V：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關于常數tf>0，tF>0為上Lipschitz連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(V(λ，μ)，V)≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F‖μ-μ0‖

據定理10，結合注2的(1)知

推論10對問題(PVOP)而言，假若假設(A2)、(A3)、(A5′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的最優值映射V：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關于常數tf>0，tF>0為上Lipschitz連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(V(λ，μ)，V)≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F‖μ-μ0‖

類似于問題(PVOP)的弱最優值映射和最優值映射的上Lipschitz連續性定理的討論過程，結合注2的(1)可得問題(PVOP)的弱最優值映射和最優值映射的下Lipschitz連續性基本定理.

定理11對問題(PVOP)而言，假若假設(A1)、(A3)、(A4)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱最優值映射Vw：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關于常數tf>0，tF>0為下Lipschitz連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Vw，Vw(λ，μ))≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F‖μ-μ0‖

推論11對問題(PVOP)而言，假若假設(A1)、(A3)、(A4′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的弱最優值映射Vw：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(Sw)周圍關于常數tf>0，tF>0為下Lipschitz連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(Vw，Vw(λ，μ))≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F‖μ-μ0‖

定理12對問題(PVOP)而言，假若假設(A2)、(A3)、(A5)與(A6)成立，則問題(PVOP)的最優值映射V：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關于常數tf>0，tF>0為下Lipschitz連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(V，V(λ，μ))≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F‖μ-μ0‖

推論12對問題(PVOP)而言，假若假設(A2)、(A3)、(A5′)與(A6)成立，則問題(PVOP)的最優值映射V：Λ×Ω→2X{?}在點(λ0，μ0)∈Dom(S)周圍關于常數tf>0，tF>0為下Lipschitz連續的，即對任何的點λ∈λ0+tfBΛ，μ∈μ0+tFBΩ，有

ρ(V，V(λ，μ))≤Lf‖λ-λ0‖+Lf，F‖μ-μ0‖

4 結 語

在目標函數和可行集分別受參數擾動的情況下，在適當假設條件下，在賦范空間中建立了含參向量優化問題(弱)解映射和(弱)最優值映射的上(下)Lipschitz連續性充分性基本定理.研究表明，(弱)解映射和(弱)最優值映射的上(下)Lipschitz 連續的充分性條件均具有統一性規律，有利于建立含參向量優化問題解映射的H?lder連續性的統一規律，有利于分析各類含參向量優化問題解映射的H?lder連續性和Lipschitz連續性的統一框架結構，并為研究含參向量優化問題解映射的穩定性奠定基礎.